1. Ta'rif va misollar



Download 230,59 Kb.
bet3/4
Sana20.06.2022
Hajmi230,59 Kb.
#684779
1   2   3   4
Bog'liq
Iskandar

Teorema l .. Har qanday m van lar uchun
s

j (rrt + n) == L k (n) P;cj ( ni \
k=l
i,j E S. (1)

Isbot. O'tish ehtimolliklari uchun to'la ehtimolliklar fonnulasini qo'llab quyidagi tenglikni olamiz:
./ 1n + n) == P ( Xrn+n == j / Xo == i) ==

8
== L....t
P (xn
== k / xO
== i]\ · P(xrn,rn
== / xO
== i ,


xn. ,
== k) .
(2)

k= l
Markov xossasiga asoslanib,
p (X m+ n = j / Xo = i, Xn = k) = P (Xm+n = j / Xn = k) =
== P ( xm == j / :r 0 ::::;: k ) == P kj ( m ,)
tenglikni hosil qilamiz. Teorem.a 1 ning isboti oxirgi va (2) tengliklardan kelib chiqadi.
Isbotlangan (1) tenglikni o'tish eht:imolliklari I(olmogorov-Chepmen tenglan1ala1i deb ataladi.
Agar

P(m) ==\I . i .
(rn' ;8)
== l'I j ( m ' ) 11S

1
1

deb olsak, Kolmogorov-Chepmen tenglamalarini har qanday •m va n
uchun

P(m + n) == P(n) ·P(m)
matritsalar ko'rinishida yozish n1un1kin.
(3)

Endi J (1) == pJi,
ekanligini hisobga olsak,
P (l) = P = (Pij ): .

Demak, (3) tenglikka ko'ra


P(n) == [P(l)f == pn
(4)

ya'ni n qadarnda o'tish ehtimolliklari
j (n) == P ( xn == j / x0 == i)
Markov zanjirini aniqlaydigan stoxastik matritsa P ning elementlari Pij lar
orqali topilishi mumkin bo' lar ekan. Bunda (3) va (4) formulalar alohida ahamiyat kasb eta.di.
Aytib o'tilganlardan kelib chiqadiki, Markov zanjirini tashkil
qiladigan { xn,n > 0} tasodifiy miqdorlar ketma-ketligini o'rganishda
manfiy bo'hnagan matritsalar nazariyasi muhim rol o'ynar ekan. Bu fikmi

Markov zanjirlari uchun muhim bo'lgan quyidagi tushunchalar misolida

namoyish qilamiz.


Markov zanjirining i holati ahamiyatga molik bo'lmagan holat deyiladi, agar shunday j holat va t0 musbat butun son mavjud bo'lib, P;j( to) > O va har qanday t uchun ½i (t) =c O munosabatlar o'rinli bo'lsa.
Aks holda i holat ahamiyatga molik bo'lgan holat deyiladi. Demak, i ahamiyatga molik bo'lmagan ho!at bo'lsa, undan biror j holatga o'tish mumkin, lekin bu j holatdan i ga qaytish mumkin bo'lmaydi. Masalan,
oldingi punktdagi misol 2 da holatlar to'plami (1,2,3) va o'tish

ehtimolliklari matritsasi




1 1 -1
3 3 3

p --
0 -l 1
2 2

0 I 1
2 2
bo'lgan Markov zanJin ko' rilgan edi. Bu misolda birinchi holat 1
ahamiyatga molik bo'lmagan, aksincha (2,3) lar ahamiyatga molik bo'lgan
holatlar bo'ladi. Haqiqatan ham, l dan 2 va 3 holatlarga mos ravishda .!. va
3
.3!. ehtimolliklar bilan bir qadamda o' tish mum.kin, lekin ulardan I holatga
qaytish mumkin emas. Ko'rilayotgan za1zjir qandaydir qadamda (2,3) holatlarga tushganidan so'ng, u bu holatlarda doim qolib ketadi.
Bu hodisani o'rganilayotgan zaajir uchun uning 1 holatda doim qola olmasligi (A hodisaning ehtimolligi O ekanligi) va o'tish ehtimolliklari

matritsasi P da pastki o'ng burchakda



- -
p 1= 1I I i
2 2

qism stoxastik matritsa borligi tasdiq etadi.


Umumiy holda Markov zanjiri ahamiyatga molik bo'lmagan holatlarda doim qolmasdan, qandaydir chekli qadamda zanjir ahamiyatga emdoi.lik holatlarga o'tadi. Bu eslatib o'tilgan misol 2 da namoyish etilgan
Markov zanjiri { xn,n > 0} uchun yechilishi kerak bo'lgan asosiy masalalardan biri, xn tasodifiy miqdoming ixtiyoriy n momentdagi taqsimotini topish hisoblanadi. To'la ehtimol!ik fommlasini qo'llab,

2?7



s s
P(:en == j) == I: P ( Xo == i)P (.xn == j / Xo == i) == Pi j (n) (5)
i=l z= l
tenglikni olamiz. ·
Ba'zi hollarda P (xn == j) taqsimot n ga bog'liq bo'lmasligi
mumkin, ya'ni
Xo' X1. .' . ' Xn' ...
tasodifiy miqdorlar bir xii taqsimlangan bo'lishi murnkin. Shu munosabat bilan statsionar taqsimot tushunchasini kiritan1iz.
Quyidagi shartlami qanoatlantiradigan
q == ( q1 ,··· ,qs )
sonli vektor statsionar ehtimollik taqsimoti deyiladi, agar

s
1) qk > o, k == l, .. ., s,
2) I: qkPkj == qj, j == l, 2, ... , 8 . (6)
k= l
Bu yerda Pij Markov zanjirini aniqlaydigan o' tish ehtimolliklari.
Agar Markov zanjirida boshlang' ich taqsimot
P ( x0 == j) = pj == q j, j == l, 2, ... , s
bo' lsa, bu holda har qanday n > 0 uchun
p (Xn == j) = q j, j = 1, 2, ... , S • (7)
Haqiqatan ham, Kolmogorov-Chepmen tenglamasini qo'llab, (5) va (6) formulalardan
p (xn ·= j) == Is: qkPkj (n) == In: qk ( Is: Pki j (n -1)) ==
k=l k=l i=l

== sL[ sL qkPki)
j (n -1) == sLqi j (n -1) =

i=I k=l i=l
s
== ... == LqiPij = qj
i=l
tengliklami olamiz.
Agar (7) tenglik bajarilsa, { xn, n > 0} tasodifiy miqdorlar ketma-
ketligi statsionar Markov zanjiri deb ataladi.

3. O'tish ehtimolliklari uchun limit teorema


O'tish ehtimolliklari matritsasi
p == ( Pi j ):

bo'lgan Markov zanjiri

(1)


berilgan bo'lsin.
Markov zanJtn (1) ergodik xossaga ega deymiz, agar quyidagi
limitlar r

1m PiJ (n)
n oo
== 1r j, j == l, 2, ..., s


s
mavjud bo'libgina qolmasdan, boshlang'ich holat i ga bog'liq bo'lmagan holda limit qiymatlar (711, .•• , 1r3 ) ehtimollik taqsimotini tashqil qilsa, ya'ni
1rj > o, L 1rj == 1. c2)
j=l
Bu (2) taqsimot- ergodik taqsimot deb ataladi.
Quyidagi teorema ergodik Nlarkov zanjidari yetarli darajada katta sinfni tashkil etishini ifoda etadi.
Teorema (Ergodik teoren1a) Tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi (1) holatlar to'plami

S = {1, 2, ..., s}
va o'tish ehtimolliklari n1atritsasi P bo'lgan Markov zanjiri bo'lsin.

  1. Agar qandaydir n0 uchun

1 i 1 Pi'i(no) > 0
i,J "

(3)


bo'lsa, shunday 1r1, ... , n8 sonlar topiladiki, ular uchun (2) munosabatlar o'rinli bo'lib, har bir j ES va har qanday i C-: S uchun

Penij ) ,
1r ji
n --a-, oo.' (4)

  1. Aksincha, agar (2) va (4) munosabatlami qanoatlantiruvchi

1r1, ... , 1r 8 sonlar n1avjud bo'lsa, (3) tengsizlik o'rinli bo'ladi.

  1. (2) va (4) shartlami qanoatlantiruvchi (1r1, ... , 1r8 ) sonlar

s

7rj == L 1fkPkj, j == 1, ..·, 8
k=l
tenglainalar sistemasini yechimi bo' ladi.
Isbot. A) Quyidagi belgilashlami kiritamiz:
mc_n) == min p :1) Mc.n) == max p :1)

z
J ' 'lJ ' J . 'lJ
i
Kolmogorov - Chepmen tenglamasi bo'yicha
(5)

(n+l) _ s


(n)
(6)

Pij - L PikP k-'
k=l J
tenglik o' rinli bo' lgani uchun

>
(n+l) _ . (n+l) _ . Ls
mj - m n Pij -:-- min P · , P .

i i
k=l
. 1, /\ kJ

. '°8 ' . (n) .· Cn)
111111 Li Pik · n1 n Pk·j = m7_


1
.
' k=l
. k<,;;


Demak, mj"l < mt+I) va shuningdek Mt > M n+I)_
Shuning uchun ha1n (4) lin1it munosabatni isbot etish uchun
M\n) - 1nc_n) -t 0, n --1- oo, j == 1, ..., s
J J
ekanligini ko'rsatish yetarli bo'ladi.
Agar

)
E == Il i!1pf/0
Z,.J
deb olsak, quyidagi tenglikni yoza olamiz:
( n0 +n ) _ v ( n0) (n) _ (p(no) _ ,_pen>) p(f!')+
Pij - LtPij Pkj - L ik C Jk kJ

+c""""' pc.n)PC 7!) === [P. (n 0)_ €pc_n)

PC ) + Ep(?n)
k k l

lekin
L Jk 7 L zk yk · kJ 11


k k

va shuning uchun ham
(no+n)> (n)'°'lr· Jno) c . (no)+l


(2n) _

PiJ - mj l-'ik G.Pjk J EPjj -
k
=== m_ Cn ) (1 - c+) EV( n).

Demak,
J J.. J}


m (no +n) > mC.n) (I - c+) cp( n)

Xuddi shunga o'xshash
J - ) \ G v )]

M(no+n) < JVt .n ) (l - c)+ P ( n)
J - J . -P11
tengsizlikni olamiz.
Oxirgi tengsizliklami birlashtirib,
Mj"'o+n) - mj"'o+n) < (Mt - mt) (1- E)
tengsizlikni hosil qilamiz. Demak, k -t oo da
M(kno+n_) m (kn 0 +n) < (M _ C n ) _ m<.n>) (-l _ )k I O

nh
J .7 - J J E .-J,. •
Shunday qilib, qandaydir qism ketn1a-ketlik bo'yicha

  1. ( nfJ)- , (nfJ)


Lekin At .n> - , c_n) - • . b ' - · 1 . , ·
_ .7 m/J --r 0, np --r oo.
-- · · .1 m.7 ay1rrna n o y1c 1a n1011oton bo' lgan1 uchun

. ,; ·- 1n. n --r 00 .
l\({(n ) - (n) 0

    • I .7 )


Download 230,59 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish