7– mavzu: Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Eyler formulasini tadbiq etsak,

tengliklar hosil bo’ladi. Ma’lumki, bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ham bir jinsli tenglamaning yechimlari bo’ladi. Shuning uchun

funksiyalar ham (3) tenglamaning yechimlari bo’ladi. Bu yechimlar chiziqli bog’lanmagan, chunki ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti no’ldan farqli (tekshirib ko’ring).
Demak,
(8)
(3) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
4-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamaga mos xarakteristik tenglamaning ildizlari:

bo’ladi. Bu ildizlar kompleks qo’shma bo’lib uchinchi holga mos keladi. ekanligini hisobga olib (8) formulaga asosan umumiy yechim,

bo’ladi.
Endi ikkinchi tartibli o’zgarmas koffitsientli bir jinsli tenglama uchun berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topishni, ya’ni Koshi masalasini qaraymiz.
5-misol. differensial tenglamaning bo’lganda bo’ladigan xususiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglama ikkinchi tartibli o’zgarmas koffitsientli, bir jinsli, chiziqli tenglamadir. Unga mos xarakteristik tenglama

bo’lib, uning ildizlari bo’ladi. Demak, tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi. Oxirgi tenglikdan hosila olsak,

bo’lib , bo’lganda boshlang’ich shartlarga asosan,

tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Oxirgi tenglamalar sistemasidan larni aniqlaymiz. Shunday qilib, izlanayotgan xususiy yechim

bo’ladi.
Ushbu
(9)
tenglamani yechish masalasi bilan tanishamiz.
Umuman (1) tenglamani umumiy yechimini q(x) funksiyaning ko’rinishiga bog’liq bo’lmagan holda o’zgarmasni variatsiyalash usulida (Lagranj usulida) yechish mumkin.
Buning uchun (9) ga mos bir jinsli tenglamani yechib, umumiy yechim topiladi, ya’ni
(10)
bu yerda c_i=c_i(x) deb olamiz va (10)ni (9)ga qo’yish uchun ketma-ket hosila olamiz
(11)
(11)da deb qolgan qismidan yana hosila olamiz

bunda ham c_i(x) larni hosilasi qatnashganlarini nolga tenglaymiz

Unda
(12)
ko’rinishidagi sistemaga kelamiz.
(12) sistemadan algebra kursidagi biror usul bilan c_i(x) larni topib (10)ga qo’yamiz va (9) ning umumiy yechimini hosil qilamiz.
(9) tenglamani umumiy yechimi, mos bir jinsli
(13)
tenglamaning umumiy yechimi bilan (9) tenglamaning xusisiy yechimi yig’indisiga teng bo’ladi, ya’ni
y= + (14)

6. 
   - (9) ning xususiy yechimi.
   

- (13) ning umumiy yechimi.