Teorema l .. Har qanday m van lar uchun
s
j (rrt + n) == L k (n) P;cj ( ni \
k=l
i,j E S. (1)
Isbot. O'tish ehtimolliklari uchun to'la ehtimolliklar fonnulasini qo'llab quyidagi tenglikni olamiz:
./ 1n + n) == P ( Xrn+n == j / Xo == i) ==
8
== L...·..t
P (xn
== k / xO
== i]\ · P(xrn,rn
== y· / xO
== i ,
xn. ,
== k) .
(2)
k= l
Markov xossasiga asoslanib,
p (X m+ n = j / Xo = i, Xn = k) = P (Xm+n = j / Xn = k) =
== P ( xm == j / :r 0 ::::;: k ) == P kj ( m ,)
tenglikni hosil qilamiz. Teorem.a 1 ning isboti oxirgi va (2) tengliklardan kelib chiqadi.
Isbotlangan (1) tenglikni o'tish eht:imolliklari I(olmogorov-Chepmen tenglan1ala1i deb ataladi.
Agar
P(m) ==\I . i .
(rn' ;8)
== l'I j ( m ' ) 11S
1
1
deb olsak, Kolmogorov-Chepmen tenglamalarini har qanday •m va n
uchun
P(m + n) == P(n) ·P(m)
matritsalar ko'rinishida yozish n1un1kin.
(3)
Endi J (1) == pJi,
ekanligini hisobga olsak,
P (l) = P = (Pij ): .
Demak, (3) tenglikka ko'ra
P(n) == [P(l)f == pn
(4)
ya'ni n qadarnda o'tish ehtimolliklari
j (n) == P ( xn == j / x0 == i)
Markov zanjirini aniqlaydigan stoxastik matritsa P ning elementlari Pij lar
orqali topilishi mumkin bo' lar ekan. Bunda (3) va (4) formulalar alohida ahamiyat kasb eta.di.
Aytib o'tilganlardan kelib chiqadiki, Markov zanjirini tashkil
qiladigan { xn,n > 0} tasodifiy miqdorlar ketma-ketligini o'rganishda
manfiy bo'hnagan matritsalar nazariyasi muhim rol o'ynar ekan. Bu fikmi
Markov zanjirlari uchun muhim bo'lgan quyidagi tushunchalar misolida
namoyish qilamiz.
Markov zanjirining i holati ahamiyatga molik bo'lmagan holat deyiladi, agar shunday j holat va t0 musbat butun son mavjud bo'lib, P;j( to) > O va har qanday t uchun ½i (t) =c O munosabatlar o'rinli bo'lsa.
Aks holda i holat ahamiyatga molik bo'lgan holat deyiladi. Demak, i ahamiyatga molik bo'lmagan ho!at bo'lsa, undan biror j holatga o'tish mumkin, lekin bu j holatdan i ga qaytish mumkin bo'lmaydi. Masalan,
oldingi punktdagi misol 2 da holatlar to'plami (1,2,3) va o'tish
ehtimolliklari matritsasi
1 1 -1
3 3 3
p --
0 -l 1
2 2
0 I 1
2 2
bo'lgan Markov zanJin ko' rilgan edi. Bu misolda birinchi holat 1
ahamiyatga molik bo'lmagan, aksincha (2,3) lar ahamiyatga molik bo'lgan
holatlar bo'ladi. Haqiqatan ham, l dan 2 va 3 holatlarga mos ravishda .!. va
3
.3!. ehtimolliklar bilan bir qadamda o' tish mum.kin, lekin ulardan I holatga
qaytish mumkin emas. Ko'rilayotgan za1zjir qandaydir qadamda (2,3) holatlarga tushganidan so'ng, u bu holatlarda doim qolib ketadi.
Bu hodisani o'rganilayotgan zaajir uchun uning 1 holatda doim qola olmasligi (A hodisaning ehtimolligi O ekanligi) va o'tish ehtimolliklari
matritsasi P da pastki o'ng burchakda
- -
p 1= 1I I i
2 2
qism stoxastik matritsa borligi tasdiq etadi.
Umumiy holda Markov zanjiri ahamiyatga molik bo'lmagan holatlarda doim qolmasdan, qandaydir chekli qadamda zanjir ahamiyatga em do i.lik holatlarga o'tadi. Bu eslatib o'tilgan misol 2 da namoyish etilgan
Markov zanjiri { xn,n > 0} uchun yechilishi kerak bo'lgan asosiy masalalardan biri, xn tasodifiy miqdoming ixtiyoriy n momentdagi taqsimotini topish hisoblanadi. To'la ehtimol!ik fommlasini qo'llab,
2?7
s s
P(:en == j) == I: P ( Xo == i)P (.xn == j / Xo == i) == Pi j (n) (5)
i=l z= l
tenglikni olamiz. ·
Ba'zi hollarda P (xn == j) taqsimot n ga bog'liq bo'lmasligi
mumkin, ya'ni
Xo' X1. .' . ' Xn' ...
tasodifiy miqdorlar bir xii taqsimlangan bo'lishi murnkin. Shu munosabat bilan statsionar taqsimot tushunchasini kiritan1iz.
Quyidagi shartlami qanoatlantiradigan
q == ( q1 ,··· ,qs )
sonli vektor statsionar ehtimollik taqsimoti deyiladi, agar
s
1) qk > o, k == l, .. ., s,
2) I: qkPkj == qj, j == l, 2, ... , 8 . (6)
k= l
Bu yerda Pij Markov zanjirini aniqlaydigan o' tish ehtimolliklari.
Agar Markov zanjirida boshlang' ich taqsimot
P ( x0 == j) = pj == q j, j == l, 2, ... , s
bo' lsa, bu holda har qanday n > 0 uchun
p (Xn == j) = q j, j = 1, 2, ... , S • (7)
Haqiqatan ham, Kolmogorov-Chepmen tenglamasini qo'llab, (5) va (6) formulalardan
p (xn ·= j) == Is: qkPkj (n) == In: qk ( Is: Pki j (n -1)) ==
k=l k=l i=l
== sL[ sL qkPki)
j (n -1) == sLqi j (n -1) =
i=I k=l i=l
s
== ... == LqiPij = qj
i=l
tengliklami olamiz.
Agar (7) tenglik bajarilsa, { xn, n > 0} tasodifiy miqdorlar ketma-
ketligi statsionar Markov zanjiri deb ataladi.
3. O'tish ehtimolliklari uchun limit teorema
O'tish ehtimolliklari matritsasi
p == ( Pi j ):
bo'lgan Markov zanjiri
(1)
berilgan bo'lsin.
Markov zanJtn (1) ergodik xossaga ega deymiz, agar quyidagi
limitlar r
1m PiJ (n)
n oo
== 1r j, j == l, 2, ..., s
s
mavjud bo'libgina qolmasdan, boshlang'ich holat i ga bog'liq bo'lmagan holda limit qiymatlar (711, .•• , 1r3 ) ehtimollik taqsimotini tashqil qilsa, ya'ni
1rj > o, L 1rj == 1. c2)
j=l
Bu (2) taqsimot- ergodik taqsimot deb ataladi.
Quyidagi teorema ergodik Nlarkov zanjidari yetarli darajada katta sinfni tashkil etishini ifoda etadi.
Teorema (Ergodik teoren1a) Tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi (1) holatlar to'plami
S = {1, 2, ..., s}
va o'tish ehtimolliklari n1atritsasi P bo'lgan Markov zanjiri bo'lsin.
Agar qandaydir n0 uchun
1 i 1 Pi'i(no) > 0
i,J "
(3)
bo'lsa, shunday 1r1, ... , n8 sonlar topiladiki, ular uchun (2) munosabatlar o'rinli bo'lib, har bir j ES va har qanday i C-: S uchun
Penij ) ,
1r ji
n --a-, oo.' (4)
Aksincha, agar (2) va (4) munosabatlami qanoatlantiruvchi
1r 1, ... , 1r 8 sonlar n1avjud bo'lsa, (3) tengsizlik o'rinli bo'ladi.
(2) va (4) shartlami qanoatlantiruvchi (1r1, ... , 1r8 ) sonlar
s
7rj == L 1fkPkj, j == 1, ..·, 8
k=l
tenglainalar sistemasini yechimi bo' ladi.
Isbot. A) Quyidagi belgilashlami kiritamiz:
mc_n) == min p :1) Mc.n) == max p :1)
z
J ' 'lJ ' J . 'lJ
i
Kolmogorov - Chepmen tenglamasi bo'yicha
(5)
(n+l) _ s
(n)
(6)
Pij - L PikP k-'
k=l J
tenglik o' rinli bo' lgani uchun
>
(n+l) _ . (n+l) _ . Ls
mj - m n Pij -:-- min P · , P .
i i
k=l
. 1, /\ kJ
. '°8 ' . (n) .· Cn)
111111 Li Pik · n1 n Pk·j = m7_
1
.
' k=l
. k<,;;
-·
Demak, mj"l < mt+I) va shuningdek Mt > M n+I)_
Shuning uchun ha1n (4) lin1it munosabatni isbot etish uchun
M\n) - 1nc_n) -t 0, n --1- oo, j == 1, ..., s
J J
ekanligini ko'rsatish yetarli bo'ladi.
Agar
)
E == Il i!1pf/0
Z,.J
deb olsak, quyidagi tenglikni yoza olamiz:
( n0 +n ) _ v ( n0) (n) _ (p(no) _ ,_pen>) p(f!')+
Pij - LtPij Pkj - L ik C Jk kJ
+c""""' pc.n)PC 7!) === [P. (n 0)_ €pc_n)
PC ) + Ep(?n)
k k l
lekin
L Jk 7 L zk yk · kJ 11
k k
va shuning uchun ham
(no+n)> (n)'°'lr· Jno) c . (no)+l
(2n) _
PiJ - mj l-'ik G.Pjk J EPjj -
k
=== m_ Cn ) (1 - c+) EV( n).
Demak,
J J.. J}
m (no +n) > mC.n) (I - c+) cp( n)
Xuddi shunga o'xshash
J - ) \ G v )] •
M(no+n) < JVt .n ) (l - c)+ P ( n)
J - J . -P11
tengsizlikni olamiz.
Oxirgi tengsizliklami birlashtirib,
Mj"'o+n) - mj"'o+n) < ( Mt - mt) (1- E)
tengsizlikni hosil qilamiz. Demak, k -t oo da
M(kno+n_ ) m (kn 0 +n) < (M _ C n ) _ m<.n>) (-l _ )k I O
nh
J .7 - J J E .-J,. •
Shunday qilib, qandaydir qism ketn1a-ketlik bo'yicha
( nfJ)- , (nfJ)
Lekin At .n> - , c_n) - • . b ' - · 1 . , ·
_ .7 m/J --r 0, np --r oo.
-- · · .1 m.7 ay1rrna n o y1c 1a n1011oton bo' lgan1 uchun
. ,; ·- 1n. n --r 00 .
l\({(n ) - (n) 0
Do'stlaringiz bilan baham: |