1. Bir jinsli tenglamalar sistemasini yechish

TANLANMANING STATISTIK TAQSIMOTI

Tanlanmaning statistik taqsimoti haqidagi masalani yechishdan avval matematik statistikaning ayrim tushunchalarini aytib o’tamiz. Matematik statistika asosan ikkita masalani hal qiladi:

1. 
   Statistik ma’lumotlarni to’plash va agar lozim bo’lsa, gruppalash usullarini ko’rsatishdir.
   
2. 
   Tadqiqot maqsadlariga muvofiq ravishda statistik ma’lumotlarni tahlil qilish metodlarini ishlab chiqishdir.
   

Bir jinsli ob’ektlar to’plamini o’rganish bu ob’ektlarni xarakterlovchi sifat yoki son belgilariga qarab amalga oshirilishi mumkin. Masalan, 1983 xo’jalik yilida biror kolxoz hosildorligi unda yetishtirilgan paxtaning kilogramiga (son belgisi) yoki sortiga (sifat belgisi) qarab baholanishi mumkin.

Ba’zi hollarda ob’ektlar to’plamining barcha elementlarini biror belgisiga qarab tekshirish mumkin. Ammo – bu usul ob’ektlar to’plami katta bo’lganda, juda katta amaliy qiyinchilik tug’diradi. Bunday hollarda to’plamdan chekli sondagi ob’ektlar tasodifiy ravishda ajratib olinib, shu olingan ob’ektlargina o’rganiladi.

Tanlanma to’plam deb o’rganilayotgan ob’ektlar to’plamidan tasodifiy ravishda tanlab olingan ob’ektlar to’plamiga aytiladi.

Bosh to’plam deb tanlash amalga oshiriladigan ob’ektlar to’plamiga aytiladi.

To’plamning hajmi deb to’plamdagi ob’ektlar soniga aytiladi.

Umuman tanlanma to’plam (bosh to’plamdan) shunday olinishi kerakki, unda bosh to’plamning muhim asosiy xususiyatlari saqlangan bo’lsin, ya’ni olingan tanlanma to’plamni statistik tahlil qilish yordamida chiqarilgan nazariy va amaliy xulosalar bosh to’plamini berilgan ishonchlilik darajasi bilan yetarlicha to’liq xarakterlaydigan bo’lsin. Matematix statistikada bunday tanlanmani reprezentativ tanlanma deyiladi. Bu xususiyat ko’pincha tasodifiy tanlanmalarda saqlanadi.

Misol. 70 ga maydoni bo’lgan brigadaning birinchn terimda gektaridan o’rtacha necha tsentnerdan paxta terib olishini taxminan baholash talab qilingan bo’lsin. Aytaylik, 1 ga maydonda o’rtacha 120000 tup g’o’za bo’ladigan bo’lsa, tabiiyki, 70 ga maydondagi g’o’zalar sonini va har birida ochilgan paxta chanoqlari sonini sanab chiqish amaliy jihatdan bajarib bo’lmaydigan holdir. SHu sababli barcha paxta maydonini o’lchami 100 kv. m. bo’lgan 7000 ta kvadratlarga ajratib ularni nomerlaymiz va ulardan tasodifiy ravishda bir nechtasini, masalan, 50 tasini olamiz. Bu misolda bosh to’plam brigadaning barcha maydoni 70 ga bo’lib, uning hajmi N=7000, tanlanma to’plam esa ajratib olingan 0,5 ga, hajmi p = 50 bo’ladi.

Tanlash usullari asosan quyidagilarga bo’linadi:

1. 
   Bosh to’plamni qismlarga ajratishni talab qilmaydigan tanlash:
   

a) oddiy qaytarilmaydigan tasodifiy tanlash;

b) oddiy qaytariladigan tasodifiy tanlash.

2. 
   Bosh to’plamni qismlarga ajratilgandan keyin tanlash:
   

a) tipik tanlash;

b) mexanik tanlash;

v) seriyali tanlash.

Aytaylik, bosh to’plamni o’rganish uchun biror belgisiga qarab hajmi p bo’lgan tanlanma to’plam olingan bo’lsin. Bunda x1 qiymat n1 marta, x2 qiymat p2 marta va hokazo, x_k qiymat p_k marta kuzatilgan, n_i  n bo’lsin. Kuzatilgan x qiymatlar variantalar deyiladi, Variantalarning o’sib borishi tartibida yozilgan ketma–ketlik variatsion qator deyiladi. Kuzatishlar soni n_i ni chastotalar, W _ ⁿⁱ ni nisbiy chastotalar deyiladn. n

Buni misolda tushuntiramiz. Ma’lum bir paxta maydonidan tasodifiy ravishda 100 tup g’o’za olinib, shu olingan g’o’zalarning har bir tupida ochilgan chanoqlar sonini hisoblaylik. Bu misolda barcha g’o’za tupi n=100 tanlanma hajmi bo’lib, varianta qiymati x₁=0 esa ochilgan chanoqlari soni 0 ta bo’lgan g’o’zani va shunday g’o’zalardan 100 tup ichida nechta bo’lsa, ularning soni p₂ (chastotasi) bo’ladi, va hokazo.

Tanlanmaning statistik taqsimoti deb variatsion qatorning x variantalari va ularga mos keluvchi chastotalar yoki nisbiy chastotalar ro’yxatiga aytiladi va quyidagicha yoziladi: x_i x1 x_k