10-mavzu. Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan diffеrеnsial tеnglamalarni o‘zgarmasni variatsiyalash usuli (Lagranj usuli) va Ostrogradskiy-Liuvill formulasi yordamida yechish

10-MAVZU. Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan diffеrеnsial tеnglamalarni o‘zgarmasni variatsiyalash usuli (Lagranj usuli) va Ostrogradskiy-Liuvill formulasi yordamida yechish.
Ushbu

(1)

tenglamani yechish masalasi bilan tanishamiz.

Umuman (1) tenglamani umumiy yechimini f(x) funksiyaning ko’rinishiga bog’liq bo’lmagan holda o’zgarmasni variatsiyalash usulida (Lagranj usulida) yechish mumkin.

Buning uchun (1) ga mos bir jinsli tenglamani yechib, umumiy yechim topiladi, ya’ni

(2)

bu yerda c_i=c_i(x) deb olamiz va (2)ni (1)ga qo’yish uchun ketma-ket hosila olamiz

(3)

(3)da deb qolgan qismidan yana hosila olamiz

bunda ham c_i(x) larni hosilasi qatnashganlarini nolga tenglaymiz

Unda

(4)

ko’rinishidagi sistemaga kelamiz.

(4) sistemadan algebra kursidagi biror usul bilan c_i(x) larni topib (3)ga qo’yamiz va (1) ning umumiy yechimini hosil qilamiz.

(1) tenglamani umumiy yechimi, mos bir jinsli

(5)

tenglamaning umumiy yechimi bilan (1) tenglamaning xusisiy yechimi yig’indisiga teng bo’ladi, ya’ni

y= + (6)

6. 
   - (1) ning xususiy yechimi.
   

- (5) ning umumiy yechimi.