5-mavzu. Funksiya hosilasi yordamida funksiyani tekshirish. Aniqmas integral. Ratsional kasrli funksiyalarni integrallash

Funksiya ekstrеmumining ikkinchi yеtаrli shаrti
TR funksiya uning og’ishi nolga teng bo’lgan nuqtada maksimumga erishgan edi, chunki bu holda biz funksiyaning teskari U shaklda ekanligini bilgan edik.
Quyidagi shaklga ega funksiyani qaraylik. Bu funksiyaning N nuqtadagi og’ishi nolga teng, lekin funksiya bu nuqtada maksimumga ham minimumga ham erishmaydi. Ikkinchi shaklga ega funksiya ham I nuqtadagi og’ishi nolga teng, lekin nuqta funksiyaning maksimum ham minimum ham nuqtasi emas.
Og’ish no’l bo’lgan nuqta maksimum uchun yetarli shart bo’lmasligini ko’rsatmoqda. No’l og’ish bu funksiyaning “statsionar nuqta”si, ya’ni funksiya og’ishi o’smaydigan ham kamaymaydigan ham nuqtadir. Ba’zi statsionar nuqtalar burilish nuqtalaridir, ya’ni o’gish musbatdan manfiyga (yoki teskarisi) o’zgaradi, ba’zilarida esa funksiya maksimumga (minimumga) erishadi.

Nuqta funksiya maksimum yoki minimumga erishishi yoki burilish nuqtasi ekanligini bilish uchun ikkinchi tartibli shartlarni bilishimiz kerak. (birinchi tartibli shart og’ish nol bo’lishidir)
Ikkinchi tartibli shartlar bizga funksiya og’ish tezligi haqida ma’lumot beradi. Agar funksiya og’ish tezligi manfiy bo’lsa, u holda gorizontal o’q bo’yicha o’zgaruvchi o’ssa og’ish kamayishini anglatadi. Agar og’ish nol og’ish nuqtadagi ogi’shdan kichik bo’lsa, bu funksiya og’ishi chap nuqtalar uchun musbatligini va o’ngroqdagi nuqtalar uchun manfiyligini anglatadi. Rasmda shu holat ifodalangan: og’ish Y nuqtada musbat, M nuqtada nol va Z nuqtada manfiy. Demak, agar og’ish nol bo’lgan nuqtada og’ish tezligi manfiy bo’lsa, bu nuqta funksiya uchun maksimum nuqta bo’ladi. Bu maksimum uchun ikkinchi tartibli shartdir.
Biz shu vaqtgacha teskari U shakldagi funksiya og’sh nol bo’lgan nuqtada maksimumga erishishini ko’rsatdik. Endi ikkinchi tartibli shart asosida statsionar nuqta maksimum bo’lishini qat’iy tekshiramiz.
_{Bu fuksiya og’ish tezligini topishga sodda misoldir. Ma’lumki, funksiya og’ishini differensiallash orqali sodda hisoblash mumkin. Shuning uchun, agar biz funksiyani differensialini, ya’ni} dy/dx, _{differensiallasak funksiya og’ishining tezligini hosil qilamiz. Bu ikkinchi tartibli hosila deb atalib, odatda kabi belgilanadi.}