2. 5-§. Interpolyatsion ko'phadlarning qoldiq hadi bahosini minimallashtirish masalasi. Chebishev ko‘phadlari

2.6-§. Oraliqda algcbraik ko^phadlar orqali o‘rta kvadratik yaqiniashish
I araz qilaylik, f(x ) funksiya p(x)> 0 vazn bilan oraliqda kvadrati bilan integrallanuvchi bo‘lsin, ya’ni
b
\ p ( x ) f 2(x)dx
a
iihtvjiid bo‘lsin. Bunday funksiyalami L2p [a,b] fazoga tegishli dvyiladi. Bu funksiyani
umumlashgan ko‘phad bilan o‘rta kvadratik ma’noda yaqinlashtirish masalasini qaraylik, ya’ni a0,a},...,an kocffitsiyentlami shunday topaylikki,
8„ = |р(х )[/(х )-Р „(х )]2 Л (2)
a
ifoda eng kichik qiymat qabul qilsin.
Bu yerda {фДх)}* [a,6] da yetarlicha silliq va hisoblash uchun qulay bo‘lgan chiziqli bog‘liqsiz funksiyalar sistemasidir. {©Дх)}" funksiyalar sistemasi [ a, Z>] da Chebishev sistemasini tashkil etadi, deb hisoblaymiz. 5Я funksiya а0,а},...,ап larga nisbatan kvadratik ko‘phad va 5„>0 bo‘lgani uchun uning minimumi mavjud, bu minimumni topish uchun
^ = 0, £ = 0,1,...,и
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish kerak bo‘ladi. Bu tenglamalar sistemasi quyidagi ko'iinishga egadir:
Agar L2p [a,b] fazodan olingan ixtiyoriy ikki ф(х) va ф(х) funksiya skalyar ko‘paytmasini (ф,ф) orqali belgilasak:
и holda (3)ni quyidagi ko^inishda yozish mumkin: МФо , Фо) + Д|(Ф1 ,
ЛФЧ >ФО) = СЛфо)> «о (Фо - Ф1) + «I (ф|» ф]) + ■ • ■ + “п (Ф« > Ф1) = (/«Ф1), “о (Фо > фя ) + «1 (Ф1 » фв) + • • • + "ДФи > Фя ) = (АФи )• Hu sistema yagona yechimga egadir, chunk! uning determinant!
Gtam determinantidir. Chiziqli bogliqsiz funksiyalar sistemasidan
luzilgan
determinant Gram determinant deyiladi va uni noldan farqliligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, aksincha, ya’ni Гл = 0 bo‘lsin. U holda (5) sisteinaga mos keladigan bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar
Mstcmasi
«о (Фо, ф |) + a \ (Ф1 , Ф;) + • ■ ■ + а Д<Ри • Ф.•) = 0, i = 0,1,...,П (6) kinnida bitta trivial bo4magan yechimga ega boiishi kerak, ya’ni '.liunday a(),al ,...,a n sonlar topilishi kerakki, ulaming kamida bittasi noldan farqli bolib, (5) sistemani qanoatlantirsin, (6) sistemaning k-nglamalarini mos ravishda a0 ,a[7...,a n larga ko‘paytirib yig^amiz va (•I) ni c ’tiborga olsak, quyidagi hosil bo‘ladi:
Bunday bo‘lishi mumkin emas, chunki {фА(х)}* chiziqli bog‘liqsiz funksiyalar sistemasi bo‘lib, a0,al,...,an laming kamida bittasi noldan farqliligi sababli [aocpo (x) + 6fj
о„фл (х)]2 ko‘phad aynan nolga teng emas. Demak, Gram determinant! noldan farqli va (5) sistema yagona yechimga ega.
Agar oraliqda p(x) > 0 vazn funksiya bilan {ф*(х)}'' funksiyalar sistemasi ortogonal ko‘phadlar sistemasini, ya’ni (ф*(х),Ф/(х)) = 0, к * I tashkil etsa, u holda (5) tenglamalar sistemasining har bir tenglamasi bitta noma’lumga bog‘liq bo‘lib, ak koeffitsiyentlar quyidagicha aniqlanadi:
(/> *) £ = .... n
Agar {фДх)}^’_0 [] da /?(х)5>0 vazn funksiya bilan ortonormal ko‘phadlar sistemasini tashkil etsa, u holda ak koeffitsiyentlar quyidagicha aniqlanadi:
b
Bu holda eng kichik og‘ish
hi Ian xarakterlanadi.
Quyida hisoblash raatematikasida ko‘p qo‘llaniladigan ortogonal ki/phadlar sistemalarini keltiramiz [11].