4-mavzu. Tekislikdagi kuchlar sistemasi. Reja: 1

4.
 
Tekislikdagi kuchlar sistemasining muvozanat shartlari. 
 
Yuqorida, tekislikda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasini bir markazga 
keltirishda, kuchlar sistemasi bosh vektorga teng bo‘lgan bitta kuchga va momenti 
bosh momentga teng bitta juftga keltirilishini 
ko‘rib o‘tdik. Bunday kuchlar sistemasi
bo‘lsa teng ta’sir etuvchi kuchga, 
,
bo‘lganda bitta juftga ekvivalent bo‘ladi. Lekin, 
tekislikdagi kuchlar sistemasini shu tekislikdagi 
ixtiyoriy O nuqtaga keltirish natijasida, 
bir 
vaqtning o‘zida bosh vektor , bosh moment
ham nolga teng bo‘lishi mumkin: 
yoki: 
, 
, 
(4.9) 
(4.10) 
4.3-rasm. 
(4.9) va (4.10) tenglamalar tekislikdagi kuchlar sistemasi muvozanatining 
zarur va yetarli shartlarini ifodalaydi. 
(4.9) shartlarning zarurligi shundan iboratki, ularning birortasi bajarilmasa, 
kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘la olmaydi. (4.9) shartlarning etarliligi shundan 
iboratki, 
bo‘lsa, tekislikdagi kuchlar sistemasi momenti 
ga teng bo‘lgan 
juftga keltiriladi, lekin 
bo‘lgani uchun, bu kuchlar sistemasi muvozanatda 
bo‘ladi. 
Bosh vektorning moduli (4.4) formula asosida aniqlanishini e’tiborga olsak, 
(4.9) yoki (4.10) tenglamalar o‘rniga, tekislikdagi kuchlar sistemasi muvozanati 
shartlarining analitik ifodasi uchun quyidagi tenglamalarga ega bo‘lamiz: 
. 
(4.11) 
Demak, 
tekislikdagi kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun, bir 
vaqtda kuchlarning shu tekislikda yotuvchi ikkita koordinata o‘qlariga 
proeksiyalarining algebraik yig‘indilari alohida-alohida nolga teng bo‘lishi va shu 
tekislikdagi ixtiyoriy nuqtaga nisbatan momentlarining algebraik yig‘indisini ham 
nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli bo’lar ekan. 
Tekislikdagi kuchlar sistemasi muvozanatining yana quyidagi shartlari 
ham mavjud: 

---

8 
1)
Tekislikdagi kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun, kuchlarning 
shu tekislikda yotuvchi ixtiyoriy ikki nuqtaning har biriga nisbatan momentlarining 
algebraik yig‘indisi alohida – alohida nolga teng bo‘lishi va mazkur nuqtalarni 
birlashtiruvchi 
to‘g‘ri 
chiziqqa 
perpendikulyar 
bo‘lmagan 
o‘qdagi 
proeksiyalarining algebraik yig‘indisini ham nolga teng bo‘lishi zarur va 
yetarlidir 
(4.3-rasm): 
. 
(4.12) 
Tekislikdagi kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun bu shartlarning 
zarurligi shundaki, (4.12) dagi shartlardan birortasi bajarilmasa, bunday kuchlar 
sistemasi muvozanatlashmaydi. 
(4.12) dagi shartlarning tekislikdagi kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi 
uchun yetarliligini isbotlaylik. (4.12) dagi shartlardan birinchi tenglikning 
bajarilishi A nuqtaga nisbatan bosh momentning nolga tengligini ifodalaydi: 
. Bunday holda, tekislikdagi kuchlar sistemasi A nuqtadan o‘tuvchi teng 
ta’sir etuvchiga keltirilishi mumkin (4.3-rasm). 
(4.12) ning ikkinchi ifodasi va teng ta’sir etuvchi kuchning momenti haqida 
Varin’on teoremasiga asosan: 
, 
tenglik bajariladi. Binobarin, ning ta’sir chizig‘i B nuqtadan o‘tadi, ya’ni 
AB da yotadi. (4.12) ning uchinchi shartiga ko‘ra 
R
u
=∑U
i
=0. U 
o‘q 
AB 
ga 
perpendikulyar bo‘lmagani uchun, bu tenglik faqat
bo‘lgandagina 
bajariladi. Demak, (4.12) shart bajarilganda tekislikdagi kuchlar sistemasi 
muvozanatda bo‘ladi. 
2)
 
Tekislikdagi kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun barcha 
kuchlarning shu tekislikdagi bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtaning har 
biriga nisbatan hisoblangan momentlarining yig‘indilari alohida – alohida nolga 
teng bo‘lishi zarur va yetarlidir: 
 
(4.13) 
Kuchlar sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun bu shartlarning zarurligi 
bevosita (4.13) dan kelib chiqadi. Chunki bu shartlarning birortasi bajarilmasa, 
kuchlar sistemasi muvozanatlashmaydi. (4.13) shartlarning tekislikdagi kuchlar 
sistemasi muvozanatda bo‘lishi uchun yetarli ekanligi, teskarisini faraz qilish bilan 
isbotlanadi. (4.13) shartlarning bajarilishiga qaramay, tekislikdagi kuchlar 

---

9 
sistemasi muvozanatda bo‘lmasligi uchun, berilgan kuchlar sistemasi bir vaqtning 
o‘zida A, B, C nuqtalardan o‘tuvchi teng ta’sir etuvchiga keltirilishi kerak (4.4- 
rasm). Bunday hol bo‘lishi mumkin emas, chunki A, B, C nuqtalar bir to‘g‘ri 
chiziqda yotmaydi. Shuning uchun (4.13) shartlar bajarilsa, tekislikdagi kuchlar 
sistemasi muvozanatda bo‘ladi. 
4.4-rasm.