Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari


Darajali qatorlar yordamida integrallash



Download 0,51 Mb.
bet2/9
Sana13.07.2022
Hajmi0,51 Mb.
#792731
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Bog'liq
11. DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH USULLARI

Darajali qatorlar yordamida integrallash

Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama



(7.2.1)

uchun boshlang’ich shartlar berilgan



(7.2.2)

Tenglamaning o’ng tomoni  boshlang’ich nuqta M0(x0, u0, u0, ..., u0(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin.

(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x0-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:

(7.2.3)
Bu erda |x-x0|  h, h – etarli kichik son.

Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.

Agar x0=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.

Misol.


y=x2(7.2.4)

tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(7.2.5)

(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak



y(3)=2xy+x2

y(4)=2y+2xy +2xy + x2’’=2y+4xy + x2’’
y(5)=2y +4y +4xy ’’+2xy ’’+ x2’’’=6y +6xy ’’+ x2’’’

y(6)=12y ’’+8xy ’’’+ x2y(4)

y(7)=20y ’’’+10xy(4)+ x2y(5)

y(8)=30y(4)+12xy(5)+ x2y(6)

Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:



y’’(0)=0; y’’’(0)=0; y(4)(0)=2; y(5)(0)=y(6)(0)=y(7)(0)=0;

y(8)(0)=60.

Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:



Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:



y=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+a3(x-x0)3+... (7.2.6)

Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 , ... an topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.

Misol. y’’=x2tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.

Yechish. x0=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:



u=a+a1x+a2x2+...+anxn+... (7.2.7)

Bundan ikki marta hosila olsak



y=a+2a2x+3a3x2+4a4x3+...+nanxn-1...

u’’=2a+6a3x+12a4x2+...+ n(n-1) an xn-2...

Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a0=1; a1=0 ekanligini aniqlaymiz. a0 va a1 ni (7.2.7) ga qo’ysak


OddiyDifferensial tenglama deb, o’zgaruvchi noma’lum funksiya va uning hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi. Differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:

yoki

izlanayotgan funksiya bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lgani sababli differensial tenglama deyiladi.
Umuman, noma’lum funksiya ko’p argumentli bo’lgan hollar ham tez-tez uchraydi. Bunday holda differensial tenglama deb ataladi.

Download 0,51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish