1-BOB. MATEMATIKA KURSIDA MUSBAT VA MANFIY SONLAR
TUSHUNCHASI
1.1
Sonlar nuri va musbat sonlar haqida tushuncha.
Boshi O nuqtada bo'lgan, chapdan o'ngga qarab gorizontal yo'nalgan OX nurni
chizamiz. Bu yo'nalishni nur tasvirining o'ng tomoniga qo'yilgan strelka ko'rsatib
turibdi. Bu nurda biror E nuqtani belgilaymiz. Hosil bo'lgan OE kesmani birlik
kesma sifatida olamiz. Nurning boshi O nuqta tagiga 0 sonini, E nuqta tagiga esa 1
sonini yozamiz. Bu holda, E nuqta OX nurda 1 sonini tasvirlaydi.
OX nurda 2 sonini tasvirlash uchun nurga birlik kesmani O nuqtadan ketma-ket
ikki marta qo'yamiz. Hosil bo'lgan A nuqta nurda 2 sonini tasvirlaydi. Agar nur
boshidan birlik kesmani uch marta ketma-ket qo'ysak, 3 sonining nurdagi tasviri B
nuqtani hosil qilamiz va hokazo.
Nurning oxiri bo'lmagani uchun unda istalgan natural sonni nurda yuqoridagi
usuldan foydalanib tasvirlash mumkin. Natijada, cheksiz shkalani hosil qilamiz. Bu
shkala sonlar nuri yoki koordinatalar nuri deb ataladi.
O, E, A, B nuqtalarga mos kelgan 0, 1, 2, 3 sonlari bu nuqtalarning
koordinatalari deb ataladi va bu O(0), E(1), A(2), B(3) tarzida yoziladi.
Ko'rib turganingizdek, strelka yo'nalishida nuqtalarning koordinatalari
o'sib boradi va aksincha, strelkaga qarama-qarshi yo'nalishda nuqtalarning
koordinatalari kamayib boradi.
Sonlar nurida har qanday natural son nuqta bilan tasvirlanib, o'zining muayyan
o'rniga ega.
Natural son tushunchasi matemati kaning asosiy tushunchalaridan biridir. U
butun matematika fani singari kishilar amaliy faoliyatlaridagi ehtiyojlar natijasida
vujudga kelgan. Turli-tuman chekli to'plamlarni bir-biri bilan taqqoslash zarurati
ham natural sonlarning vujudga kelishiga sabab bo'ldi. O'zining rivojlanish davrida
natural sonlar tushunchasi bir nechta bosqichni o'tdi. Juda qadim zamonlarda chekli
4
to'plamlarni taqqoslash uchun berilgan to'plamlar orasida yoki to'plamlardan biri
bilan ikkinchi to'plamning qism to'plami orasida o'zaro bir qiymatli moslik
o`rnatishgan, ya'ni bu bosqichda kishilar buyumlar to'plamining sanog'ini ularni
sanamasdan idrok qilganlar.
Vaqt o'tishi bilan odamlar faqat sonlarni atashni emas, balki ularni belgilashni,
shuningdek, ular ustida amallar bajarishni o'rganib oldilar. Qadimgi Hindistonda
sonlarni yozishning o'nli sistemasi va nol tushunchasi yaratildi. Asta-sekin natural
sonlar ning cheksizligi haqidagi tasavvurlar hosil bo'la boshladi.
Natural son tushunchasi shakllangandan so'ng sonlar mustaqil obyektlar bo'lib
qoldi va ularni matematik obyektlar sifatida o'rganish imkoniyati vujudga keldi.
Sonni va sonlar ustida amal larni o'rgana boshlagan fan Arifmetikas nomini oldi.
Arifmetika qadimgi Sharq mamlakatlari: Vavilon, Xitoy, Hindiston, Misrda
vujudga keldi. Bu mamlakatlarda to'plangan matematik bilimlar qadimgi Gretsiyada
rivojlantirildi va davom ettirildi. Arifmetikaning rivojlanishiga o'rta asrlarda Hind,
Arab dunyosi mamlakatlari va O'rta Osiyo matematiklari, XVIII asrdan boshlab esa
Yevropalik olimlar katta hissa qo'shdilar. Natural son atamasini birinchi bo'lib
rimlik olim A. A. Boetsiy qo'lladi.
5
Son tushunchasining kenggayishi jarayonidagi dastlabki to’plam natural sonlar
to’plami N bo’ladi. Juda qadim zamonlarda paydo bo’lgan natural son tushunchasi
ko’p asrlar davomida kengaydi va umumlashtirildi. Kattaliklarni (miqdorlarni)
yanada aniqroq o’lchashga bo’lgan talab musbat kasr sonlar tushunchasiga olib
keldi.
Kasrlarning paydo bo’lish tarixi kattaliklarni o’lchash bilan bog’liq.
Agar bir metr uzunlikdagi yog’ochni o’zaro teng ikki bo’lakga bo’linsa, u holda
bo’laklarning har birining uzunligi ana shu yog’och uzunligining yarmiga teng
bo’ladi va uni
1
2
kabi yoziladi. Agar ana shu bir metr uzunlikdagi yog’ochni o’zaro
teng uch bo’lakka bo’linsa, u holda bo’laklardan har birining uzunlngi shu yog’och
uzunligining uchdan biriga teng bo’ladi va uni
1
2
kabi yoziladi.
Agar bir metr uzunlikdagi yog’ochni teng uch bo’lakka bo’lib, undan ikki
qismini oladigan bo’lsak, olingan uzunligini
2
3
kabi yoziladi.
Agar ana shu yog’ochni to’rt bo’lakga bo’lib, undan uch qismini olsak, olingan
qism uzunligini kabi
3
4
ifodalanadi. Yuqorida qilingan mulohazalarga asoslanib kasr
tushunchasining ta’rifini quyidagicha berish mumkin.
Ta‘rif. Butun sonning o’zaro teng bo’lgan ma’lum bir ulushi, shu sonning kasri
deyiladi. Yuqorida kasr sonlarni hosil qildik. Berilgan narsalarni yoki butun sonni
qancha teng qismga bo’linganligini ko’rsatuvchi sonni kasrning maxraji, shunday
qismdan nechtasi olinganligini ko’rsatuvchi sonni kasrning surati deyiladi. Maxraj
kasr chizig’ining ostida, surat esa kasr chizig’ining ustiga yoziladi. Umumiy holda
kasrni
𝑝
𝑞
ko’rinishda ifodalanadi. Bunda p - kasrning surati, q - kasrning maxraji deb
yuritiladi. ko’rinishdagi kasrlarga qarama-qarshi kasrlarni -
𝑝
𝑞
ko’rinishda
ifodalanadi. Koordinata o’qida -
𝑝
𝑞
ko’rinishdagi kasrlar nol sonidan chapda
joylashgan bo’ladi. Biz butun sonlar to’plamini kengaytirish orqali -
𝑝
𝑞
va
𝑝
𝑞
ko’rinishdagi kasrlarni hosil qildik. Natijada koordinata o’qida {-
𝑝
𝑞
, 0,
𝑝
𝑞
}
ko’rinishdagi sonlar to’plami hosil bo’ldi.
6
Ta‘rif. Barcha natural, butun manfiy va nol sonlari birgalikda butun sonlar
to’plami deyiladi.
Bu yerda natural sonlarga nisbatan qarama-qarshi sonlar barcha butun manfiy
sonlardir, masalan, 1 va - 1, 2 va -2, 3 va -3, .... qarama-qarshi sonlar barcha butun
manfiy sonlardir; Butun sonlar to’plamida faqatgina 0 soniga nisbatan qarama-
qarshi bo’lgan son yo’qdir:
0 = 0 + 0
Butun sonlar to’plamida har doim qo’shish, ayirish, ko’paytirish amallarini
bajarish o’rinlidir, lekin bo’lish amali har doim bajarilavermaydi. Chunki bir butun
sonni ikkinchi butun songa bo’lganda har doim bo’linmada butun son hosil
bo’lavermayda. Masalan, 7:2 = 3,5, 9:4 = 2,25. Bu yerda hosil qilingan bo’linmadagi
3,5; 2,2 sonlari butun sonlar to’plamida mavjud emas. Umuman olganda m*x=n,
m
0 ko’rinishdagi tenglamaning yechimi butun sonlar to’plamida har doim mavjud
emas, bu tenglama har doim x =
𝑚
𝑛
ko’rinishdagi yechimga ega bo’lishi uchun kasr
tushunchasini kiritish orqali butun sonlar to’plamini kengaytirib, unga barcha
manfiy va musbat kasr sonlarni qo’shish kerak. Bu degan so’z {-
𝑝
𝑞
, 0,
𝑝
𝑞
}
ko’rinishdagi ratsional sonlar to’plamini hosil qilish kerak deganidir. Shundagina
m*x=n ko’rinishdagi tenglamalar har doim yechimga ega bo’ladi. Bu yerda r va q
lar natural sonlardir.
Manfiy sonlar tushunchasining paydo bo’lishi tenglamalarni yechish va nazariy
izlanishlar bilan bog’liq. Nol avval sonning yoqligini bildirgan bo’lsa, manfiy
sonlarning kiritilishi bilan butun sonlar to’plami Z da hamda ratsional sonlar
to’plami Q da teng huquqli songa aylandi.
Bizning eramizgacha V asrda Pifagor maktabida musbat ratsional sonlar
kesmalar uzunliklarini aniq o’lchash uchun yetarli emasligi ma’lum bo’lgan va
7
keyinroq bu muammo hal qilingandan keyin irratsional sonlar paydo bo’ldi. XVI
asrda esa o’nli kasrlarning kiritilishi bilan haqiqiy sonlarga qadam qo’yilgan.
Haqiqiy sonlar to’plami sonlar tushunchasining oxiri emas. Son tushunchasining
kengayishi jarayoni davom etishi mumkin va u davom etadi. Buni fizika va
matematika, hamda boshqa fanlarning rivojlanishi taqazo etadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |