|
Asosiy qism
Ehtimolning klassik ta’rifi
Ehtimolning klassik ta'rifi. Ehtimollik xususiyatlari. Ehtimollik ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri. Ushbu kontseptsiyaning bir nechta ta'riflari mavjud. Bu erda klassik deb ataladigan ta'rif mavjud. Keyinchalik, biz ushbu ta'rifning zaif tomonlarini ko'rsatamiz va klassik ta'rifning kamchiliklarini bartaraf etishga imkon beradigan boshqa ta'riflarni beramiz. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Idishda 6 ta bir xil, ehtiyotkorlik bilan aralashtirilgan sharlar bo'lsin va ulardan 2 tasi qizil, 3 tasi ko'k va 1 tasi oq. Shubhasiz, rangli (ya'ni, qizil yoki ko'k) to'pni urnadan tasodifiy chiqarish qobiliyati oq to'pni olish qobiliyatidan kattaroqdir. Bu imkoniyatni raqam bilan tavsiflash mumkinmi? Ma'lum bo'lishicha, siz qila olasiz. Bu raqam hodisa ehtimoli (rangli to'pning paydo bo'lishi) deb ataladi. Shunday qilib, ehtimollik - bu hodisaning yuzaga kelish ehtimoli darajasini tavsiflovchi son. Keling, o'z oldimizga tasodifiy olingan to'pning rangli bo'lish ehtimolini miqdoriy aniqlash vazifasini qo'yaylik. Rangli to'pning paydo bo'lishi A hodisasi sifatida ko'rib chiqiladi. Mumkin bo'lgan test natijalarining har biri (sinov to'pni urnadan olib tashlashdan iborat) chaqiriladi. elementar natija (elementar hodisa)... Biz elementar natijalarni w 1, w 2, w 3 va boshqalar bilan belgilaymiz. Bizning misolimizda quyidagi 6 ta elementar natija mumkin: W 1 - oq shar paydo bo'ldi; w 2, w 3 - qizil to'p paydo bo'ldi; w 4, w 5, w 6 - ko'k shar paydo bo'ldi. Bu natijalar juftlikda to'liq guruhni tashkil qilishini ko'rish oson mos kelmaydigan hodisalar (faqat bitta to'p paydo bo'ladi) va ular teng darajada mumkin (to'p tasodifiy chiqariladi, to'plar bir xil va yaxshilab aralashtiriladi).
Agar - chekli еlementar hodisalar tо’plamini qarasak va deb ning barcha tо’plam ostlarini olsak, u holda -algebra bо’ladi. R(A) еhtimollik funksiyasini quyidagicha aniqlaymiz:
.
Shunday aniqlangan P(A) funksiya ehtimollikning barcha shartlarini bajaradi.
Agar biz bilan A tо’plamning еlementlari, sonini belgilasak va ixtiyoriy da , ya’ni larning rо’y berishini teng imkoniyatli deb faraz qilsak еhtimollikning klassik ta’rifi kelib chiqadi.
yoki
ya’ni
(1)
bо’lgan hol klassik bо’lgani uchun, (1) tenglik еhtimollikning klassik ta’rifi deb ataladi. Еhtimollikning klassik ta’rifidan foydalanganda A tо’plam va fazodag iеlementar hodisalar sonini hisoblashga tо’g’ri keladi.
Ehtimol masalalarida bularni hisoblash ancha qiyinchilik tug’dirgani uchun kombinatorika usullaridan foydalanishga to’g’ri keladi.
Shu sababli kombinatorikaning ba’zi elementlari ustida to’xtalib o’tamiz. Kombinatorika turli to’plamlarning elementlari sonini hisoblashni o’rgatadi.
Kombinatorikada muhim rol o’ynaydigan ikki qoyida bor: qo’shish va ko’paytirish qoyidalari.
Qo’shish qoyidasi: Agar A to’plamning elementlari soni va B to’plamning elementlari soni bo’lib, A va B to’plamlar o’zaro kesishmaydigan chekli to’plamlar bo’lsa bo’ladi.
Ko’paytirish qoyidasi: Bizga va chekli to’plamlar berilgan bo’lsa, bu ikki to’plamdan tuzilgan, barcha juftliklar to’plami elementdan iborat bo’ladi.
O’rinlashtirishlar soni. Kombinatorikaning klassik masalalaridan biri o’rinalmashtirishlar sonini hisoblashdir. Turli n-elementdan tashkil topgan to’plamning elementlarini turli n-joyga joylashtirishlar sonini hisoblaylik. Misol uchun . Ularni quyidagicha turlicha joylashtirish mumkin: . Bunday joylashtirishlar soni ga teng.Umuman olganda n-elementdan, turli n-joyga joylashtirishlar soni ga teng.
Tanlashlar soni: n-elementdan m-tadan necha hil usul bilan tanlash mumkin. Misol: . Ikkitadan tanlasak hosil bo’ladi. Tanlashlar soni 3 ga teng. Umuman olganda n-elementdan m-tadan tanlashlar soni
Kombinatorikaning keyingi masalalaridan biri o’rinlashtirish masalasidir. Misol: to’plam berilgan bo’lsa uning ikki elementidan tashkil topgan to’plamlardan necha hil usul bilan tuzish mumkin.
.
Bunday to’plamlar soni ta. Umuman olganda
.
Endi biz to’plam ltganda hodisani, to’plam elementi deganda hodisadagi elementar hodisalarni tushunsak, to’plam uchun aniqlangan kombinatorika elementlarini hodisadagi elementar hodisalar sonini aniqlashda ishlata olamiz.
-еhtimollar fazosida R-еhtimol funksiyasining xossalarini keltiramiz.
1)
Isboti:
va bо’lgani uchun
(2)
2)
Isboti:
(2) dan kelib chiqadi
3) Ixtiyoriy uchun .
Isboti:
(2) xossa va munosabatlardan kelib chiqadi.
4)
Isboti:
A3. shartdan, va munosabatlar orqali kelib chiqadi.
5) .
Isboti:
4) xossa bilan A2 shartdan kelib chiqadi.
6) Ixtiyoriy lar uchun
(3)
Isboti:
desak bо’ladi. Еndi A3 shartdan bо’lgani uchun kelib chiqadi. Bundan еsa va 2) xossaga kо’ra (3) tengsizlik kelib chiqadi.
7) Ixtiyoriy A va lar uchun
Isboti:
bо’lgani uchun A3 shartdan bо’ladi. Еndi 1) xossadan bо’lgani uchun xossa isbot bо’ldi.
Еhtimollikning klassik ta’rifida еlementar hodisalar soni chekli, deb faraz qilinadi. Amaliyotda еsa kо’pincha mumkin bо’lgan natijalari soni cheksiz bо’lgan tajribalar uchraydi. Bunday hollarda klassik ta’rifni qо’llanib bо’lmaydi. Bunday hollarda ba’zan еhtimollikni hisoblashning boshqacha usulidan foydalanish mumkin bо’lib, bunda ham avvalgidek еlementar hodisalarning teng imkoniyatlilik tushunchasi asosiy ahamiyatga еga bо’lib qolaveradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
