Приложения определенного интеграла. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения



Download 16,29 Kb.
Sana04.06.2022
Hajmi16,29 Kb.
#634813
Bog'liq
4-Mavzu Tayyor


На Тему: Приложения определенного интеграла. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения.

План:


  1. Рассмотрим некую плоскую фигуру, которая задана в ПДСК.

  2. Рассмотрим на некотором промежутке [a,b] неотрицательную функцию y=y(x), которая также является непрерывной на этом отрезке

  3. Этой функцией образуется криволинейная трапеция

Рассмотрим некую плоскую фигуру, которая задана в ПДСК. Фигура имеет ограничение кривой y=y1(x)сверху, а снизу −y=y2(x). Левая и правая её части ограничены прямыми, которые направлены вертикально и описываются уравнениями x=a и x=b. Площадь такой фигуры, которая задана описанным выше способом, может быть вычислена с использованием определенного интеграла по формуле S=∫ab(y1(x)−y2(x))⋅dx. В случае же ограничения плоской фигуры справа и слева некими кривыми, которые можно описать уравнениями и x=x1(y)иx=x2(y)прямыми, проходящими горизонтально сверху и снизу y=c и y=d, её площадь также может быть вычислена при помощи двойного интеграла, но уже с использованием формулы S=∫cd(x1(y)−x2(y))⋅dy
Если для представления плоской фигуры используется криволинейный сектор и она рассмотрена в полярной системе координат, задать её пределы можно уравнением ρ=ρ(ϕ) и двумя ограничивающими лучами, которые будут проходить по следующим углам ϕ=α и ϕ=β. Тогда площадь описанного криволинейного сектора может быть вычислена с помощью нахождения определенного интеграла и использования формулы 
При помощи определенного интеграла возможно посчитать значение длины дуги кривой, которая в полярной системе координат на отрезке [α,β] задается уравнением ρ=ρ(ϕ). Эта величина вычисляется по формуле L=∫αβρ2(ϕ)+ρ2(ϕ)⋅dϕ
При помощи определенного интеграла возможно посчитать значение длины дуги кривой, которая в ПДСК на отрезке [a,b]задается уравнением y=y(x). Эта величина вычисляется по формуле L=∫ab1+y2(x)⋅dx
При помощи определенного интеграла возможно посчитать значение длины дуги кривой, которая в ПДСК на отрезке [a,b] задается уравнениями x=x(t),y=y(t)параметрически. Эта величина вычисляется по формуле 
Рассмотрим на некотором промежутке [a,b] неотрицательную функцию y=y(x), которая также является непрерывной на этом отрезке. Она будет образовывать криволинейную трапецию. В процессе её вращения вокруг одной из осей, например, Ох, можно получить тело, которое называется – тело вращения.
Проведение вычислений такого типа будет частным вариантом формулы рассмотренной выше. Тогда формула, используемая для этого частного случая, будет выглядеть так V=∫abS(x)⋅dx=π⋅∫aby2(x)⋅dx
Рассмотрим некоторую плоскую фигуру, которая в ПДСК хОу ограничена сверху кривой y=y1(x), в нижней части y=y2(x), а функции и y1(x)⁡иy2(x)являются неотрицательными и непрерывными. Также она имеет вертикальные ограничения по прямым x=a и x=b. В таком случае можно вычислить с использованием определенного интеграла объем образованного при вращении тела при помощи
V=∫abS(x)⋅dx=π⋅∫aby2(x)⋅dx
Изменяя ориентацию ограничений, можно получить другую формулу для вычисления объема, если рассмотреть ограничения y=c и y=d. Если вращать эту фигуру вокруг оси Оу, то при помощи определенного интеграла вычислим объем Пусть на [a,b],задается функция y=y(x), которая принимает неотрицательные значения, с непрерывной производной y′(x).
Этой функцией образуется криволинейная трапеция. Если проводить вращение криволинейной трапеции вокруг Ох, то будет образовано тело вращения, дугой криволинейной трапеции образуется поверхность.
Формула Q=2⋅π⋅∫aby(x)⋅1+y2(x)⋅dx будет использоваться для вычисления площади поверхности такого тела.
Если кривую принимающую неотрицательные значения x=ϕ(y), для которой ϕ(y)определена для значений у c≤y≤d, вращать вокруг Оу, то площадь её поверхности вычисляется с использование определенного интеграла по формуле Q=2⋅π⋅∫cdϕ(y)⋅1+ϕ2(y)⋅dy
Физические приложения ОИ
Можно вычислить пройденный путь в t=T для тела, которое имеет переменную скорость, которая определяется по формуле v=v(t), если известно время, которое характеризует момент начала движения t=t0. Это можно выполнить по формуле S=∫t0Tv(t)⋅dt с использованием определенного интеграла.
Вычисление значения работы, которую будет выполнять переменная сила F=F(x), которую приложили к некой материальной точке, которая перемещается вдоль Ох от x=a до x=b, также может быть использован определенный интеграл. При этом применима формула  A=∫abF(x)⋅dx. Важно, что направление, вдоль которого будет действовать сила, будет совпадать с направлением оси. Если задана материальная кривая y=y(x) на отрезке [a,b], то статические моменты можно вычислить по формулам  Mx=ρ⋅∫aby(x)⋅1+y2(x)⋅dxnMy=ρ⋅∫abx⋅1+y2(x)⋅dx, при учете, что ρ – это постоянная величина. С помощью определенного интеграла вычисляют координаты центра масс для некой материальной кривой. Это выполняют по формуле  xC=∫abx⋅1+y2(x)⋅dx∫ab1+y2(x)⋅dx и  yC=∫aby(x)⋅1+y2(x)⋅dx∫ab1+y2(x)dx Если плоская фигура имеет вид криволинейной трапеции с ограничивающей функцией y=y(x) на отрезке [a,b], то координаты центра масс вычислить возможно так:  xC=∫abx⋅y(x)⋅dx∫aby(x)⋅dx и 
Download 16,29 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish