7-amaliy mashg‘ulot mavzu: Moddiy nuqta dinamikasi 1-masala

Kuch tezlikka bog‘liq holda o‘zgaradi.

9a.4 shakl.
6-masala. Massasi m=40 kg bo‘lgan qayiqni boshlang‘ich v₀=0,5 m/c tezlik bilan itarib yuboriladi. Qayiqning past (kichkina) tezliklarida suvning qarshilik kuchi (7) formula orqali, ya’ni R=v deb hisoblanib, qancha vaqtdan keyin qayiqning tezligi ikki marta kamayishini va shu vaqt ichida u qancha yo‘l bosishi aniqlansin. =9,1 kg/c deb hisoblansin. Hamda qayiq to‘xtaguncha qancha yo‘lni bosib o‘tishi aniqlansin.
E ch i sh. Qayiqning hozirgi ondagi turgan o‘rnini O nuqta deb belgilab, harakat yo‘nalishida Ox o‘qni o‘tkazamiz (9a.4 shakl). U holda boshlang‘ich shartlar quyidagicha bo‘ladi: t=0 bo‘lganda x=0 va v_x=v₀ bo‘ladi.
Qayiqni traektoriyaning ixtiyoriy joyida tasvirlaymiz va unga ta’sir etayotgan , , kuchlarni vektor shaklida qo‘yamiz.
E s l a t m a. Qayiqqa bulardan boshqa hech qanday kuch ta’sir etmaydi. Qayiqni turtib yuborgan kuch t=0 vaqtgacha ta’sir etgan. Uning ta’sirini qayiqning boshlang‘ich v₀ -tezligi orqali hisobga olingan (9a.3§ ga qarang). Harakat davomida qaysi kuchlar ta’sir etayotganligini aniqlash uchun kuch bir jismning ikkinchi jismga ta’siridan iborat ekanligini unutmaslik kerak. Ushbu masaladagi qayiqning og‘irlik kuch , bu Erning qayiqqa ta’sir kuch, va kuchlar esa qayiqning suvga ta’sir kuchlaridan iborat ( kuchi suvning qayiqqa ta’siri, kuchi qayiqning harakatiga suvning qarshiligi, ya’ni qayiq harakat qilmasa, bu kuch nolga teng bo‘ladi). Qayiq o‘zining harakatida faqat suv va Erdan boshqa hech qanday jism bilan o‘zaro ta’sir ko‘rsatmaydi, shu sababli hech qanday boshqa kuch bo‘lishi mumkin emas. Bu masalaga e’tiborni qaratishimizdan asosiy maqsad shuki, mana shunga o‘xshash xatoliklar juda ko‘p uchrab turadi.
Kuchlarning Ox o‘qqa proektsiyalarini aniqlaymiz,
F_kx=-R=-v_x
Qayiqning harakatini (9a.2) differentsial tenglamasini tuzamiz, v_x=v ekanligi uchun
ni yozamiz.
Bu tenglamadagi o‘zgaruvchilarni ajratib, uning ikkala tomonidan tegishli chegaralarda aniq integral olamiz. Har-bir o‘zgaruvchilarning ostki chegaralari boshlang‘ich shartlarga muvofiq tanlanadi, yuqori chegaralari esa ixtiyoriy vaqt uchun olinadi.
Ushbu masalaning boshlang‘ich shartlariga ko‘ra t=0 bo‘lganda v=v₀ edi, shu sababli
yoki bo‘ladi,
bundan
t=(m/)ln(v₀/v) bo‘ladi. (a)
Izlanayotgan t₁-vaqtni aniqlash uchun v=0,5v₀ ekanligi sababli
t₁=(m/)ln23 s bo‘ladi.
Qayiqning shu vaqt ichida bosib o‘tgan yo‘lini aniqlash uchun (9a.3) ko‘rinishdagi differentsial tenglama tuzamiz, chunki u tenglama orqali x -masofa bilan v¹ -tezlik orasidagi bog‘lanishni bevosita aniqlaydi. U holda
mv =-v
Tenglamaning ikkala tomonini v-ga qisqartirib, o‘zgaruvchilarni ajratamiz va boshlang‘ich shartlarga ko‘ra o‘zgaruvchilarning chegaralarini aniqlaymiz, ya’ni x=0 bo‘lganda v=v₀ edi, shu sababli
=- yoki v-v₀=- x
bundan x=(m/)(v₀ -v). (b)
v=0,5v₀ deb hisoblab, bosib o‘tilgan masofani aniqlaymiz: x₁=mv₀/21,1 m. Qayiqning to‘xtaguncha bosib o‘tgan yo‘lini aniqlash uchun, (b) tenglikdagi tezlikni nolga tenglash lozim, ya’ni v=0 bo‘lsa x₂=mv₀/=2.2 m. ekan.
Qayiq to‘xtaguncha o‘tgan vaqtni aniqlash uchun (a) tenglamadan v=0 bo‘lgandagi vaqt t= ekanligini aniqlaymmiz. Bu narsa, shuni tasdiqlaydiki suvni qayiqning harakatiga ko‘rsatayotgan (R=v) qarshiligiga bog‘liq ravishda u uzoq vaqt davom etar ekan va unga assimptotik ravishda yaqinlashar ekan. Albatta qayiqning to‘xtashigacha o‘tgan vaqt ma’lum bir aniq qiymatga teng bo‘ladi, chunki tezlik kamaygan sari qarshilikning o‘zgarish qonuni ham boshqacha bo‘ladi, ya’ni v=f(t ) boshqacha bo‘ladi (23.1§ dagi 23.1 masalaga qarang).
Nuqtaning tezlikka bog‘liq ravishda o‘zgaruvchi kuch ta’siridagi harakatining ahamiyatliroq misolini keyingi paragrafda ko‘rib o‘tamiz.

1^ Bosib o‘tilgan yo‘lni (a) tenglikdan v -ni t -ning funktsiyasi sifatidagi v=v₀e^-(/m)t ko‘rinishdagi ifoda orqali ham aniqlash mumkin. Buning uchun, v -ni dx/dt -bilan almashtirib, undan integral olinadi, lekin bu usul murakkabroq bo‘ladi.