O'ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYLARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI
TELEKOMMUMIKATSIYA TEXNOLOGIYLARI VA KASBIY TA'LIM
FAKULTETI TT-12-22 GURUH TALABASI ISMATOV SHOXRUXNING
FIZIKA
FANIDAN
3-MUSTAQIL ISHI
BAJARDI: ISMATOV.SH
QABUL QILDI: ODILOV. Y
QARSHI-2022
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni taqribiy yechishning Runge-Kutta usuli
Differensial tenglamalarni yuqori bolimlardagidek aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin boladi. Amaliyotda uchraydigan koplab masalalarga aniq yechish usullarini qolashning iloji bolmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga togri keladi.
Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti korinishida olinadi.
Sonli usullar - nomalum funktsiyaning chekli nuqtalar toplamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar korinishida ifadalanadi.
Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bolgan koplab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan oz kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim boladi. Biz shundan Runge-Kutta usulini korib chiqamiz.
Runge Kutta usuli
Runge Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali nomalum funktsiyani xi+1 dagi qiymatini topish uchun uning xi dagi qiymati aniq bolishi etarli.
Runge Kutta usulini uning aniqlash darajasi boyicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng kop qollanadigani tortinchi darajali aniqlikdagi Runge Kutta usulidir.
Birinchi tartibli differensial tenglama y’=f(x,y) uchun x=xi da y=yi (i=0,1,2, ...n) qiymatlar malum bolsin. Bu erda ui boshlangich shart manosida bolmasligi ham mumkin.
Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], xi=x0+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng n ta bolakka bolingan.
Nomalum funktsiya u ni x=xi+1 dagi qiymati yi+1= y(xi+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim boladi:
K1(i)=hfi(xi,yi)
K2(i)=hfi(xi +h/2, yi+K1(i)/2)
K3(i)=hfi(xi +h/2, yi+K2(i)/2) (7.5.1)
K4(i)=hfi(xi +h, yi+K3(i))
Funktsiyaning orttirmasi yi ni quyidagi formuladan topiladi
yi=(K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) / 6 (7.5.2)
Bu erda h=(b-a)/n integrallash qadami. i ni har bir qiymati uchun (7.5.1) va (7.5.2) dagi amallarni bajaramiz va nomalum funktsiya u ni qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz.
yi+1=yi+ yi , (i=0,1,2, ...n) (7.5.3)
Runge Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:
I. (2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bolgan qiymatlari yoziladi.
II. x va u larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u’=f(x,y) tenglamani ong tarafiga qoyiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qoyiladi.
III. Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami h ga kopaytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.
IV. K1(0) ni 1 ga, K2(0) va K3(0) larni 2 ga, K4(0) ni 1 ga kopaytirib ularni (6) ustunga yozamiz.
I-IV jarayonni Ki ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yigindisini hisoblab, natijani 6 ga bolamiz va u=(1/6) (K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) ni
topamiz. Va nihoyat yi+1=yi+ yi topiladi. YUqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz.
1-Jadval
X U u=f(x,y) K=hf(x,y) u
1 2 3 4 5 6
x0 y0 f(x0 ,y0) K1(0) K1(0)
x0+h/2 y0+K1(0)/2 f(x0+h/2; y0+K1(0)/2) K2(0) 2K2(0)
0 x0+h/2 y0+K2(0)/2 f(x0+h/2; y0+K2(0)/2) K3(0) 2K3(0)
x0+h y0+K3(0) f(x0+h; y0+K3(0)) K4(0) K4(0)
x1 y1=y0+ y0
f(x1 ,y1) K1(0) K1(0)
x1+h/2 y1+K1(1)/2 f(x1+h/2; y1+K1(1)/2) K2(0) 2K2(0)
1 x1+h/2 y1+K2(1)/2 f(x1+h/2; y1+K2(1)/2) K3(0) 2K3(0)
x1+h y1+K3(1) f(x1+h; y1+K3(1)) K4(0) K4(0)
2 x2 y2=y1+ y1
Misol.
Runge-Kutta usuli yordamida quyidagi differensial tenglamaga qoyilgan
boshlangich masalaning
y’= , u(1)=0 yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.
Yechish. Yechimlar va xisobiy qiymatlar 2-jadvalda keltirilgan.
2-Jadval
i xi yi f(xi, yi) K=hf(xi, yi) y1
0 1
1,05
1,05
1,1 0
0,05
0,057262
0,115907 1
1,145238
1,159071
1,310740 0,1
0,114524
0,115907
0,131074 0,1
0,229048
0,231814
0,131074
0,115323
1 1,1
1,15
1,15
1,20 0,115323
0,180807
0,188546
0,263114 1,309678
1,464447
1,477905
1,638523 0,130968
0,146445
0,147791
0,163852 0,130968
0,292889
0,295581
0,163852
0,147215
2 1,2
1,25
1,25
1,3 0,262538
0,344416
0,352591
0,443953 1,637563
1,801066
1,814146
1,983005 0,163756
0,180107
0,181415
0,198301 0,163756
0,360213
0,362829
0,198301
0,180805
3 1,3
1,35
1,35
1,4 0,443388
0,524495
0,551073
0,660028 1,982135
2,153696
2,166404
2,342897 0,198214
0,215370
0,216640
0,234290 0,198214
0,430739
0,443281
0,234290
0,216087
4 1,4
1,45
1,45
1,50 0,659475
0,776580
0,785532
0,912824 2,342107
2,521146
2,533493
2,717099 0,234211
0,252115
0,253349
0,271710 0,234211
0,504229
0,506700
0,271711
0,252808
5 1,5 0,912283
Adabiyotlar:
1. Салохиддинов М. С., Насриддинов Г. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент. Ўқитувчи. 1994.1
Do'stlaringiz bilan baham: |