Darajali qatorlar yordamida integrallash
Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama
(7.2.1)
uchun boshlang’ich shartlar berilgan
(7.2.2)
Tenglamaning o’ng tomoni boshlang’ich nuqta M0(x0, u0, u’0, ..., u0(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin.
(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x0-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:
(7.2.3)
Bu erda |x-x0| h, h – etarli kichik son.
Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.
Agar x0=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.
Misol.
y”=x2u (7.2.4)
tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(7.2.5)
(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak
y(3)=2xy+x2y ’
y(4)=2y+2xy ’+2xy ’+ x2y ’’=2y+4xy ’+ x2y ’’
y(5)=2y ’+4y ’+4xy ’’+2xy ’’+ x2y ’’’=6y ’+6xy ’’+ x2y ’’’
y(6)=12y ’’+8xy ’’’+ x2y(4)
y(7)=20y ’’’+10xy(4)+ x2y(5)
y(8)=30y(4)+12xy(5)+ x2y(6)
Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:
y’’(0)=0; y’’’(0)=0; y(4)(0)=2; y(5)(0)=y(6)(0)=y(7)(0)=0;
y(8)(0)=60.
Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:
Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:
y=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+a3(x-x0)3+... (7.2.6)
Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 , ... an topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.
Misol. y’’=x2u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.
Yechish. x0=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:
u=a0 +a1x+a2x2+...+anxn+... (7.2.7)
Bundan ikki marta hosila olsak
y’=a1 +2a2x+3a3x2+4a4x3+...+nanxn-1...
u’’=2a2 +6a3x+12a4x2+...+ n(n-1) an xn-2...
Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a0=1; a1=0 ekanligini aniqlaymiz. a0 va a1 ni (7.2.7) ga qo’ysak
OddiyDifferensial tenglama deb, o’zgaruvchi noma’lum funksiya va uning hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi. Differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:
yoki
izlanayotgan funksiya bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lgani sababli differensial tenglama deyiladi.
Umuman, noma’lum funksiya ko’p argumentli bo’lgan hollar ham tez-tez uchraydi. Bunday holda differensial tenglama deb ataladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |