12-ma’ruza. Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamalar. Oʼzgarmas koeffitsientli yuqori tartibli bir jinsli tenglamalar

12-ma’ruza. Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamalar. Oʼzgarmas koeffitsientli yuqori tartibli bir jinsli tenglamalar.

y''+py'+qy=0 (1) (bu yerda p,q lar o’zgarmas haqiqiy sonlar.)
ko’rinishdagi tenglamaga o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglama deyiladi. Xususiy yechimni y=e^kx (k=const) ko’rinishda izlaymiz:

Bu holda у'=ke^kx, у''=k²e^kx, y, у', y'' larni (1) gа quyamiz.

e^kx(k²+pk+q)=0  k²+pk+q=0 (2)

(2) chi tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.

(2) tenglama kvadrat tenglamadir.

Quyidagi holler bo’lishi mumkin:

1. к₁ va к₂ -haqiqiy va к₁к₂

2. к₁ va к₂- kompleks sonlar:

3. к₁ va к₂ -haqiqiy va к₁=к₂.

Bu hollarni alohida qaraymiz:

1. Xarakterictik tenglamaning ildizldri haqiqiy va har xil (к₁к₂) bo’lgan hol.

Bu holda ‑tenglamaning chiziqli erkli yechimlari, chunki

Demak, (1) tenglamaning umumiy yechimi y=c₁e^kx+c₂e^kx (3)

ko’rinishda bo’ladi.

2. Хаrakteristik tenglamaning ildizlari kompleks sonlar k₁=+i, k₂=-i, bu yerda

Хususiy yechimlar y₁=e^(+i)x vа y₂=e^(-i)x y=u(x)+iv(x) funktsiya (1) tenglamani qanoatlantirsin, u holda u(x) vа v(x) funktsiyalar ham (1) tenglamani qanoatlantiradi:

Yuqorida isbotlanganga ko’ra lar ham (1) tenglamaning yechimlari bulari, chunki vа lar (1) ning chiziqli erkli yechimlari:

Demak, (4)

bu tenglamaning umumiy yechimidir.

1. 
   Хаrakteristik tenglamaning ildizlari xaqiqiy vа teng bo’lgan hol.
   

Bunda к₂=к₁=α . U holda , Ikkinchi yechimni ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda ko’rinishda bo’ladi. Аgar А=1, В=0 deb olsak (х)-х bo’ladi, bundan ekanligi kelib chiqadi.

1. 
   tenglamaning umumiy yechimi (5)
   

ko’rinishda bo’lar ekan.

Bir jinslimas ikkinchi tartibli chiziqli tenglama y''+a₁y'+a₂y= (x) (1) ko’rinishda bo’ladi.

1‑teorema. Bir jinslimas (1) tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning biror у* хususiy yechimi bilan mos bir jinsli

y''+a₁y'+a₂y=0 (2)

tenglamaning у umumiy yechimi yig’indisi kabi ifodalanadi.

Bir jinslimas tenglama xususiy yechimini topishning umumiy usulini ko’rsatamiz.