2-тема циркуляция и поток вектора магнитной индукции



Download 363,3 Kb.
bet2/2
Sana19.02.2022
Hajmi363,3 Kb.
#459961
TuriРешение
1   2
Bog'liq
Циркуляция и поток вектора магнитной индукции

Циркуляцией по отрезку прямой однородного поля называется скалярное произведение: , где  угол между векторами и .
Рассмотрим участок произвольной направленной кривой. Разобьем этот участок на мелкие отрезки , направленные так же, как и сама кривая. Тогда, циркуляцией вектора по участку кривой называется криволинейный интеграл , который представляет собой предел суммы при делении кривой на бесконечно малые отрезки:


.

Малый участок кривой можно считать прямым отрезком, а поле в пределах этого участка  однородным, поэтому каждое слагаемое в сумме представляет собой циркуляцию вектора по отрезку .


Циркуляцию вектора по замкнутой кривой будем обозначать как .
Магнитным потоком вектора в однородном поле через плоскую поверхность площади называется величина
, (3.19)

где  единичный вектор нормали к поверхности,  угол между направлением вектора и направлением нормали к поверхности. В системе СИ единица измерения магнитного потока Вебер (Вб).


Теперь рассмотрим участок произвольной поверхности . Потоком вектора через участок поверхности называется поверхностный интеграл, представляющий собой предел суммы при делении поверхности на куски бесконечно малых площадей:


. (3.19,а)

Малый участок поверхности можно считать плоским, а поле в пределах этого участка – однородным, поэтому каждое слагаемое в сумме представляет собой поток вектора через плоскую поверхность .


Поток вектора через замкнутую поверхность будем обозначать как .
Сформулируем две теоремы о циркуляции и потоке вектора магнитной индукции.
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции (для поля в вакууме). Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому направленному контуру:
, (3.20)
где  алгебраическая сумма токов, пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур, по которому вычисляется циркуляция. Направление обхода контура и направление нормали к натянутой на него поверхности связаны правилом буравчика. Если ток идет по направлению нормали, то его следует считать положительным, если наоборот – отрицательным.
Например, циркуляция вектора магнит­ной индукции по контуру , изображенному на рис. 3.14, равна .
Теорема о потоке вектора магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:



. (3.21)

Теоремы о циркуляции и потоке вектора магнитной индукции полезно сравнить с соответствующими теоремами для вектора напряженности электрического поля. Вспомним теорему о потоке вектора напряженности электрического поля (теорема Гаусса, см. формулу 1.18):




.

Смысл этой теоремы в том, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Они и создают поток вектора напряженности электрического поля. Силовые линии начинаются на зарядах и обрываются на них же. А смысл теоремы о потоке вектора магнитной индукции в том, что магнитных зарядов в природе не существует. Поэтому магнитные силовые линии нигде не начинаются и не заканчиваются, они замкнуты. Это и означает, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю (сколько линий войдет внутрь поверхности, столько и выйдет).


Циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру равна нулю (уравнение 1.34):


.

Смысл этого уравнения в том, что электрическое поле, созданное любой системой зарядов, является полем потенциальным (подробнее см. п. 1.12). Электрическое поле, помимо напряженности  силовой характеристики, имеет еще и энергетическую характеристику – потенциал. Теорема о циркуляции для вектора магнитной индукции говорит о том, что источниками магнитного поля являются электрические токи (по сути, движущиеся электрические заряды), которые и создают циркуляцию вектора . Кроме того, поскольку циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру может быть отлична от нуля, магнитное поле – поле непотенциальное. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми или соленоидальными. Таковым и является магнитное поле.


Приведем несколько примеров на применение теоремы о циркуляции для магнитного поля.
Пример 3.6. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно длинным проводником с током .
Решение. В качестве произвольного замкнутого контура выберем окружность с радиусом , центр которой находится на оси провода (такой контур совпадет с одной из силовых линий – см. рис. 3.13, а). В данном случае скалярное произведение . Поскольку контур пронизывается всего одним током , по теореме о циркуляции для магнитного поля получаем:
.

Величина вектора одинакова во всех точках контура, следовательно, её, как постоянную, можно вынести за знак интеграла:




.
Интеграл представляет собой просто длину контура . Таким образом,
,

откуда находим величину магнитного поля на расстоянии от провода:




.

Последнее выражение в точности совпадает с результатом, полученным в примере 3.3 (см. формулу 3.14) из закона Био-Савара-Лапласа.


Отметим, что формулой 3.14 можно пользоваться и в случае проводника конечных размеров при расчете поля приблизительно напротив центральной части проводника в точках, отстоящих от него на расстояниях, гораздо меньших длины проводника.
Пример 3.7. Найти магнитное поле внутри соленоида длиной , с числом витков и током .
Решение. В качестве контура обхода выберем прямоугольный контур АСDЕ (см. рис. 3.15) так, что отрезок АС приблизительно лежит в средней части соленоида, а отрезок удален на большое расстояние от соленоида. По теореме о циркуляции для магнитного поля имеем:


.

Помещая небольшую магнитную стрелку в различные точки пространства, можно показать, что магнитное поле в средней части соленоида как снаружи, так и внутри, направлено параллельно оси соленоида. Следовательно, на отрезках контура СD и ЕA скалярное произведение




,

а на отрезке АС:


.

Таким образом, циркуляции магнитного поля по отрезкам CD и ЕA равны нулю:




, ,
а по отрезку АС:



(здесь величина вектора магнитной индукции вынесена за знак интеграла, поскольку она должна быть постоянна на отрезке АС из-за осевой симметрии системы). На большом расстоянии от соленоида величина магнитной индукции близка к нулю, поэтому и циркуляция магнитного поля по отрезку равна нулю:


.
В итоге получим:



Сумма токов, пронизывающих контур ACDE:




,

где  число витков, пронизывающих контур ACDE (на рис. 3.15 эти витки показаны),  число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Тогда:


.



Если число витков на единицу длины соленоида представить как , где  общее число витков, а  длина соленоида, то:




.


Полученный результат совпадает с формулой (3.18) для поля на оси бесконечно длинного соленоида. Пользуясь теоремой о циркуляции, мы показали, что в случае достаточно длинного соленоида результат (3.18) можно использовать и для расчета поля в любой точке внутри соленоида в средней его части, а не только на оси.
Download 363,3 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish