5-§. Grin formulasi

Misol.  ellips bilan chegaralangan tekis figura yuzasini hisoblang.
Yechish. Ellipsni musbat yo‘nalish bo‘yicha aylanib chiqqanda t parametr 0 dan  gacha o‘zgaradi.  bo‘lgani uchun (3) formulaga binoan  .
7-§. Egri chiziqli integralni integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmaslik shartlari
Aytaylik, xOy tekislikdagi D sohada aniqlangan va uzluksiz  va  funksiyalar berilgan bo‘lsin. D sohadan ixtiyoriy ikkita A va B nuqtalar olamiz. D sohada to‘la joylashgan va A, B nuqtalarni tutashtiruvchi bo‘lakli silliq L konturni olib,
(1)
integralni hisoblaymiz.
Agar bu integralning A va B nuqtalarni tutashtiruvchi ixtiyoriy bo‘lakli silliq L chiziqlar bo‘yicha olingan qiymatlari teng bo‘lsa (16-rasm), u holda  integral D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq emas deyiladi (faqat boshlang‘ich va oxirgi nuqtalarga bog‘liq).
16-rasm
1-teorema.  egri chiziqli integral D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi uchun D sohada to‘la joylashgan, o‘zi-o‘zini kesmaydigan ixtiyoriy yopiq C kontur bo‘yicha olingan integral nolga teng bo‘lishligi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriy shart.  integral D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasin. D sohada joylashgan, o‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq C kontur olaylik (17-rasm).
17-rasm
Unda ikkita A va B nuqtalarni olsak, ular L konturni ApB va AqB qismlarga ajratadi.
Shartga binoan  , bundan  , yoki 
Apb va BqA egri chiziqlar birgalikda yopiq L konturni tashkil qiladi, shuning uchun yuqoridagi tenglikni  ko‘rinishda yozish mumkin.
Yetarli shart. D sohada to‘la joylashgan ixtiyoriy yopiq C kontur bo‘yicha  bo‘lsin.  ning D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq emasligini ko‘rsatamiz.
D sohada ikkita A va B nuqtalar olib, ularni D sohada joylashgan va umumiy nuqtalarga ega bo‘lmagan ApB va AqB chiziqlar bilan tutashtiramiz (18-rasm).
18-rasm
Bu chiziqlar birgalikda ApBqA yopiq egri chiziqni tashkil qiladi. Demak, shartga ko‘ra 
Bundan  yoki
,  tengliklarni hosil qilamiz.
Yuqoridagi teoremaga teng kuchli ushbu teoremani keltiraylik.