A. A. Andronovning azobi (bu haqda allaqachon aytib o'tilgan 175-bet) va L. S. Pontryagin1 [2] kontseptsiyani taklif qildi strukturaviy barqarorlik (puruzluluk). Bu kontseptsiya o'ynaydi

4-bob
NOCHIZIQLIK Elementlari
DINAMIKA
Bobda zamonaviydan ba'zi ma'lumotlar keltirilgan
chiziqli bo'lmagan dinamik tizimlar nazariyasi: tuzilish masalalari-
barqarorlik, bifurkatsiya nazariyasi elementlari, ha-
ari idr.
4.1. Strukturaviy barqaror
TIZIMLAR
Dinamik tizimlar qayta ishlash modellari sifatida qaraladi.
barcha jarayonlar ma'lum xususiyatlarga ega bo'lishi kerak -
barqarorlik. Bu tasvirlangan nisbatlar bilan bog'liq
tizim xatti-harakati, qoida tariqasida, ma'lum bo'lishi mumkin
faqat turli darajadagi aniqlik bilan. Shuning uchun, bu muhim
kichik tebranishlar bilan tizimning dinamikasi qanday o'zgarishini bilish
ha tizimi. Ushbu bo'limda biz uchun asosiy savol bo'ladi
tizimning qanday xususiyatlari kichikligida saqlanib qolganligi haqida
g'azab.
4.1.1. Kirish tushunchalari
Tizim dinamikasi turini nafaqat tomonidan aniqlash mumkin
uning o'ziga xos traektoriyalari qanday, balki fazasi ham
tizimning portreti, ya'ni traektoriyalarning joylashuvining umumiy tasviri
faza fazosida bu sistemaning toriy. Umumiy xususiyatlar
Tizimning fazaviy portreti asosan, masalan,
quyidagi xususiyatlarga ega chora-tadbirlar:
• belgilangan nuqtalarning mavjudligi yoki yo'qligi va davriy
kalik orbitalar, ularning nisbiy joylashuvi;• qo'zg'almas nuqtalar barqarorligining tabiati va davriy
orbitalar, ularning topologik turi;
• qachon tizimning qolgan traektoriyalarining intilish xarakteri
t > ? va t > ??.
Bu o'xshash xususiyatlar saqlanib qolganligini bilish muhimdir
dinamik tizimning kichik tebranishlari ostida dinamikasi.
Funktsiyaning "barqarorlik" xususiyatini tavsiflash
dinamik tizimning kichik buzilishlariga nisbatan
A. A. Andronovning azobi (bu haqda allaqachon aytib o'tilgan
175-bet) va L. S. Pontryagin1 [2] kontseptsiyani taklif qildi
strukturaviy barqarorlik (puruzluluk). Bu kontseptsiya o'ynaydi
dinamik tizimlar nazariyasida asosiy o‘rin tutadi. Bu pa-
Ushbu bo'limda, aniqlik uchun, u bilan bog'liq holda muhokama qilinadi
uzluksiz dinamik tizimlarga. Diskret si-
Bu tushuncha xuddi shunday tarzda kiritilgan.
Dinamik tizimni ko'rib chiqing
dx
dt = f(x), x ? RN , (4.1)
Bu yerda f(x) funksiya aniqlangan va silliq (ya’ni uzluksiz).
farqlanadigan) RN da. Odatdagidek, shunday deb taxmin qilinadi
har qanday x0 uchun Koshi muammosi x = f(x), x(0) = x0 , bittaga ega
barcha t ? (??, ?) uchun aniqlangan muhim yechim x(t).
D ? RN qandaydir ixcham domen bo'lsin.
Musbat e soni uchun biz tizimning e-perturbatsiyasi deb ataymiz
D domenidagi ildiz (4.1) shaklning istalgan tizimi
dx
dt = f(x) + h(x), (4.2)
Bu yerda h(x) funksiya aniqlangan va RN da silliq
bu
maks
x?D h(x) x?D h (x) w vektorlar yoki matritsalarning Evklid normasini bildiradi
kosmik RN.
Boshqacha qilib aytganda, (4.1) tizimning e-buzilishlari
bu tizimning silliq buzilishlari. Ular dan olinadi
tizimning o'ng tomoniga (4.1) ixtiyoriy funktsiyalarni qo'shish
h(x) bu funksiyalar va ularning hosilalari sharti bilan
kichik.
Tizim (4.1) qo'pol yoki tizimli barqaror deb ataladi.
uchun e0 > 0 bo'lsa, D domenida yashovchan
har qanday e(4.1) D tizimiga to'g'ri keladi (3.4.2-kichik bo'limga qarang). Aks holda
tizim (4.1) qo'pol bo'lmagan yoki strukturaviy jihatdan beqaror deb ataladi
D hududida chivoy.
Afsuski, oddiy umumiy usul yo'q
ma'lum bir dinamik tizim mavjudligini tekshirish (4.1)
tizimli barqaror yoki yo'q. Bu tekshirish tez-tez amalga oshiriladi
Xia bilvosita asoslarda, keyin esa (agar kerak bo'lsa)
qattiq dalil keltiriladi.
Amalda ular odatda topolo-
mantiqiy ekvivalent fazali portretlar, sobit soni
nuqtalar va davriy yechimlar xuddi shu tarzda, ularning
o'zaro joylashishi, ularning topologik turlari mos keladi va
h.k.Shuning uchun sistema (4.1) tizimli deb aytishimiz mumkin
kichik silliq tebranishlarda uning fazasi barqaror bo'lsa
portret sifat jihatidan o'zgarmaydi.
4.1-misol. Keling, bir o'lchovli chiziqli tizim ekanligini ko'rsataylik
x = x konstruktiv jihatdan barqaror, masalan, to'plamda
xususiyat D = [?1, 1]. Birinchidan, D tizimida x = x ekanligini unutmang
x = 0 yagona muvozanat nuqtasiga ega va u beqaror
chiva: uning topologik turi (149-betdagi 3.4.3-bandga qarang) ga teng
(0, 1). x = x tizimining e-perturbatsiyasi x = x + h(x) ko'rinishga ega,
bu yerda h(x) funksiya uzluksiz differentsiallanadi, esa
maks
x?D |h(x)| x?D |h (x)| Agar e < 1 bo'lsa, D = [?1, 1] oraliqda x + h(x)=0 tenglamasi.
x? yagona yechimga ega (buni tushuntiring). X? raqamibezovtalangan tizimning yagona muvozanat nuqtasidir
biz D da x = x + h(x) va u beqaror: uning topologik
turi (0, 1). Demak, x = x sistema tuzilish jihatdan barqaror
Chiva.
4.2-misol. Garmonik osilator tenglamasini ko'rib chiqing
lator (3.40) (140-betga qarang). Uning fazali portreti o'ziga xosdir
markaz va rasmda ko'rsatilgan. 3.7, holat a = 0 (127-betga qarang).
Bu tizim strukturaviy jihatdan barqaror emas. Yaroqli-
lekin, masalan, (3.40) tenglamada biz eng kichikini qo'shamiz
ko shaklining buzilishi, bu erda k > 0 (ya'ni modelga talabni qo'shing.
nie), (3.40) tenglama (3.42) ko'rinishga qanday o'tadi va shunday qilib
tizimning fazaviy portreti sifat jihatidan o'zgaradi, aylanadi
"barqaror fokus" ga o'tish (3.7-rasmga qarang, a < 0 holati).
4.1.2. Andronov-Pontryagin teoremasi
Yuqorida ta'kidlanganidek, umumiy holatda, yo'q
ma'lum bir dinamik yoki yo'qligini tekshirishning oddiy usuli
tizim (4.1) tizimli barqaror yoki yo'q. Lekin,
bir o'lchovli va ikki o'lchovli tizimlar uchun bunday emas.
Avval bir o'lchovli dinamik tizimni ko'rib chiqing
dx
dt = f(x), x ? R1 , (4.3)
Bu yerda f(x) aniqlangan va uzluksiz differentsiallanuvchi funksiya
R1 da keltirilgan. Strukturaviy barqarorlik masalasini ko'rib chiqing
tizimi (4.3) ba'zi segmentida [a, b] shundayki
f(a)f(b) = 0.
4.1 teorema. Bir o'lchovli dinamik tizim (4.3) hisoblanadi
[a, b] oraliqda konstruktiv jihatdan barqaror bo‘lsa, u holda
faqat (a, b) oraliqda hammasi mavjud bo'lganda
(4.3) sistemaning muvozanat nuqtalari giperbolikdir.
Bu teorema xuddi shunday isbotlanishi mumkin
va 4.1-misoldagi bayonot. Shu munosabat bilan shuni eslaylik
x? soni bittaning giperbolik muvozanat nuqtasi deb ataladi
f(x?)=0 va f (x?) = 0 bo'lsa, o'lchovli tizim (4.3).
4.3-misol. Bir o'lchovli x = sin x va x = x2 tizimlarni ko'rib chiqing. Birinchisi har qandayida tizimli barqaror
194 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
segment [a, b] shundayki, a, b = np, n butun son bo'lsin. Ikkinchi tizim
har qanday [a, b] segmentida konstruktiv jihatdan barqaror, shundayki ab >
> 0; har qanday segmentda tizimli barqaror emas
[a, b] shundayki, ab < 0.
Ikki o'lchovli dinamik tizimlar uchun samarali
tuzilmaviy barqarorlik uchun maqbul va etarli shartlar
A. A. Andronov va L. tomonidan olingan. S. Pontryagin [2] bo'yicha
Puankare-Bendixon nazariyasiga asoslangan (117-betdagi 3.1.8-bo'limga qarang).
Ushbu bayonotda giperbolik tushunchalari qo'llaniladi
muvozanat nuqtalari (3.1.8-bandga qarang), giperbolik chegara
davrlar (3.5.3-bo'limga qarang), shuningdek ajratgichlar (3.3.3-bo'limga qarang).
Ikki o'lchovli tizimni ko'rib chiqing
dx
dt = f(x), x ? R2 , (4.4)
Bu yerda f(x) kompaktda aniqlangan va silliq funksiya
domeni G ? R2. ?G chegarasi bo'lsin
yopiq silliq egri D vektorga tegmagan
f(x) maydoni (ya’ni, har bir x ? ?G nuqtada f(x) vektor tegmaydi.
egri D).
4.2 teorema. (Andronov-Pontryagin) Ikki o'lchovli dinamik
tizim (4.4) umuman tizimli barqaror
oxirgi G, agar va faqat:
1) (4.4) sistemaning barcha muvozanat nuqtalari giperbolikdir;
2) (4.4) sistemaning barcha chegara sikllari giperbolikdir;
3) G da egardan egarga o?tuvchi ajratmalar yo?q (xususan,
nosti, xuddi shu egarda).
4.4-misol. Erkin tebranishlar tenglamasini ko'rib chiqing
mayatnik s + sin s = 0. 3.13 (qarang
138) ushbu tizimning fazali portreti shuni ko'rsatadiki
poya tuzilish jihatdan barqaror emas, masalan, har qandayida
to'rtburchakni o'z ichiga olgan faza tekisligining ixcham G
[?p, p]?[?2, 2] va 4.2 teorema talablarini qanoatlantiradi.
Bu, xususan, muvozanat nuqtasi (0, 0) ekanligidan kelib chiqadi.
4.1. Strukturaviy barqaror tizimlar 195
"markaz" turiga kiradi va shuning uchun giperbolik emas
skoy. Yoki G dan keladigan ajratmalarga ega ekanligidan
egar (?p, 0) egarga (p, 0).
Endi mayatnikning qachon tebranishlar tenglamasini ko'rib chiqaylik
s + s + + s = 0 chiziqli tenglama bilan tasvirlangan ishqalanish mavjudligi. Ushbu tizimning fazali portreti "barqaror" turdagi.
keskin fokus” (127-betda ko'rsatilgan 3.7-rasmga qarang, tasodifiy
choy a < 0). Ushbu tizimning tizimli ekanligini ko'rish oson
qoniqarli fazalar tekisligining har qanday ixcham G to'plamida barqaror
4.2 teorema talablarini yaratish.
4.2-teoremadan, xususan, tizimli ravishda shunday bo'ladi
ixcham G domenidagi barqaror tizimlar bo'lishi mumkin
G - muvozanat nuqtalari va davrlarning faqat cheklangan soni, esa
ularning barchasi giperbolikdir. Ajratishlarga kelsak, yangi boshlanuvchilar -
egarda sya (tugash), keyin ular tugashi kerak
tugundan boshlash (boshlash), fokus yoki tsiklni cheklash,
yoki cheklangan vaqt ichida G hududini tark eting.
1)–3) shartlar muhim ekanligi
ikki o'lchovli dinamik tizimning strukturaviy barqarorligi,
fa-ning tegishli misollari bilan tasvirlash mumkin.
portretlarni chaqirish. Masalan, 1) shartning ahamiyati -
4.2-misolda etiketlangan: muvozanat nuqtasi x = 0 tizimli
beqaror tizim (3.40) giperbolik emas.
Ikkidan yuqori o'lchamli tizimlar uchun nazariy
Ma 4.2 allaqachon, umuman olganda, to'g'ri emas. Aniqroq aytganda, bu faqat to'g'ri
mening da'volarim, ya'ni 1)-3) shartlar zarur,
lekin tizimning strukturaviy barqarorligi uchun etarli emas.Shu munosabat bilan biz quyidagi bayonotlarga e'tibor qaratamiz
Bu Grobman-Hartman teoremasining natijasidir (150-betga qarang).
4.3 teorema. Dinamik tizim (4.1) konstruktivdir
giperbolik ba'zi mahallalarda barqaror
balansni tekshirish va cheklash davrlari.
4.4 teorema. Dinamik tizim (4.1) konstruktivdir
giperbolik bo'lmagan har qanday mahallada beqaror
balansni tekshirish va cheklash davrlari.
Shunday qilib, strukturaviy barqarorlikning xususiyatlari / beqaror
(4.1) tizimning muvozanat nuqtalari yaqinidagi barqarorligi
196 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
yoki chegara davrlari spektrning xossalari bilan aniqlanadi
mos keladigan Yakobi matritsasi (muvozanat nuqtalari uchun) yoki
monodromiya matritsalari (cheklangan davrlar uchun).
4.2. BIFURKATSIYALAR NAZARIYASINING ELEMENTLARI
4.2.1. Kirish tushunchalari
Dinamik tizimlarning strukturaviy barqarorligi bilan belgilanadi
dinamik tizim faoliyatining barqarorligi sifatida aniqlanadi
uning har qanday kichik buzilishlariga nisbatan poya. Ko'pincha
bu bezovtaliklar turli ichki o'zgarishlar bilan bog'liq
yoki tashqi tizim parametrlari. Shuning uchun uni amalga oshirish muhimdir
ga nisbatan tizimning strukturaviy barqarorligini tahlil qilish
uning parametrlarining kichik buzilishlari.
Bu erda ikkita tubdan farqli holatlar bo'lishi mumkin. Per-
parametrlardagi kichik o'zgarishlar bo'lmasa, siz shundaysiz
tizimning xatti-harakatlarida tub o'zgarishlarga olib keladi. Unda
holda, biz tizimning tizimli barqarorligi haqida gapirishimiz mumkin
parametrlardagi kichik o'zgarishlarga nisbatan. Topologiya
tizimli barqaror tizimning fazali portreti o'zgarmaydi
tizim parametrlarida kichik o'zgarishlar bilan.
Alohida qiziqish ikkinchi holat, qachon, kichik bilan
biz parametrlarni o'zgartiramiz, tizimning xatti-harakati bo'lishi mumkin
sezilarli darajada o'zgaradi: maxsus
nuqtalar, davriy yoki cheklangan yechimlar, o'zgarish
ularning barqarorligining tabiati va boshqalar Bu holda, gapirish mumkin
ga nisbatan tizimning strukturaviy beqarorligi haqida gapiring
kichik parametr o'zgarishlariga. Tuzilmalarning bosqichli portreti
lekin parametrlardagi kichik o'zgarishlar uchun beqaror tizim
topologik jihatdan asl nusxaga ekvivalent bo'lmaydi.
Dinamikning fazaviy portretidagi sifat o'zgarishi hodisasi
uning parametrlarini o'zgartirganda mikrofon tizimi bi-
dinamik tizimning buzilishi. bifurkatsiya nuqtalari yoki
dinamik tizim parametrlarining bifurkatsiya qiymatlari
biz parametrlarning qiymatlari sifatida belgilanamiz
tizim tuzilmaviy jihatdan beqaror. Boshqacha aytganda, bi-
furkatsiyalar parametrlarning bunday qiymatlari, o'tish paytida
4.2. Bifurkatsiyalar nazariyasining elementlari 197
fazani sifatli qayta tashkil etish bo'lgan kesma
tizim portreti.
4.5-misol. Ikkita differentsial tenglamani ko'rib chiqing
birinchi buyurtma
x = l - x, x = l - x2 , (4.5)
real parametrga qarab l. Bulardan birinchisi
har bir l uchun tenglamalar x = l, k muvozanat nuqtasiga ega
t vaqti ortishi bilan qolganlari qayta-
yechimlar. Shuning uchun l parametridagi kichik o'zgarishlar sabab bo'lmaydi
tizim xatti-harakatlaridagi sezilarli o'zgarishlar. Bu tenglama
tizimli barqaror tizim modeli sifatida qarash mumkin
l parametrining o'zgarishiga bog'liq bo'ladi.
l < 0 uchun (4.5) tenglamalarning ikkinchisi teng nuqtalarga ega emas.
og'irlik, l = 0 da bitta muvozanat nuqtasi x = 0, ya'ni
bu beqaror va l > 0 uchun ikkita muvozanat nuqtasi
x = v?l va x = ?v?l, birinchisi barqaror, ikkinchisi esa
to'da - beqaror (4.1-rasm).
Shuning uchun l = 0 qiymati ikkinchisining bifurkatsiya nuqtasidir
(4.5) tenglamalardan biri, chunki l parametrini o'tkazishda
l = 0 qiymati orqali sifatli qayta tartibga solish sodir bo'ladi
bu tenglamaning fazali portreti.
Dinamik tizimlarda bifurkatsiya bilan bog'liq muammolar mavjud
eng qiziqarli amaliy va nazariy biri
tik nuqtai nazarlari. Bifurkatsiya hodisasi keng tarqalgan
g'alati. Ko'pchilikda o'z-o'zidan tebranishlarning ko'rinishini tushuntiradi
ba'zi texnik tuzilmalar (masalan, baxtsiz hodisa sodir bo'lishi
Van der Pol generatoridagi oqim tebranishlari), tezlik tebranishi
suyuqlik oqimida yangi barqaror shakllarning paydo bo'lishi
Guruch. 4.1.
x = l - x2 tenglamaning fazali portretinovdalar va qobiqlarning egilish muammolaridagi muvozanat (muammo
Eyler) va boshqalar.
Dinamik tizimlarning bifurkatsiyalari nazariyasi boylikka ega
L. Eyler2, J. Lagrange3, asarlaridan boshlangan tarix.
C. Yakobi4. Zamonaviy bifurkatsiya nazariyasining asoslari edi
A. M. Lyapunov, A. Puankare, A. A. Andro- asarlarida topilgan.
nova, V. I. Arnold5, M. A. Krasnoselskiy6, S. Smale7,
L. P. Shilnikova8 va boshqalar4.2.2. Mahalliy va global ikkilanishlar
Strukturaviy barqarorlik xususiyatidan beri (beqaror
ity) mahalliy va global bo'lishi mumkin, keyin bifurkatsiyalar
mahalliy yoki global bo'lishi ham mumkin.
Mahalliy bifurkatsiyalar odatda o'sha bifurkatsiyalarni o'z ichiga oladi
lo- faza portretini o'zgartiruvchi
kaloriya; bu erda eng keng tarqalgan bifur-
muvozanat nuqtalari va davriy kichik mahallalarda kationlar
yechimlar. Masalan, tenglamalarning ikkinchisidagi bifurkatsiya
(4.5) mahalliy, chunki u mahallada uchraydi
muvozanatning nol nuqtasi.
Global (nolokal) bifurkatsiyalar odatda
tizimning fazaviy portretini o'zgartiradigan bu bifurkatsiyalar
mahalliy bo'lmagan. Ko'pincha bunday bifurkatsiyalar mahallada sodir bo'ladi
ajratgichlar va ajratuvchi konturlar. Masalan, glo-
tizimlarda bal zalining bifurkatsiyasi sodir bo'lishi mumkin
ikkita egar nuqtasini yoki ob-havoni bog'laydigan ajratgichlarga ega
egar nuqtasini o'z ichiga olgan halqa.
4.6-misol. Keling, dinamikani ko'rib chiqaylik -
mikrofon tizimi
x=y
y = x ? x2 + µy. (4.6)
Bu tizim ikkita muvozanat nuqtasiga ega: x?1 = y?1 = 0 va x?2 = 1, y2? = 0, birinchisi uchun egar.
m parametrining barcha qiymatlari, ikkinchisi esa barqaror fokus bilan
µ < 0 uchun, µ > 0 uchun beqaror fokus va markaz uchun
m = 0 (ko'rib chiqing). m = 0 uchun x?1 = y?1 = 0 nuqtadan
ayirma paydo bo'lib, D halqa hosil qiladi, ya'ni gomoklinik.
traektoriya. Loopning ichki qismi oila bilan to'ldiriladi
yopiq orbitalar (4.2-rasmga qarang).
m = 0 uchun tizim (4.6) tizimli ravishda beqaror, chunki
m parametrining eng kichik o'zgarishida D tsikli yo'qoladi va
fazali portret topologiyani o'zgartiradi: egar pastadir o'rniga
egar fokuslari mavjud. Bu bifurkatsiya globaldir.
Shu bilan birga, x?2 = 1 muvozanat nuqtasiga yaqin joyda, y2? = 0.
200 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Guruch. 4.2.
Tizimning fazali portreti (4.6):
(a) m < 0 uchun; (b) m = 0 uchun; (c) m > 0 uchun
mahalliy bifurkatsiya ham sodir bo'ladi, shuning uchun para-
metr µ bu mahallada µ = 0 qiymati orqali
Ushbu tenglamaning fazaviy portretini sifat jihatidan qayta tartibga solish
fikr.
Quyida faqat mahalliy bifurkatsiyalar ko'rib chiqiladi.
muvozanat nuqtalari yaqinida yuzaga keladigan tsionlar yoki
uzluksiz va diskret dinamikaning davriy yechimlari
osmon tizimlari. Asosiy bifurkatsiya stsenariylari ko'rib chiqiladi.
kationlar, bifurkatsiyalar uchun zarur shart-sharoitlar ko'rsatilgan;
namunaviy misollar. Tadqiqot usullari bilan batafsilroq ma'lumot
dagi bifurkatsiyalarni maxsus adabiyotlarda topish mumkin
qayta (qarang, masalan, [5, 7, 14, 19, 30, 31]).4.3. DAVOMLI BIFURKASIYALAR
DINAMIK TIZIMLAR
Avval mahalliy bifurkatsiyalar muammosini ko'rib chiqing
parametrga qarab uzluksiz dinamik tizim
l va tenglama bilan tavsiflanadi
x = f(x, l), x ? RN , (4.7)
bunda f(x, l) funksiya uzluksiz turlicha deb qabul qilinadi
o'zgaruvchilar to'plamiga nisbatan differentsiallanadi. Odatdagidek,
har qanday x0 ? RN uchun Koshi masalasi x = f(x, l), x(0) = x0 , barcha t ? (??, ?) uchun aniqlangan x = x(t, l) yagona yechimga ega deb faraz qilinadi. ). Pro uchun ham emas
Shu sababli, (4.7) tizimdagi l parametri qabul qilinadi.
4.3. Uzluksiz dinamik tizimlardagi bifurkatsiyalar 201
skalyar bo'lib, f(x, l) funksiyasi uchun aniqlangan
hammasi
Ushbu bo'limda biz mahalliy muammolarni ko'rib chiqamiz
l ? R1.
tizimning muvozanat nuqtalari yaqinidagi bifurkatsiyalar
(4.7). Yaqin atrofdagi bifurkatsiyalar bilan bog'liq shunga o'xshash muammo
davriy yechimlar keyingi bobda ko'rib chiqiladi.
ustun.
Eslatib o'tamiz, (4.7) tizimning muvozanat nuqtalari
tenglamaning yechimi
f(x, l)=0 . (4.8)
l = l0 parametrining ba'zi bir qiymati uchun (4.7) tizim bo'lsin
x = x? muvozanat nuqtasiga ega, ya'ni f(x?, l0)=0.
Keling, birinchi navbatda yordamchi tasdiqni keltiramiz, bu to'g'ri.
uning haqiqiyligi yashirin funksiya teoremasidan kelib chiqadi9.
4.5 teorema. Yakobi matritsasi f x(x?, l0) noga ega bo'lsin
nol xos qiymat. Keyin bor
d1, d2 > 0 shundayki, (4.8) tenglama uchun |l ? l0| < d2 to'pga ega

x(t) ? x? < d1 yagona yechim x = x?(l)

quyidagi xossalarga ega: a) x?(l0) = x?; b) x?(l) funksiyasi
silliq.
9 Biz yashirin funksiya teoremasining formulalaridan birini keltiramiz (qarang
misol, [15]).
Teorema. Tenglamani ko'rib chiqing
F(x, y)=0 , x ? Rn, y ? Rm , (1)
Bu yerda F(x, y) ba?zilarida aniqlangan m o?lchamli vektor funksiya
Rn ? Rm fazodagi nuqtaning (x0, y0) qo'shni O. Bajarilsin
shartlar:
1) F(x, y) vektor funksiyasi va Yakobi matritsasi Fy(x, y) O uzluksiz;
2) F(x0, y0)=0 ;
3) det Fy(x0, y0) = 0.
U holda x0 va y0 nuqtalarining O0 ? Rn va O0 ? Rm mahallalari mavjud.
mos ravishda, har bir x ? O0 uchun yagona yechim mavjud
(1) tenglamaning y = y(x) ? O0, bundan tashqari, y(x) O0 da uzluksiz va y(x0) = y0.
F(x, y) vektor funksiyasining O ga yaqin joylashgan komponentlari uzluksiz bo'lsa
x va y o'zgaruvchilarga nisbatan k (k 1) tartibgacha qisman hosilalar
inklyuziv bo'lsa, u holda y = y (x) vektor funktsiyasining komponentlari o'z qo'shnilarida mavjud
k-tartibgacha x o'zgaruvchiga nisbatan O0 uzluksiz qisman hosilalar
inklyuziv.
202 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
(4.7) sistemaning x = x? muvozanat nuqtasi giper- bo'lishi mumkin.
bolik yoki giperbolik bo'lmagan (148-betga qarang). O'ylab ko'ring
ikkala holatda ham ketma-ket.
4.3.1. Giperbolik holat
Birinchidan, l = l0 uchun (4.7) sistemaning x? muvozanat nuqtasi giperbolik, ya'ni Yakobi matritsasi f x(x?, l0) bo'lsin.
±io ko'rinishidagi xos qiymatlarga ega emas, bu erda o 0. Keyin in
4.5 teoremaga ko'ra, har bir l uchun l0 ga yaqin, sistema (4.7)
noyob muvozanat nuqtasiga ega x?(l) va x?(l)
l ga doimiy ravishda differentsial bog'liq, va
x?(l0) = x? tengligi. Boshqacha qilib aytganda, buni aytish mumkin
tizimi (4.7) noyob uzluksiz (va hatto silliq) ga ega.
x = x?(l) muvozanat nuqtalarining tarmog'i o'tadi
x? nuqtasi (4.3-rasm).
E'tibor bering, ko'rib chiqilayotgan holatda topologik
muvozanat nuqtasi turi x?(l) barcha l, x uchun l0 ga yaqin, lekin
bolalar ham xuddi shunday. Buni tekshirish uchun biz qo'yamiz
A(l) = f x(x?(l), l) va A0 = A(l0). O'z manzili
kompleks tekislikdagi A(l) matritsaning qiymatlarini aniqlang
(4.7) sistemaning x?(l) muvozanat nuqtasining topologik turi.
Muvozanat nuqtasining topologik turi x? = x?(l0) bo?lsin.
tomirlar (k, N - k), bu erda k - ning xos qiymatlari soni
xayoliy o'qning chap tomonida joylashgan A0 va o'ngda N - k (yoqilgan)
guruch. 4.4 N = 8 bo'lganda vaziyatni ko'rsatadi
va k = 5).
f(x, l) funksiya uzluksiz differensial-
o'zgaruvchan bo'lsa, u holda A (l) matritsa uzluksiz differentsiallanadi
Guruch. 4.3.
Muvozanat nuqtalarining uzluksiz tarmog'i
4.3. Uzluksiz dinamik tizimlardagi bifurkatsiyalar 203
Guruch. 4.4.
Matritsaning xos qiymatlarining joylashuvi
Yakobi: giperbolik holat
l 0 nuqtaning ba'zi qo'shnilarida l ga osilgan. Ko'ra
chiziqli operatorlarning tebranishlari nazariyasi bilan (masalan, qarang.
[16]), A (l) matritsasining xos qiymatlari doimiy ravishda bog'liq
l dan. Shuning uchun, mahallada l parametridagi kichik o'zgarishlar
l0 qiymatlari nuqtaning topologik turini o'zgartira olmaydi
(4.7) sistemaning x?(l) muvozanati: ana shu k xos qiymatlar
xayoliy o'qning chap tomonida joylashgan A0 matritsalari qoladi
barcha l uchun chapda, x l0 ga yaqin, o'ngdagi N - k, va
o'ng tomonda qoling.
Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan giperbolik holatda,
sistemaning x?(l) muvozanat nuqtasining ko'proq topologik turi (4.7)
barcha l uchun saqlanadi, x l0 ga yaqin: u (k, N ? k) ga teng.
Xususan, x?(l) muvozanat nuqtasi giperbolik bo'lib qoladi.
skoy.
Bu mulohazalardan, shuningdek 3.12 va 3.14 teoremalardan
(Grobman-Hartman) da'voning to'g'riligiga amal qiladi.4.6 teorema. (4.7) sistemaning x = x? muvozanat nuqtasi bo'lsin.
l = l0 uchun giperbolik. Keyin tizim (4.7)
ba'zi bir mahallada tizimli barqaror
nuqtaning x = x?.
Boshqacha qilib aytganda, biz 4.3 teoremasiga yana bir bor keldik.
4.3.2. Giperbolik bo'lmagan holat
Shunday qilib, 4.6 teoremaga ko'ra, qiymat
l = l0 faqat bir vaziyatda bifurkatsion bo'lishi mumkin
bu yerda l = l0 uchun (4.7) sistemaning x? muvozanat nuqtasi
giperbolik bo'lmagan, ya'ni Yakobi matritsasi A0 = f x(x?, l0)
204 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
±io shaklidagi bir yoki bir nechta o'z qiymatlariga ega,
bu erda o 0.
Biz l0 qiymati mahalliy nuqta bo'lishini aytamiz
muvozanat nuqtasi qo'shnisida (4.7) tizimning bifurkatsiyalari
x = x?, agar Yakobiy matritsasi A0 = f x(x?, l0) xos qiymatga ega bo?lsa.
shaklning qiymati ±i?, bu erda o 0. Bu holda, soddalik uchun
(bu chalkashlikka olib kelmasa) l0 qiymati ham bo'ladi
sistemaning bifurkatsiya nuqtasini chaqiring (4.7), so'zni qoldirib
"mahalliy".
l0 sistemaning bifurkatsiya nuqtasi bo'lsin (4.7).
Bunday holda, l qo'shnilikdagi l0 qiymatidan o'tganda
nuqta x? tizimning fazali portreti (4.7) sifat jihatidan mumkin
o'zgartirish: yangi nuqtalar paydo bo'lishi yoki yo'qolishi mumkin
muvozanat, ularning topologik turini o'zgartirish, paydo bo'ladi
past amplitudali davrlar va boshqalar.
Tizimning bifurkatsiyasining mumkin bo'lgan stsenariylarini o'rganish
(4.7) biz quyidagi asosiy holatlarni ko'rib chiqamiz:
S1) A0 matritsasi oddiy nol xos qiymatga ega
nie;
S2) A0 matritsasi bir juft oddiy sof xayoliy xos qiymatlarga ega.
qiymatlari ±o0i, o0 > 0.
Ikkala holatda ham, biz boshqa xususiyatlarni taxmin qilamiz
A0 matritsasi nolga teng bo'lmagan haqiqiy qiymatlarga ega
qismlar.
Albatta, giperkor bo'lmagan murakkab holatlar ham mumkin.
(4.7) sistemaning x? muvozanat nuqtasining o'ziga xosligi matritsa bo'lganda
A0 bir vaqtning o'zida nolga va bir juft sof xayoliy xususiyatlarga ega
u bir necha juft sof xayoliy bo'lsa, qiymatlar
bu xos qiymatlar bo'lganda xos qiymatlar
karrali hisoblanadi. e) Lekin bu S1 va S2 holatlari
asosiy, ya'ni ular umumiy holatdagi holatlardir
(tushuntirib bering).
4.3.3. Transkritik bifurkatsiya
S1 holatida asosiylari uchta bifurk stsenariysi -
(4.7) tizimning muvozanat nuqtasi yaqinidagi xatti-harakati
Ajam x? va ularning barchasi l da ko'rinishi bilan bog'liq
4.3. Uzluksiz dinamik tizimlardagi bifurkatsiyalar 205
yangi holatlarning x? nuqtasi yaqinida l0 ga yaqin
vesia: bu transkritik bifurkatsiya, ti-ning bifurkatsiyasi.
vilkalar va egar-tugun bifurkatsiyasi bo'yicha.
Transkritik bifurkatsiyaning namunaviy misoli quyidagilarni beradi
skalyar tenglama bilan tasvirlangan poya
x = lx - x2. (4.9)
Bu sistemaning muvozanat nuqtalari tenglamadan aniqlanadi
lx ? x2 = 0 , (4.10)
l parametrining barcha qiymatlari uchun nolga ega bo'lgan
yechim x = 0. Mahalliy bifurkatsiyalar masalasini ko'rib chiqing
sistema (4.9) muvozanat nuqtasi x = 0 qo'shnisida.
Sistemaning o'ng tomoni f(x, l) = lx ? x2 yakobi matritsasi
x = 0 nuqtada hisoblangan (4.9) skalyar funksiyadir
A(l) = f x(0, ??l) = l. Shunday qilib, biz muvozanat nuqtasini olamiz
l = 0 uchun x = 0 giperbolik bo'lmaydi. Shuning uchun,
qiymati l0 = 0 tizimning bifurkatsiya nuqtasi, qachon
bu holat S1.
Bifurkatsiya stsenariysi quyidagi xususiyatlar bilan belgilanadi
tenglamalar (4.10). l < 0 uchun bu tenglama ikkitaga ega
yechimlari x = 0 va x = l. l = 0 uchun u faqat nolga ega
eritma x = 0. Nihoyat, l > 0 uchun yana (4.10) tenglama
ning ikkita yechimi bor: x = 0 va x = l.
Shunday qilib, l l = 0 y qiymatidan o'tganda
x = 0 muvozanat nuqtasiga yaqin joyda (4.9) sistema yo'qoladi
va x = l nolga teng bo'lmagan muvozanat nuqtasi yana paydo bo'ladi. Ta-
tizimning fazaviy portretini ba'zi sifatli qayta tashkil etish va
transkritik bifurkatsiya deyiladi. Fa-
Tizimning asosiy portreti (4.9) rasmda ko'rsatilgan. 4.5.
E'tibor bering, transkritik bifurkatsiya bilan tavsiflanadi
faqat nol bo'lmaganning yo'qolishi va ko'rinishi emas
Guruch. 4.5.
Transkritik bifurkatsiya: tenglama (4.9)muvozanat nuqtalari, balki ularning barqarorligining tabiatini o'zgartirish orqali
sti. 3.16 teoremadan foydalanamiz (156-betga qarang),
bunda x? muvozanat nuqtasining barqarorlik xarakteri
sistema (4.9) f x(x?, l) sonining belgisi bilan aniqlanadi.
Bizda fx(x, l) = l?2x bor. f x(0, ??l) = l bo'lgani uchun nuqta
Muvozanat x = 0 l < 0 uchun barqaror, l > 0 uchun esa barqaror emas.
Bundan tashqari, x = l muvozanat nuqtasi uchun biz f x(l, l) = -l ga egamiz.
Shuning uchun nolga teng bo'lmagan muvozanat nuqtasining barqarorligi tabiati
x = l nol nuqta barqarorligi tabiatiga ziddir
muvozanat x = 0. O'tishda l deb aytishimiz mumkin
l = 0 qiymati bilan, o'rtasida barqarorlik almashinuvi mavjud
muvozanat nuqtalari x = 0 va x = l.
Shaklda. 4.6 tizimning muvozanat tarmoqlarini sxematik tarzda ko'rsatadi
poyalari (4.9) fazoda (x, l); qattiq chiziq belgilangan
barqaror muvozanat nuqtalariga mos keladigan shoxlar va nuqtali
noh beqaror nuqtalarga. Ushbu chizmadagi o'qlar ko'rsatadi
sistemaning qolgan yechimlarining harakat yo'nalishini nomlang
(4.9). Guruch. 4.6 - bifurkatsiya diagrammasi
tizimning mu (4.9).
Shunday qilib, transkritik bifurkatsiya shunday bo'ladi
mahalliy bifurkatsiya stsenariysi, uning davomida ikkita nuqta
muvozanat (barqaror va beqaror) birinchi navbatda birlashadi
bir muvozanat nuqtasi va keyin yana ikkiga bo'linadi
muvozanat nuqtalari (barqaror va barqaror).
Guruch. 4.6.
Tenglamaning bifurkatsiya diagrammasi (4.9)
4.3. Uzluksiz dinamik tizimlardagi bifurkatsiyalar 207
4.3.4. Vilkalarning bifurkatsiyasi
Tizim tomonidan vilkalar tipidagi bifurkatsiyaning namunaviy misoli keltirilgan
skalyar tenglama bilan tavsiflanadi
x = lx - x3. (4.11)
Ushbu tizim l parametrining barcha qiymatlari uchun nolga ega
yechim x = 0. Mahalliy bifurkatsiyalar masalasini ko'rib chiqing.
sistema (4.11) muvozanat nuqtasi x = 0 qo'shnisida.
Bu nuqta uchun giperbolik bo'lmasligini ko'rish oson
l = 0, va S1 ishi o'rinli (ko'rsating).
Tizim (4.11) vilkalar tipidagi bifurkatsiyani quyidagicha tavsiflaydi:
puflash hissi. l 0 uchun sistema (4.11) faqat nolga ega
birinchi muvozanat holati x = 0. l > 0 uchun bu tizim mavjud
nol bilan birga
muvozanat x = ±vxl.
= 0, ikkita nolga teng bo'lmagan holatlar mavjud
Shunday qilib, l l = 0 qiymatidan o'tganda, y si -
poya (4.11) muvozanat nuqtasi x = 0 yaqinida,
bir vaqtning o'zida ikkita nolga teng bo'lmagan muvozanat nuqtasi x = ±vl. Bunday sifat
tizimning fazaviy portretini qayta qurish va chaqirdi
yut vilkalar tipidagi bifurkatsiya bilan. Fazali portretni qayta qurish
tizimi (4.11) rasmda ko'rsatilgan. 4.7.
Muvozanat nuqtasi ekanligini ko'rish (ko'rsatish) oson
x = 0 l < 0 uchun barqaror va l > 0 uchun beqaror bo'ladi,
va l > 0 da yuzaga keladigan x = ±vl ikkala muvozanat nuqtalari
chidamli. Shaklda. 4.8 bifurkatsiya diagrammasini ko'rsatadi
tizimning ma (4.11).
Shunday qilib, vilkalar tipidagi bifurkatsiya shunday
mahalliy bifurkatsiya stsenariysi, uning davomida barqaror
boshqa (beqaror) muvozanat nuqtasi beqaror bo'ladi
(barqaror). Shu bilan birga, ushbu muvozanat nuqtasidan,
bir juft barqaror (beqaror) muvozanat nuqtalari.
Guruch. 4.7.
Vilkalar bifurkatsiyasi: tenglama (4.11)
208 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Guruch. 4.8.
Tenglamaning bifurkatsiya diagrammasi (4.11)
4.3.5. Egar-tugun bifurkatsiyasi
Egar-tugun bifurkatsiyasining namunaviy misoli tizimni beradi
ma, skalyar tenglama bilan tasvirlangan (shuningdek qarang
197-betdagi yuqoridagi 4.5-misol)
x = l - x2. (4.12)
l = 0 bo'lgan bu tizim ga teng bo'lmagan giperbolik nuqtaga ega
Ajam x = 0, va S1 ishi sodir bo'ladi (ko'rsatish
u).
Tizim (4.12) egar-tugun bifurkatsiyasini tavsiflaydi
keyingi ma'no. l < 0 muvozanat holatlari uchun bu sistema
poyasi yo'q. l = 0 uchun sistema (4.12) faqat nolga ega
birinchi muvozanat holati x = 0. l > 0 uchun
ikkita nolga teng bo'lmagan muvozanat x = ±v
bu tizimga ega
l.
Shunday qilib, l l = 0 y qiymatidan o'tganda
tizimi (4.12) x = 0 nuqta qo'shnisida,
la (l = 0 da) muvozanatning bir nol nuqtasi x = 0 va
shunday qilib (l > 0 uchun) x = 0 nol nuqtasi ikkiga «ajraladi».
nolga teng bo'lmagan muvozanat nuqtalari x = ±vl. Bunday sifat
tizimning fazaviy portretini qayta qurish va egar-tugun deb ataladi
ikki tomonlama bifurkatsiya. Tizimning fazaviy portretini qayta qurish
(4.12) rasmda ko'rsatilgan. 4.1 (197-betga qarang).Ulardan biri ekanligini ko'rish (ko'rsatish) oson
l > 0 muvozanat nuqtalari uchun x = ±vl barqaror bo'ladi,
4.3. Uzluksiz dinamik tizimlardagi bifurkatsiyalar 209
ikkinchisi esa beqaror. Shaklda. 4.9 bifurkatsiyani ko'rsatadi
tizimning onon diagrammasi (4.12).
Shunday qilib, egar-tugun bifurkatsiyasi shunday
bir juft nuqta teng bo'lgan mahalliy bifurkatsiya stsenariysi
Ajam (barqaror va beqaror) yarim barqarorga birlashadi
chiviyu muvozanat nuqtasi (egar tugun), keyin yo'qoladi.
E'tibor bering, "egar-tugun bifurkatsiyasi" atamasi o'zaro bog'liq
ikki o'lchovli tizimlar uchun uning talqini bilan, qaysi at
parametrni o'zgartirganda, giperbolik bo'lmagan holat muvozanatdir
Buni ikkita yangi muvozanat holatiga bo'lish mumkin -
barqaror tugun va egar.
4.7-misol. Misol sifatida, tizimni ko'rib chiqing
tenglamalar bilan tavsiflanadi
x 1 = l - x21', x 2 = -x2 , (4.13)
bu yerda l - skalyar parametr. Tizim ekanligini ko'rish oson
(4.13):
1) l < 0 va uning fazasi uchun muvozanat nuqtalariga ega emas
Portret rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. 4.10a);
2) l = 0 da bitta muvozanat nuqtasi x = 0,
degeneratsiyalangan egar tugunlari va uning fazasi
th portret shaklda ko'rsatilgan shaklga ega. 4.10b);Guruch. 4.9.
Tenglamaning bifurkatsiya diagrammasi (4.12)
210 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Guruch. 4.10.
Tizimning fazali portreti (4.13):
(a) l < 0; (b) l = 0; (c) l > 0
3) l > 0 uchun u ikkita muvozanat nuqtasiga ega (v
l, 0) va (?v
l, 0), ular barqaror tugun va egardir
mas'uliyat bilan va uning bosqichli portreti ko'rsatilgan shaklga ega
rasmda. 4.10c).
4.3.6. Andronov-Xopfning bifurkatsiyasi
S2 holatida (204-betga qarang), asosiy bifurkatsiya stsenariysi
Tizimning (4.7) on-layn harakati - da sodir bo'ladi
l, x l0 ga yaqin, x? muvozanat nuqtasi yaqinida.
kichik amplitudali onar davriy eritmalar. Bu sahna-
nariya Andronov-Xopf bifurkatsiyasi deb ataladi10. Bu yerda-
faqat N 2 o'lchovli tizimlarda mumkin.
Andronov-Xopf bifurkatsiyasi eng ko'p
dinamikani sifat jihatidan qayta qurish uchun yanada qiziqarli stsenariy
muvozanat nuqtalari qo'shnisida kal tizimi. Bu
nie keng tarqalgan: u auto-ning paydo bo'lishini tushuntiradi.
ko'p texnik tuzilmalarda tebranishlar: "flutter"
10 Andronov-Xopf bifurkatsiya nazariyasi boy tarixga ega. Per-
uning natijalarining aksariyati A. Puankarening klassik tadqiqotlariga borib taqaladi va
A. M. Lyapunova. Cheklangan tsiklning tug'ilishining bifurkatsiyasini batafsil tahlil qilish
ikki o'lchovli dinamik tizimlar uchun A. A. Andronov tomonidan amalga oshirilgan [4]. Uning
teoremalar E. Hopf [22] tomonidan ko'p o'lchovli holatga umumlashtirildi. Shuning uchun,
Tegishli nazariyani Puankare-La deb ham atash tabiiy
Punov-Andronov-Xopf. Bu matematiklarning ishi boshlang'ich bo'lib xizmat qildi
turli yo'nalishlarda ko'plab tadqiqotlar uchun nuqta.
4.3. Uzluksiz dinamik tizimlardagi bifurkatsiyalar 211
samolyot konstruktsiyalarida, elektrda o'z-o'zidan tebranishlar
zanjirlar, suyuqlik oqimidagi tezlikning o'zgarishi va boshqalar (ko'proq de-
Andronov-Xopf bifurkatsiyasi bilan tanishish mumkin
ixtisoslashtirilgan adabiyotlarda: masalan, [4, 7, 14, 22, 31] ga qarang).
Bunday bifurkatsiyaning namunaviy misoli tasvirlangan tizim tomonidan berilgan
tenglama
x 1 = lx1 - x2 - x1(x21 + x22), x 2 = x1 + lx2 - x2(x21 + x22). (4.14)
Ushbu tizim l parametrining barcha qiymatlari uchun nolga ega
muvozanat nuqtasi x1 = x2 = 0. Mahalliy savolni ko'rib chiqing
Ushbu nuqtaga yaqin joyda (4.14) tizimning bifurkatsiyalari.
Biz (4.14) tizimni shaklda ifodalaymiz
x = f(x, l), x ? R2 , (4.15)
qayerda
x = x1 x2
, f(x, l) =
lx1 ? x2 ? x1(x21 + x22) x1 + lx2 ? x2(x21 + x22) .
Yakobi matritsasi A(l) = f x(0, ??l) bu sistemaning o'ng tomoni,
muvozanat nuqtasida hisoblangan x = 0 ga teng
A(l) = l -1 1 l .
A(l) matritsasining xos qiymatlari l±i sonlaridir. qisman -
Aslida, A(0) matritsasi bir juft sof xayoliy xos qiymatlarga ega.
qiymatlar ±i. Demak, muvozanat nuqtasi x = 0 ekanligini olamiz
sistema (4.15) l = 0 uchun giperbolik bo'lmagan.
Shuning uchun l0 = 0 qiymati tizimning bifurkatsiya nuqtasidir
biz va S2 ishi sodir bo'ladi.
Tizimni (4.14) qo'shimcha o'rganish uchun undan foydalanish qulay
qutb koordinatalari (r, s) (x1 = r coss, x2 = r sin s), bunda sistema (4.14) quyidagi shaklni oladi:
r = r(l - r2), s = 1. (4.16)
212 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
(4.16) sistemaning birinchi tenglamasi muvozanat holatiga ega
l ning barcha qiymatlari uchun r = 0. l 0 da bu holat
Ajam noyob va barqaror. l > 0 uchun u bo'ladi
beqaror, lekin bu holda, yangi barqaror
birinchi muvozanat holati r = vl. Tizimning ikkinchi tenglamasi
(4.16) doimiy tezlikda aylanishni tavsiflaydi. Shunday qilib
yagona nuqta r = 0 l 0 va sifatida barqaror fokus hisoblanadi
l > 0 uchun beqaror fokus.
(4.16) sistemaning r = vl muvozanat holati, yuzaga keladigan
bu l > 0 uchun tizimning davriy yechimiga to'g'ri keladi
biz (4.14) 2p davr va amplituda vl. Fazali portretda
Ushbu tizimning (4.11-rasm) ko'rsatilgan yechim mos keladi
markazi nolga teng va radiusi vl bo'lgan doira hosil qiling. Da
bu ichida va tashqarisida boshlangan barcha boshqa qarorlar
doira (x = 0 nuqtadan tashqari), vaqt o'tishi bilan
na bu doiraga yaqinlashmang, uning atrofida "o'raladi".
Shunday qilib, l parametri qiymatdan o'tganda
l = 0 tizimning fazali portreti (4.14) o'zgaradi: barqaror
noldagi fokus beqaror bo'ladi va barqarorlik paydo bo'ladi
chivy chegara aylanishi. Bu yakuniy tug'ilishning ta'siri
l parametr noldan o'tganda sikl a bo'ladi
Andronov-Xopf bifurkatsiyasining rom.
Andronov-Xopfning bifurkatsiyasi asosiy sahnalardan biridir
dinamik tizimlarning mahalliy bifurkatsiyalari, ular davomida
Guruch. 4.11.
Tizimda Andronov-Hopf bifurkatsiyasi (4.14)
4.3. Uzluksiz dinamik tizimlarda bifurkatsiyalar 213
fokus tipidagi muvozanatning ikkinchi nuqtasi da barqarorlikni yo'qotadi
bir juft murakkab konjugatli xos qiymatlarning o'tishi
Yakobiy matritsasining xayoliy o'qi orqali. Bu holda, yoki (demak,
rasmda ko'rsatilganidek. 4.11) tug'ilishning muvozanat nuqtasidan -
kichik barqaror chegara tsikli berilgan (yumshoq
barqarorlikni yo'qotish), yoki, aksincha, kichik beqaror
bifurkatsiya momentidagi chegara sikli bunga qulab tushadi
nuqta va bifurkatsiyadan keyin uning itarish havzasi bor
noldan ajratilgan o'lcham (qattiq bukilish).4.3.7. Bifurkatsiya stsenariylarini qanday aniqlash mumkin?
Shunday qilib, uzluksiz dinamik tizimlarda
x = f(x, l), x ? RN , (4.17)
Aslida, to'rtta asosiy bifurkatsiya stsenariysi mavjud
uning muvozanat nuqtalari atrofida: ulardan uchtasi (transkrit-
kal bifurkatsiya, vilkalar tipidagi bifurkatsiya va egar-tugun
bifurkatsiya) yangi muvozanat nuqtalarining tug'ilishi bilan bog'liq;
va biri (Andronov-Hopf bifurkatsiyasi) - a tug'ilishi bilan
qism aylanishi.
Nuqta yaqinidagi bifurkatsiya stsenariysini aniqlashtirish uchun
x?(l) muvozanati Yakobiy matritsasi A(l) = aniqlanishi kerak.
= f x(x?(l), l), uning xos qiymatlarini toping va aniqlang.
buning uchun l = l0 A(l0) matritsasi nolga teng xos qiymatga ega
qiymat yoki sof xayoliy xos qiymatlar juftligi ±o0i, o0 > 0.
Agar bunday l0 bo'lmasa, u holda har qanday l uchun muvozanat nuqtasi
(4.17) sistemaning x?(l)i giperbolik va bifurkatsiyadir
x?(l) ning qo'shnisida paydo bo'lmaydi.
Shunday l0 bo'lsin. U holda A(l0) matritsaga ega bo'lsa
nol xos qiymat, qoida tariqasida,
yangi muvozanat nuqtalarining tug'ilishi uchun uchta stsenariydan biri; yi-
A(l0) matritsasi ostida bir juft sof xayoliy xos qiymatlar
±o0i, keyin, qoida tariqasida, bifurkatsiya stsenariysi sodir bo'ladi
Andronov-Xopf.
"Odatda" so'zlari quyidagi ma'noga ega. Belgilangan
uchun A(l0) matritsaga qo'yiladigan talablar zarur
214 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
mos keladigan bifurkatsiya stsenariysi, lekin etarli emas.
Ushbu stsenariy haqiqatda amalga oshishi uchun
ba'zi transversallik shartlari kerak. Masalan, uchun
Andronov-Xopf bifurkatsiya stsenariysini amalga oshirish odatda
murakkab konjugat xos qiymatlar juftligini talab qildi
da xayoliy o'qdan o'tgan A (l) matritsasining qiymatlari
l parametri l0 qiymatidan o'tganda.
4.4. DAVRIYLIK BIFURKASIYALARI
ECHIMLAR
Tizimga ruxsat bering
x = f(x, l), x ? RN , (4.18)
l = l0 parametrining ba'zi bir qiymatida statsionar bo'lmagan
yangi T0-davriy eritma x = s0(t). Ushbu paragrafda
tizimning mahalliy bifurkatsiyalarining asosiy turlari ko'rib chiqiladi.
novda (4.18) eritmaning qo'shnilarida x = s0(t).
4.4.1. Bifurkatsiya uchun zarur shart-sharoitlar
Biz (4.18) tizimni qo'shnilikdagi l = l0 uchun chiziqli qilamiz
sikl x = ?0(t), buning uchun biz yangi o'zgaruvchiga o'tamiz
h = x - ?0(t). Ushbu o'zgarish tizimni (4.18) shaklga qisqartiradi
h = A(t)h + g(t, h), h ? RN , (4.19)
qayerda
A(t) = f x(s0(t), l0), g(t, h) = f(p0(t) + h, l0) ? f(p0(t), l0) ? A(t) h.
A(t) matritsa va vektor funksiyasi g(t, h) T0 davriydir
t da kaliy, t ? [0, T0] da bir xilda bizda mavjud
nisbat:
g(t, h) = o( h ), h > 0 .
Tizim (4.19) ga mos keladigan nol yechimga ega h = 0
dastlabki sistemaning T0-davriy eritmasiga x = ?0(t).
(4.18) l = l0 uchun.
4.4. Davriy eritmalarning bifurkatsiyasi 215
(4.19) bilan birga chiziqli sistemani ham ko'rib chiqamiz
mavzu
h = A(t)h, h ? RN . (4.20)
Lemma 3.6 (166-betga qarang) tufayli ko'paytirgichlardan biri
bu tizim 1.
Bir davrning mahallasida mahalliy bifurkatsiyalar muammosida
(4.18) sistemaning x = ?0(t) dikal eritmasi (xuddi shunday
ga teng nuqtalar qo'shnisida mahalliy bifurkatsiyalar muammosida
novice) bifurkatsiya nuqtalari l0 bilan mos keladi
ry sikli x = s0(t) giperbolik emas, ya'ni tizim
(4.20) ga teng bo'lgan kamida ikkita ko'paytuvchiga ega
modul 1, ulardan biri aynan 1.
4.4.2. Bifurkatsiyaning asosiy stsenariylari
Faraz qilaylik (4.20) sistemada ikkita ko'paytma bor
torus r0 va r1 shunday qilib r0 = 1 va |r1| = 1. Quyidagilar mumkin
holatlar:
a) r1 = 1 , b) r1 = -1 , c) r1 = eibT0 ,
bu erda b > 0 va sin(T0b) = 0 (bu holda ib soni
sistemaning Floquet ko'rsatkichi (4.20)).
Ushbu holatlarga qarab, turli xil holatlar mavjud
bir mahallada (4.18) tizimning mahalliy bifurkatsiyalari stsenariylari
davriy eritmaning x = s0(t). Ya'ni, bu erda
quyidagi stsenariylar mumkin.
a) holat S1 holatiga juda o'xshash (204-betga qarang),
bifurkatsiyani o'rganishda oldingi bandda ko'rib chiqilgan
muvozanat nuqtalari yaqinida joylashgan. Bu erda ham asosiy
tizimning bifurkatsiya harakatining uchta stsenariysi
(4.18) davriy eritma qo'shnisida x = s0(t), uchun -
ularning barchasi l0 ga yaqin l da ko'rinish bilan qanday bog'langan
yangi davriy eritmalarning x = s0(t) eritmasiga yaqin joyda
nii: bu transkritik bifurkatsiya, turdagi bifurkatsiya
vilkalar va egar-tugun bifurkatsiyasi.Transkritik bifurkatsiya stsenariysi amalga oshirilishi mumkin
lyatsya quyidagicha (4.12-rasmga qarang). uchun tizim (4.18).
l216 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
sikllar, ular orasidagi masofa nolga intiladi
l > l0 (odatda |l - l0| kabi). l = l0 da axloqiy
lys bittaga birlashadi va keyin l>l0 da yana paydo bo'ladi
ikki davr: beqaror (egar) va barqaror. Transkripsiya
Tik bifurkatsiyasi almashinuv bifurkatsiyasi deb ham ataladi
tsikllar orasidagi barqarorlik.
Vilka tipidagi bifurkatsiya stsenariysi amalga oshirilishi mumkin
quyidagicha (4.13-rasm). lizolyatsiyalangan barqaror tsiklga ega bo'lishi mumkin, qaysi, qachon
l>l0 barqarorlikni yo'qotadi va natijada uning qo'shnisida
sti ikkita yangi barqaror tsikl mavjud (masofada
taxminan " |l - l0|) ga teng.
Guruch. 4.12.
Transkritik bifurkatsiya
Guruch. 4.13.
Vilkalarning bifurkatsiyasi
4.4. Davriy eritmalarning bifurkatsiyasi 217
Egar-tugun stsenariysi xuddi shunday ta'riflanishi mumkin.
bifurkatsiyalar (bu tavsifni bering).
b) holatning mahalladagi bifurkatsiya uchun o'xshashi yo'q
muvozanat nuqtalarining aloqalari. Bu holat bifurka bilan bog'liq.
davrning ikki baravar ko'payishi yoki subharmonik bifurkatsiya.
Ya'ni, bu erda asosiy stsenariy - bu hodisa
yangi siklning T0-davriy sikli x = s0(t) ga yaqin joyda
la, taxminan 2T0 ga teng davrga ega.
Masalan, (4.18) tizimda izo-
barqaror sikl x = s(t, l), bu l>l0 uchun
barqarorlikni yo'qotadi va natijada uning yaqinida
taxminan davri bilan yangi barqaror sikl hosil qiladi
T0 dan ikki barobar katta (4.14-rasm). Bunday bifurkatsiya mumkin
faqat N 3 o'lchovli tizimlarda uchraydi.
Va nihoyat, c) ikkita ishlab chiqarishning bifurkatsiyasi
o'lchovli torus (Andronov-Hopf bifurkatsiyasiga o'xshash). Misol uchun-
chora-tadbirlar, lbarqaror sikl x = s (t, l), u l>l0 uchun yo'qotadi
barqarorlik va natijada yangi
tomonidan berilgan ikki o'lchovli torus bo'ylab birinchi barqaror harakat
dastlabki tsiklning asosiy chastotasi o0 = 2p/T0 va chastota
Guruch. 4.14.
Bifurkatsiya davrining ikki baravar ko'payishi
(subharmonik bifurkatsiya)
218 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Guruch. 4.15.
Ikki o'lchovli torusning tug'ilishining bifurkatsiyasi
o1 = b (4.15-rasm). Bunday bifurkatsiya faqat sodir bo'lishi mumkin
N 3 o'lchovli tizimlarda ko.
4.5. DISKRETDA BIFURKASSIYALAR
DINAMIK TIZIMLAR
Endi diskret dinamik tizimni ko'rib chiqamiz
l parametriga qarab: xk+1 = f(xk, l), k = 0, 1, 2, ... , (4.21)
Bu erda f(x, l) x ? RN va l ga silliq bog'liq bo'lgan funksiya.
Oddiylik uchun, parametr deb taxmin qilinadi
l skalyar, f(x, l) funksiya aniqlangan
Hamma joyda
Ushbu bo'limda lo-
l ? R1.
Tizimning (4.21) punktlari qo'shnilarida bifurkatsiyalari
muvozanat va tsikllar.4.5.1. Nuqtalar mahallalaridagi bifurkatsiyalar
muvozanat
Eslatib o'tamiz, (4.21) tizimning muvozanat nuqtalari
tenglamaning yechimi
x = f(x, l). (4.22)
4.5. Diskret dinamik sistemalarda bifurkatsiyalar 219
l = l0 parametrining ma'lum bir qiymati uchun (4.21) sistema x = x? muvozanat nuqtasiga ega bo'lsin, ya'ni x? = f(x?, l0).
Bu nuqta giperbolik yoki giperbolik bo'lmagan bo'lishi mumkin.
(tegishli ta'riflar uchun 89-betdagi 2.4.3-bo'limga qarang).
Avval muvozanat nuqtasi x? giperbolik bo'lsin
ya'ni, Yakobi matritsasi A0 = f x(x?, l0) hech qanday
qiymatlar 1 modulga teng. Bu holda, shuningdek
uzluksiz tizimlarga kelsak (4.3.1-bandga qarang), buni ko'rsatish mumkin
bu tizim (4.21) ba'zilarida tizimli barqaror
x? nuqtasining mahallalari to'dasi. Bundan tashqari, har bir l uchun yaqin
l0 ga, sistema (4.21) yagona muvozanat nuqtasiga ega
x?(l), x?(l) funksiya uzluksiz differensiallansin
l va x?(l0) = x? ga bog?liq. Topologik
X?(l) nuqta turi hamma l uchun bir xil, x l0 ga yaqin.
Endi muvozanat nuqtasi x? giperbolik bo'lmagan bo'lsin
ya'ni, Yakobi matritsasi A0 = f x(x?, l0) bitta yoki
bir nechta xususiy qiymatlar moduli 1. Unda
holda, l0 qiymati mahalliy bifurkatsiya nuqtasi deb ataladi.
sistema (4.21) muvozanat nuqtasi x = x? qo'shnisida.
Oddiylik uchun l0 qiymati ham bi-
tizimning furkatsiyalari (4.21), "mahalliy" so'zini chiqarib tashlagan holda.
l0 sistemaning bifurkatsiya nuqtasi bo'lsin (4.21).
Bunday holda, l qo'shnilikdagi l0 qiymatidan o'tganda
nuqta x? tizimning fazali portreti (4.21) bo'lishi mumkin
sifat jihatidan o'zgarishi: yangilari paydo bo'lishi yoki yo'qolishi mumkin
muvozanat nuqtalari, ularning topologik turini o'zgartirish, paydo bo'ladi
kichik amplitudali tortish davrlari va boshqalar.
Mumkin bo'lgan bifurkatsiya stsenariylarini o'rganish uchun biz buni qilamiz
quyidagi asosiy holatlarni ko'rib chiqing:
H1) A0 matritsa oddiy xos qiymatga ega 1;
H2) A0 matritsa oddiy xos qiymatga ega -1;
H3) A0 matritsasi bir juft oddiy xos qiymatlarga ega
e±2?ti, 0 Bu barcha hollarda, qolgan, deb taxmin qilinadi
A0 matritsasining muhim qiymatlari 1 modulga teng emas.
220 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Ushbu holatlarning har biri o'ziga xos xususiyatga ega
tizimning bifurkatsiya harakatining ta'rifi (4.21). keling, davom etaylik
ushbu stsenariylarga.
H1 holat: muvozanat nuqtalarining bifurkatsiyalari
H1 ishi S1 holatiga juda o'xshaydi (204-betga qarang),
mahalladagi bifurkatsiyalarni o'rganishda yuqorida muhokama qilingan
uzluksiz dinamik tizimlarning muvozanat nuqtalarining xususiyatlari.
Bu erda ham bifurkatsiyaning asosiy uchta stsenariysi mavjud
tizimning on-layn harakati (4.21) va ularning barchasi bilan bog'liq
eritma qo'shnisida l ga yaqin l da yuzaga kelishi
x? yangi muvozanat nuqtalari: bu transkritik bifurkatsiya
tion, vilka tipidagi bifurkatsiya va egar tugunli bifurkatsiya.
Keling, ushbu stsenariylarni tavsiflovchi tizimlarga misollar keltiraylik.
bifurkatsiya naria:
xn+1 = lxn - x2n (transkritik bifurkatsiya); (4.23)
xn+1 = lxn - x3n (vilkalar bifurkatsiyasi); (4.24)
xn+1 = xn + l - x2n (egar-tugun bifurkatsiyasi). (4,25)
Birinchi ikkita tizim nol muvozanat nuqtasiga ega
Barcha l uchun x = 0, uchinchisi esa faqat l = 0 uchun. Bundan tashqari,
Birinchi ikkita tizim uchun x = 0 muvozanat nuqtasi salbiy bo'ladi.
l = 1 uchun perbolik, uchinchi tizim uchun esa l = 0.
Shunga ko'ra, l0 = 1 qiymati bifurkatsiya nuqtasidir
tizimlar uchun (4.23) va (4.24) va tizim uchun l0 = 0 qiymati
(4.25) va H1 ishi sodir bo'ladi.
Keling, ko'rsataylik. Biz tizimni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz (4.23)
(4.24) va (4.25) tizimlarni o'rganish o'quvchi tomonidan taqdim etiladi
tanasi). (4.23) sistemaning muvozanat nuqtalari dan aniqlanadi
tenglamalar
x = lx - x2 , (4.26)
qaysi barcha l uchun nol yechimga ega x = 0. Matritsa
Yakobining o'ng tomoni f(x, l) = lx ? x2 (4.23), siz
x = 0 nuqtadagi sonli A(l) = skalyar funksiyadir
= f x(0, ??l) = l. Demak, muvozanat nuqtasi x = 0 ekanligini olamiz
4.5. Diskret dinamik sistemalarda bifurkatsiyalar 221
|l| uchun giperbolik bo'lmaydi = 1. Shuning uchun qiymat
l0 = 1 va l1 = -1 - tizimning bifurkatsiya nuqtalari
(4.23), bundan tashqari, l0 = 1 uchun H1 ishi sodir bo'ladi va uchun
l1 = -1 - H2 holati. Bu erda biz H1 ishi bilan qiziqamiz.
Tizimning bifurkatsiya stsenariysi (4.23) bifurkatsiyaga yaqin joyda
furkatsiya qiymati l0 = 1 quyidagi bilan aniqlanadi
(4.26) tenglamaning xossalari. l < 1 uchun bu tenglama mavjud
ikkita yechim x = 0 va x = l - 1. l = 1 uchun u faqat
nol yechim x = 0. Nihoyat, l > 1 tenglama uchun (4.26)
yana ikkita yechimga ega: x = 0 va x = l - 1. Bifurkatsiya
sistemaning diagrammasi (4.23) rasmda ko'rsatilgan. 4.16 a).
Shunday qilib, l l = 1 y qiymatidan o'tganda
(4.26) sistema x = 0 muvozanat nuqtasiga yaqin joyda yo'qoladi
va x = l - 1 nolga teng bo'lmagan muvozanat nuqtasi yana paydo bo'ladi.
Tizimning fazaviy portretini bunday sifatli qayta tashkil etish
va transkritik bifurkatsiya deyiladi.
Tizimlarning bifurkatsiya diagrammasi (4.24) va (4.25)
shaklda ko'rsatilgan. 4.16 b) va c) mos ravishda.E'tibor bering, bu bifurkatsiya stsenariylari xarakterlidir
nafaqat yo'qolishi va yangilarining paydo bo'lishi bilan tavsiflanadi
muvozanat nuqtalari, balki ularning barqarorligining tabiatini o'zgartirish orqali
sti. Keling, buni (4.23) tizim uchun ko'rsatamiz. Keling, teo-
2.20 yoki (yaxshiroq) uning bir o'lchovli hamkasbi -
2.21 teorema (91-betga qarang), unga ko'ra
sistemaning x? muvozanat nuqtasining barqarorlik koeffitsienti (4.23)
Guruch. 4.16.
Transkritik bifurkatsiya (a), bifurkatsiya
vilkalar turi (b), egar-tugun bifurkatsiyasi (c)
222 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
a = f x(x?, l) soni bilan aniqlanadi: agar |a| < 1, u holda x? barqaror
chiva, va agar |a| > 1, u holda x? beqaror.
Bizda f x(x, l) = l - 2x mavjud. Chunki f x(0, ??l) = l, u holda
x = 0 muvozanati |l| uchun barqaror <1 va beqaror
|l| uchun > 1. Keyin x = l - 1 muvozanat nuqtasi uchun bizda mavjud
fx(l ? 1, l)=2 ? l. Shuning uchun, nolga teng bo'lmagan muvozanat nuqtasi
x = l - 1 |2 - l| uchun barqaror < 1, ya'ni 1 |2 ? l| uchun beqaror > 1, ya'ni l ? (??, 1) ? (3, ?) uchun.
Shaklda. 4.16 tizimlarning barqaror muvozanat nuqtalarining tarmoqlari
(4.23) – (4.25) qattiq chiziq bilan, beqaror novdalar esa belgilangan.
chiqish nuqtalari - nuqta chiziq.
H2 holi: ikki baravar bifurkatsiya davri
H2 ishi yangi stsenariyga, bifurkatsiyaga olib keladi
davrning ikki baravar ko'payishi yoki subharmonik bifurkatsiya. Bu
stsenariy diskret dinamikaning paydo bo'lishi bilan bog'liq
davr davrlarining muvozanat nuqtasi yaqinidagi tizim
ikki.
Ushbu stsenariy, masalan, tizimda amalga oshiriladi
(4.23). l1 = -1 qiymati yuqorida ko'rsatilgan
nolga yaqin bu tizimning bifurkatsiya nuqtasidir
muvozanat nuqtasi x = 0 va H2 ishi sodir bo'ladi. Bu
haqiqatda, l parametri orqali o'tganda
l1 = ?1 nol nuqtaga yaqin joyda (4.23) tizim uchun
muvozanat x = 0, ikkinchi davr davrlari bor, ehtimol
44-betda muhokama qilingan bir xil sxema bo'yicha o'rnatiladi
misol 2.7.
H3 holat: Andronov-Hopf bifurkatsiyasi
H3 holatini o'rganish eng qiyin. Birinchidan,
u faqat N uchun mumkin 2. Ikkinchidan, kassetaning dinamikasi
(4.21) asosan th soni qanday bo'lishiga bog'liq:
mantiqiy yoki irratsional. Bundan tashqari, agar raqam th
ratsionaldir, ya'ni th = lm
, bu erda l va m o'zaro
oddiy natural sonlar, u holda holatlar mavjud: 1 m 4
(kuchli rezonans) va m 4 (zaif rezonans).
4.5. Diskret dinamik sistemalarda bifurkatsiyalar 223
Birinchidan, th bor ekan, oqilona bo'lsin
kuchli rezonansni joylashtiring. Bunday holda, asosiy stsenariy
Bifurkatsiyaning ma'nosi - qo'zg'almas narsa yaqinida sodir bo'lishi
nuqtalar x = m davrining 0 tsikllari. Xususan, th = 12 yarim-
Ikki marta bifurkatsiya davrining stsenariysini tuzing.
Endi th irratsional yoki th bo'lsin
ratsional va zaif rezonans sodir bo'ladi. Unda
holatda, tizimning fazali portreti (4.21) yopiq
tortishish yoki itarish sohasini cheklovchi g egri chiziqlar
sobit nuqta x = 0. Har bir bunday egri g dir
ba'zilari uchun (4.21) tizim uchun o'zgarmasdir
com dan l ning l0 qiymatiga. (4.21) sistemaning g egri chizig'idagi dinamikasi
oilasini o'z ichiga olgan juda murakkab bo'lib chiqishi mumkin
davriy va kvazi davriy orbitalar. Bunday bifurkatsiya
(uzluksiz dinamik tizimlarga o'xshash)
Andronov-Xopf bifurkatsiyasi deb ataladi.
Ba'zi tizimlarga misollar
H3 holatiga mos keladigan furkatsiya stsenariylari berilgan
ushbu bobning oxirida (xususan, 4.8.4 ga qarang).
4.5.2. Tsikllar qo'shnilarida bifurkatsiyalar
Tizim tsikllari qo'shnilarida bifurkatsiyalar stsenariylari
(4.21) ko'p jihatdan mahalladagi bifurkatsiya stsenariylariga o'xshash
muvozanat nuqtalari. Shuning uchun biz bu erda o'zimizni ko'rib chiqish bilan cheklaymiz
umumiy sxema bo'yicha renium.
(4.21) sistemaning q 2 davrining sikllari qaytadan aniqlanadi.
tenglamaning yechimi
x = f(q)(x, l),
qayerda
f(q)(x, l) = f(f( (f q).
(x, l))···)).
Ba'zi l = l0 uchun bu tenglama yechimga ega bo'lsin
x = x?, bu muvozanat nuqtasi emas va aniqlamaydi
q dan kichik davr sikli. Keyin x? vektor aniqlanadi
l = l0 uchun (4.21) sistemaning q davri sikli.
224 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
g(x, l) = f(q)(x, l) bo?lsin va Yakobi matritsasi aniqlansin.
A(l0) = g x(x?, l0). Agar A(l0) matritsaning o'ziga xosligi bo'lmasa
mutlaq qiymatda birga teng qiymat, keyin tizimning bifurkatsiyalari
(4.21) x? siklining qo'shnisida l uchun l0 ga yaqin, yo'q
yuradi.
A(l0) matritsa ga teng xos qiymatga ega bo'lsin
bitta modul. Keyin l0 tizimning bifurkatsiya nuqtasi bo'ladi
(4.21) x? siklining qo'shnisida. Agar qo'shimcha ravishda A(l0) matritsa
1 xos qiymatga ega, keyin x? tsiklining qo'shnisida
Xuddi shu davrning yangi sikllari q (transkritik
bifurkatsiya, vilkalar tipidagi bifurkatsiya yoki egar tugunli bifurkatsiya
furcation). Agar A(l0) matritsa xos qiymatga ega bo'lsa
?1 bo‘lsa, x? siklining qo‘shnisida qo‘shlik sikli paydo bo‘ladi
davr 2q (davr ikki baravar bifurkatsiya). Nihoyat, agar
A (l0) matritsasi e2pti ko'rinishdagi bir juft o'z qiymatlariga ega,
keyin x? tsiklining qo'shnisida ular mumkin (qiymatiga qarab
th), yoki davri q yoki ga bo'linadigan davrlar
peri- oilasini o'z ichiga olgan o'zgarmas ikki o'lchovli tori
odik va kvazi davriy orbitalar (Andro bifurkatsiyasi)
nova-Hopf).
4.6. DINAMIKADAGI BARTONI
TIZIMLAR
Zamonaviy nazariyaning asosiy kashfiyotlaridan biri
dinamik tizimlar haqiqatni aniqlashdir
deterministik tizimlarda, murakkab xaotik
cal attraktorlar, traektoriyalarning harakati asosan
faza fazosida nuqtaning tasodifiy yurishi kabi
stve. Ushbu bo'limda asosiy ma'lumotlar mavjud
dinamik tizimlardagi tartibsizlik.
4.6.1. Determinizm, tasodifiylik, tartibsizlik
Ushbu qo'llanmada dinamik ko'rib chiqildi
tizimlar (diskret va uzluksiz) determinantlarni tavsiflaydi
qazib olingan jarayonlar. Tenglamalar bilan ifodalangan qonunlar
Bunday tizimlar ma'lum boshlang'ich holatga imkon beradi
tizim har doim o'z holatlarini aniq belgilab beradi
4.6. Dinamik tizimlarda xaos 225
keyingi safar nuqtalari. Tasodifiy pro-
jarayonlar, ehtimollar nazariyasi apparati odatda ishlatiladi va
matematik statistika. To'xtatuvchining muhim xususiyati -
qazib olingan jarayonlar, bu ularni tasodifiy jarayonlardan ajratib turadi;
ularning takrorlanishi mumkinligi, ya'ni takrorlashni takrorlasangiz
bir xil boshlang'ich holat bilan jarayon, biz bir xil bo'lamiz
traektoriya, uning murakkabligidan qat'i nazar.
Dinamikning eng muhim ishlash tartibi
tizimlar jalb qiluvchi hisoblanadi (94-betdagi 2.4.4-bo'limga va 3.5.4-bo'limga qarang).
168-bet) barqaror kompakt invariant
sistemaning faza fazosidagi tasvir. Buning ahamiyati
tushunchasi, birinchi navbatda, dinamikasi bilan bog'liq
amaliy qiziqish uyg'otadigan ko'pgina tizimlar
shunday bo'ladiki, ba'zi o'tish jarayonidan keyin tizim
ba'zi bir attraktorga o'tishga intiladi. Bular
mexanika, elektrodinamika, biologiyada ko'plab modellar
bu. d.
Aniqlik uchun uzluksiz dinamikani ko'rib chiqing
differensial tenglama bilan tavsiflangan tizim
x = f(x), x ? RN , (4.27)
bunda f(x) funksiya silliq deb qabul qilinadi (ya’ni,
ko'z yoshlari bilan farqlanadi). Bir o'lchovli tizimlar uchun (ya'ni
N = 1) attraktorning yagona turi asimptotikdir
barqaror muvozanat nuqtasi. Ikki o'lchovli holatda
aniq ikki turdagi attraktorlar allaqachon mumkin: biz qo'shamiz
chegara aylanishi. Biz buni uch o'lchovli holatda allaqachon bilamiz
yana bir turdagi attraktorlar mumkin - barqaror ikki o'lchovli
torus Savol tabiiy: uch o'lchovli tizimlar mavjudmi?
har qanday boshqa turdagi attraktorlar maksimal. Javob ha! Boshlash
dinamik tizimdagi N 3 holatdan (4.27)
asosan xaotik attraktorlar deb ataladi
muvozanat nuqtalaridan tashqari, chegara davrlari va ikki o'lchovli
tori. Bunday attraktorlarning ko'rinishi olib keladi
deterministik yoki dinamik xaos tushunchasi.
Determinizm tushunchasi odatda bitta bilan bog'lanadi
ahamiyati va bashoratliligi, unda tasodifga o'rin yo'q
mu. Shu bilan birga, xaos tushunchasi ekstremal bilan bog'liq
226 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
murakkablik, amaliy oldindan aytib bo'lmaydiganlik, xaotik
xatti-harakat nuqtaning tasodifiy yurishiga o'xshaydi
faza fazosida (molning Broun harakati kabi)
salqin). Tabiiy savol tug'iladi, keyin nima tushuniladi
«deterministik xaos» atamasi ostida, agar «de-
tugatish" va "tartibsizlik" haqiqatan ham bir-biriga mos kelmaydi.
do'st.4.6.2. Deterministik xaos
N = 1 va N = 2 uchun (4.27) tizimga qaytaylik.
bu holda asimptotik barqaror bo'lishi mumkin
aniq muvozanat nuqtasi yoki chegara aylanishi; ichki
bunday traektoriyalarning dinamikasi juda oddiy. N = 3 da
Yana bir turdagi attraktor mavjud, barqaror ikki o'lchovli
torus, bu endi alohida traektoriya emas, balki
kontinuumni o'z ichiga olgan yopiq sirt ("donut").
tizimning davriy yoki kvazi-davriy traektoriyalari
(170-betdagi 3.18-rasmga qarang). Tizimning ichki dinamikasi
ikki o'lchovli torus ham juda oddiy.
20-asrning o'rtalarigacha. ko‘plab tadqiqotchilar tomonidan ko‘rib chiqiladi
haqiqiy dinamik tizimlar bo'lishi mumkin bo'lsa-da
aniq murakkab, lekin ularning tavsifi nisbatan sodda.
stuyu sifat strukturasi, mohiyatan ba'zilar uchun kamayadi
rom chekli barqaror sobit nuqtalar to'plami, peri-
odik yoki kvazi-davriy rejimlar. Ko'ra
bu paradigma bilan, u haqiqiy xatti-harakatlari tuyulardi
dinamik tizimlar ham haddan tashqari bo'lishi mumkin emas
qiyin, oldindan aytish mumkin.
Biroq, 60-yillarda. o'tgan asrda kashf etilgan
lekin buni juda oddiy dinamik modellar ham qila oladi
juda murakkab sifatli xulq-atvorga ega. fosh qilindi
xarakterlovchi mutlaqo yangi turdagi attraktorlar tasvirlangan
nihoyatda murakkab ichki dinamikaga ega. Bu diqqatga sazovor joylar -
ry, ikki o'lchovli torus sifatida, alohida emas
tizimning traektoriyasi (4.27) va ba'zi bir ixcham manifold
Tizim traektoriyalarining uzluksizligini o'z ichiga olgan O ? RN.
Bundan tashqari, O attraktorining ichki dinamikasining murakkabligi (qarang:
4.6. Dinamik tizimlardagi xaos 227
masalan, [17, 18, 19]) odatda quyidagilar bilan tavsiflanadi
omillar:
1) dastlabki shartlarga sezilarli bog'liqlik;
2) aralashtirish (yoki tranzitivlik);
3) sistemaning davriy orbitalarining zichligi (4,27) O.
Birinchi mulk har bir haqiqatni nazarda tutadi
(4.27) sistemaning attraktor O ichidagi traektoriyasi
beqaror va bir vaqtning o'zida yopiladi
vektorlar bir-biridan "eksponensial ravishda tarqaladi". Bir marta-
sodir bo'ladi, chunki traektoriyalar attraktorni tark eta olmaydi,
"eksponensial tarqalish" cheksiz davom eta olmaydi
albatta, traektoriyalar keyin yana, yana yaqinlasha boshlaydi
qochib ketish va h.k. d.
Boshqacha aytganda, sezilarli darajada bog'liqlik
shartlar o'zboshimchalik bilan kichik o'zgarishlarni bildiradi
joriy traektoriya sezilarli o'zgarishlarga olib kelishi mumkin
uning kelajakdagi xatti-harakatlarida. Bu xususiyat sifatida tanilgan
xuddi kapalak effekti kabi. Ushbu atama maqola bilan bog'liq holda paydo bo'lgan
"Prognoz: Braziliyada kapalak qanotlarini qoqishi sabab bo'ladi
Texasdagi Tornado, Edvard Lo- tomonidan nashr etilgan
renz11, 1972. Kapalak qanotlarining qoqishi kichikni anglatadi.
tizimning dastlabki holatidagi ba'zi o'zgarishlar, qaysi
katta miqyosga olib keladigan voqealar zanjirini tetiklash
o'zgarishlar.
Attraksion ichidagi traektoriyalarning aralashish xususiyati
ra O tizimning O zich orbitasining mavjudligini bildiradi
(4.27), ya'ni yopilishi butunga teng bo'lgan bunday traektoriya
O. Bu traektoriya ertami-kechmi istalgan qismga “tashrif buyuradi”
O ni o'rnating (ya'ni, har qanday to'p T (x0, d) ? O o'zboshimchalik bilan
radiusi d > 0 markazlashgan x0 nuqta). "O'zgartirish" tushunchasi
tikish qobiliyati" ko'p rangli bo'yoqlarni aralashtirishga mos keladi
yoki suyuqliklar.
11 Edvard Norton Lorenz (ing. Edvard Norton Lorenz; 1917–2008) - amerikalik
Rikalik matematik va meteorolog, xaos nazariyasi asoschilaridan biri.
"kapalak effekti" iborasining muallifi, shuningdek, Lorenz attraktorining yaratuvchisi.
228 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Nihoyat, davriy orbitalarning zichligi xususiyati degani
Bu shuni anglatadiki, har qanday sharda T (x0, d) ? O ixtiyoriy radius
d > 0 bo'lsa, u orqali kamida bitta nuqta bor
sistemaning davriy orbitasidan o'tadi (4.27). Ayniqsa,
demak, to'plamda O sistema (4.27) cheksizga ega
Albatta, ko'p davriy orbitalar mavjud.
Bu uch omil birgalikda olib keladi
(4.27) sistemaning attraktor O ichidagi xatti-harakati
nihoyatda murakkab, chalkash. Bu erda mumkin bo'lgan traektoriyalar
turli murakkablikdagi: ular davriy bo'lishi mumkin
turli davrlardagi orbitalar; mumkin bo'lgan traektoriyalar
javdar uzoq vaqt davomida diqqatga sazovor joylarning bir qismida
torus O, keyin esa traektoriya "to'satdan" boshqasiga o'tadi
jalb qiluvchining bir qismi; Nihoyat, qaysi traektoriyalar mumkin
hech qachon naqsh yo'q. Sami trek -
torii boshlang'ichga sezgir bog'liqlikka ega
shartlar, ya'ni dastlabki sharoitlarda eng kichik o'zgarish
o'rtasidagi nomuvofiqlikning eksponentsial o'sishiga olib keladi
tegishli qarorlar. Shuning uchun boshlang'ichga yaqin
qaror qabul qilish vaqti juda tez bir-biridan tarqalib ketadi.
Tashqi tomondan, tizimning evolyutsiya jarayoni tasodifiy ko'rinadi
choy, garchi bu, albatta, deterministik
jarayon.
Attraktor O turli atamalar bilan chaqirilishi mumkin:
g'alati attraktor, xaotik attraktor va boshqalar. n.Di
ko'rsatilgan attraktorga ega bo'lgan namik tizim, biz qilamiz
deterministik yoki dinamik tizim deb ataladi
tartibsizlik.Ushbu tushunchalar haqida munozarani maqolada topishingiz mumkin
maxsus adabiyotlar (masalan, [12, 17, 19] va bor
u erda bibliografiya).
Shu munosabat bilan biz umumiy qabul qilingan universal ekanligini ta'kidlaymiz
xaosning matematik ta'rifi yo'q. Odatda hisobga olinadi
deb tasniflangan dinamik tizim eritish
tartibsiz sifatida, belgilangan bilan bir jalb bo'lishi kerak
yuqoridagi xususiyatlar1)–3).
Shaklda. 4.27 (261-betga qarang) Lorentz attraktorini ko'rsatadi,
quyida batafsilroq muhokama qilinadi.
4.7. Fraktallar va xaos 229
Murakkab xaotik xatti-harakatlarga ega tizimlarga misollar
atmosfera, turbulent oqimlar, ayrim turlari
yurak aritmiyalari, biologik populyatsiyalar, iqtisodiy,
siyosiy va boshqa ijtimoiy tizimlar.
Ushbu bo'limda deterministik xaos tushunchasi muhokama qilinadi.
uzluksiz dinamik tizimlarga nisbatan berilgan
m, (4.27) tenglama bilan tavsiflanadi. Xuddi shunday, bu ham tushuniladi
tenglama bilan tavsiflangan diskret tizimlar uchun galstuk kiritiladi
niem
xn+1 = f(xn), n = 0, 1, 2,... (xn ? RN ). (4,28)
E'tibor bering, chiziqli tizimlar xaotik emas.
Biz shuni ham ta'kidlaymizki, Puankare-Ben-
Dikson, tekislikdagi uzluksiz dinamik tizim emas
xaotik bo'lishi mumkin. Uzluksiz tizimlar orasida xaotik
faqat chiziqli bo'lmagan ko'p o'lchovli
tizimi (4.27) (N 3 uchun). Shu bilan birga, diskret dinamika
mikrofon tizimlari (4.28) xaotik xatti-harakatlarni namoyon qilishi mumkin
hatto bir o'lchovli fazoda ham (N = 1 uchun).
Deterministik paydo bo'lishining ba'zi jihatlari
Xaos yakuniy xatboshida muhokama qilinadi (qarang.
4.8) logistika modelini va Lo-
ijara.
4.7. FRAKTALLAR VA TARTIB OLISH
Xaotik attraktorlarni birinchi marta o'rganayotganda
reja dinamikaning individual traektoriyalarini o'rganish emas
tizim (dastlabki shartlarga sezilarli bog'liqlik)
viy traektoriya harakatining amaliy oldindan aytib bo'lmaydiganligini nazarda tutadi
vaqt o'tishi bilan torii) va umuman o'rganish dinamikdir
ki tizimi va, xususan, murakkab geometrik tahlil
jalb qiluvchi tuzilmalar. Bu borada olib borilgan tadqiqotlar
so'nggi o'n yilliklardagi yo'nalish kashfiyotga olib keldi
bir qator qiziqarli effektlar va jarayonlarga yangicha qarash
chiziqli bo'lmagan dinamik tizimlar. Ushbu effektlardan biri
tov - kasr o'lchamini va fraktalni aniqlash
xaotik attraktorlarning tuzilishi. Ushbu paragrafda
230 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
fraktallar nazariyasidan elementar ma'lumotlar berilgan (qarang:
masalan, [13, 17, 21]) va tahlil qilish uchun ba'zi ilovalar
chiziqli bo'lmagan tizimlar dinamikasi.
4.7.1. Topologik va fraktal
o'lchamlari
O'lchov tushunchasi dunyoda eng muhim tushunchalardan biridir.
mavzular va vazifaga qarab har xil bo'lishi mumkin
ma'nosi. Masalan, ular aytadiki, chiziqli pro-
E bo'shlig'i, agar E tarkibida bo'lsa, k 0 butun soniga teng
k chiziqli mustaqil vektorlar to'plami va har qanday k + 1
torus chiziqli bog'liq tizimni hosil qiladi; bu holda pi-
ahmoq dim E = k va E fazoni chekli o'lchovli deb ayting.
Agar har qanday musbat butun k soni uchun E k to'plamini o'z ichiga oladi
chiziqli mustaqil vektorlar, keyin fazo deymiz
E cheksiz o'lchovli.
Turli muammolarda topo- tushunchasi muhim rol o'ynaydi.
mantiqiy o'lchov, o'zboshimchalik bilan ko'p
metrik bo'shliqlarda imo-ishoralar. O'lchovlar nazariyasi
birinchi marta o'tgan asrning boshlarida L. E. Ya. Brouwer12 qurilgan
IP. S. Uryson13.
DimT M ??topologik o'lchov tushunchasi ixtiyoriydir.
to'siq M ? RN odatda tomonidan kiritiladi va induksiyon va ; ogra-
Keling, uning soddalashtirilgan sxemasini keltirishdan boshlaylik:
1. agar M bo'sh to'plam bo'lsa, u holda dimT M = -1;
2. agar M chekli yoki sanaladigan to‘plam bo‘lsa, u holda
dimT M ??= 0;3. Agar M to‘plamini bo‘lish mumkin bo‘lsa, dimT M = k + 1
bir nechta yordami bilan bog'lanmagan ikkita qism
dimT o'lchamining M0 xususiyati M0 = k.
Misol uchun, silliq chiziqni ikkita bog'lanmagan holda ajratish mumkin
bir nuqta bilan bir-birining qismlari; shuning uchun topologik
Silliq chiziqning maksimal o'lchami birga teng. Topologik
R3 da silliq sirtning maksimal o'lchami ikkiga teng, shuning uchun
qanday qilib bir-biriga bog'liq bo'lmagan ikkitaga bo'linishi mumkin
silliq chiziq qismlari va boshqalar.
Chiziqli fazo hajmi va topologik
to'plamning o'lchami faqat butun son bo'lishi mumkin.
Ushbu tushunchalarning rivojlanishi Minkovskiy o'lchovidir
va fraktal deb ham ataladigan Hausdorff o'lchami
mi o'lchamlari. Bu o'lchamlar allaqachon fraksiyonel bo'lishi mumkin
mil. Oddiylik uchun biz o'lcham tushunchasini keltirish bilan cheklanamiz -
Minkowski xususiyatlari ixcham to'plamlarga qo'llaniladi
da R.N.
Barcha bo'sh bo'lmagan kompaktlar to'plamini K bilan belgilang
RN makonining to'plamlari. A ? K va e > 0 bo'lsin
A qanchalik ixcham bo'lsa, u cheklangan son bilan qoplanishi mumkin
radiusli ariq e. Bunday sharlarning minimal soni p(e) bo'lsin.
Agar chegara bo'lsa
d = -lim
e>+0
log p(e)
ln e , (4.29)
u holda d soni to'plamning Minkovski o'lchami14 deb ataladi
xossalari A va dimM(A) ni bildiradi.
(4.29) formuladagi minus belgisi chalkashmasligi kerak; bu aniq
d 0. Oddiy vaziyatlarda Minkovskiy o'lchami
topologik o'lchov bilan tushadi. Masalan, agar A bo'lsa
chekli to'plam, keyin dimM (A)=0, agar A segment [a, b] bo'lsa,
u holda dimM (A)=1, agar A aylana bo'lsa, dimM (A)=2 (ko'rsatish
u).
Shu bilan birga, murakkabroq to'plamlar uchun o'lcham
Minkovskiy kasr son bo'lishi mumkin.
14 Adabiyotda boshqa atamalardan foydalaniladi; (4.29) raqami chaqiriladi
shuningdek, Hausdorff o'lchami, entropiya o'lchami va boshqalar. d.
232 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Guruch. 4.17.
Cantor to'plamining qurilishi
4.8-misol. Cantor to'plami K segmentida [0, 1]
odatda quyidagi sxema bo'yicha qurilgan (4.17-rasm). Birinchidan
interval (1/3, 2/3) bu segmentdan chiqariladi. Keyin har biri
qolgan ikkita segmentdan uchta teng qismga bo'linadi va
o'rta oraliqlarni olib tashlang, ya'ni (1/9, 2/9) va (7/9, 8/9). Ustida
keyingi bosqichda, qolgan segmentlarning har biri yana de-
uchta teng qismga bo'linib, o'rta oraliqlarni olib tashlang. Ko'p -
chegaralanmagandan keyin qolgan [0, 1] segmentning K nuqtalari to'plami
bu jarayonning davomi va kantor deb ataladi.
siz m. Kantor to'plamining Minkovski o'lchami
d = log
4.9-misol. Cantor to'plamida o'z analoglari mavjud
3 2 ? 0,631.
tekislik R2, uch o'lchovli fazoda R3 va boshqalar.
shundan Sierpinski gilami bo'lib, unga ko'ra qurilgan
quyidagi diagramma (4.18-rasm). Dastlabki to'plam
tekislikdagi yopiq teng yonli ABC uchburchak
sti R2. Uchburchak tomonlarining o'rta nuqtalarini A1, B1 va C1 deb belgilab, biz asl markazda A1B1C1 uchburchakni olamiz.
th uchburchak. A1B1C1 uchburchakning ichki qismi olib tashlanadi
etsya, natijada uchta yopiq teng tomon mavjud
uchburchaklar, ular bilan ko'rsatilgan protsedura takrorlanadi.
Cheklanmagandan keyin qolgan R2 tekislikning to'plami (S).
bu jarayonning davomi va Ser-gilami deb ataladi.
pushti. Sierpinski gilamining Minkovski o'lchami
d = log2 3 ? 1,585.
4.7.2. Fraktal to'plam haqida tushuncha
RN dagi ixcham to'plamlar va kasr o'lchamiga ega
Minkovskiyning fikriga ko'ra, fraktal deb atash odat tusiga kiradi. Taco
4.7. Fraktallar va xaos 233
Guruch. 4.18.
Sierpinski gilami
siz, masalan, Cantor to'plami va Serpin-qopqoq bo'lasiz
osmon.
Fraktal to'plamlar va ularning ko'pgina xususiyatlari ma'lum
uzoq vaqt oldin, lekin, albatta, keng tarqalgan foydalanish
ular faqat Benua Manning kitobi [21] paydo bo'lishi bilan tan olindi.
Delbrot15, unda muallif fraktal nazariyani ko'rsatdi
riya ko'plab murakkab tabiat hodisalarini tushuntirishga imkon beradi.
Bundan tashqari, fraktal to'plamlar ham paydo bo'lishi ma'lum bo'ldi
chiziqli bo'lmagan tizimlar dinamikasini o'rganish muammolari. Biroz-
Quyida ko'proq misollar keltiriladi.E'tibor bering, to'plamning fraktal o'lchami xarakterlidir
uning "qalinligini" takrorlaydi. Masalan, tabiatdagi Sierpinski gilami
15 Benua B. Mandelbrot (1924-2010) - fransuz
osmon va amerikalik matematik, fraktal geometriya yaratuvchisi. tushuncha
"Fraktal" Benoit Mandelbrot tomonidan ixtiro qilingan (lotincha fractus, degan ma'noni anglatadi).
"buzilgan", "buzilgan").
234 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
har qanday silliq chiziqqa qaraganda "qalinroq" ma'noda (kasr
tal o'lchami birga teng) va "ingichkaroq",
masalan, aylanaga qaraganda (uning fraktal o'lchami teng
ikkita).
Shuni ham yodda tutingki, fraktal to'plamlar ko'pincha
o'ziga o'xshashlik xususiyatini berish, ya'ni kichikroq miqyosda ular
katta tol bilan bir xil ko'ring. Masalan, Cantor to'plami
tanasi ikkita butunlay bir xil qismdan iborat bo'lib, ularning har biri
ularning ba'zilari Cantor to'plamining nusxasi,
uch marta qisqartirildi. Xuddi shunday, Sierpinski gilami
uchta bir xil qismdan iborat.
4.7.3. Dinamik tizimlardagi fraktallar
Dinamik tizimlarning xaotik attraktorlari mumkin
fraktal tuzilishga ega. Boshqacha qilib aytganda, bunday at-
to'plam sifatida traktorlar kasr o'lchamiga ega bo'lishi mumkin va
o'ziga o'xshashlik xususiyatiga ham ega. Ba'zi misollar
bunday attraktorlar keyingi bobda keltirilgan. Bu yerda
qachon paydo bo'ladigan fraktallarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz
murakkab dinamik tizimlarni tahlil qilish.
Murakkab dinamik tizimlar
Ushbu qo'llanma faqat o'z ichiga oladi
haqiqiy dinamik tizimlar, ya'ni tizimlar o'rganiladi
bizda xn+1 = f(xn) va x = f(x) ko'rinishga ega bo'lib, bunda mos ravishda xn va x holatlar realdan vektorlardir.
o'lchovli N o'lchovli fazo RN . Biroq, ko'pchilik
degan faraz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan muammolarni o'rganish mumkin
davlatlar ham murakkab qadriyatlarni qabul qilishi mumkin.
Ko'pincha, shuningdek, haqiqiy dinamikadan murakkab dinamikaga o'tish
mikrofon tizimi yechimni sezilarli darajada soddalashtirish imkonini beradi
ko'p vazifalar.
Tasavvur qilish uchun ikki o'lchovli dinamikani ko'rib chiqing
tizimi
un+1 = f(un), n = 0, 1, 2, ... , un ? R2 . (4.30)
4.7. Fraktallar va xaos 235
Ushbu tizimning dinamikasi ko'pincha qulay tarzda tasvirlangan
murakkab arifmetika. Bu o'rtasida ekanligi bilan bog'liq
chiziqli bo'shliqlar
R2 = u = xy : x, y ? R va C = {z : z = x + iy }
yakkama-yakka yozishmalar o'rnatilishi mumkin:

xy
<> x + iy .

Keyin R2 dan vektorlar ustida amallar (vektorlarni qo'shish va
vektorlarni haqiqiy sonlarga ko'paytirish) kiradi
C dan kompleks sonlar ustida mos amallar (word-
kompleks sonlarni qisqartirish va ularni haqiqiy sonlarga ko'paytirish
raqamlar).
Bu mulohazalar (4.30) dan o'tishga imkon beradi
murakkab dinamik tizimga teng
zn+1 = F(zn), n = 0, 1, 2, ... , zn ? C , (4.31)
bu yerda w = F(z) z kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi.
Murakkab tizimga o'tish (4.31) ko'pincha bizni soddalashtirishga imkon beradi
tizimni o'rganish (4.30).
Julia o'rnatadi
Murakkab dinamik tizimlar va ularning in-
da o'tgan asrning boshlarida jadal o'rganila boshlandi
frantsuz matematiklari G. Julia16 va P.ning asarlari. Fatu17.
16 Gaston Maurice Julia (frantsuz Gaston Maurice Julia, 1893-1978) - frantsuz
chunki matematik. Konformal nazariya bo'yicha o'rganilgan va olingan natijalar
xaritalash va ularning funksional tenglamalarga qo'llanilishi ko'plab kashfiyotlar qildi
Julining imo-ishorasi. 17 Per Jozef Lui Fatu (1878-1929) -
Golomorf dinamika sohasida ishlagan frantsuz matematigi.
236 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Ammo kompyuterlar paydo bo'lishi bilangina tasvirlar paydo bo'ldi.
Bunday tizimlarning notrivial attraktorlari, esa
Julia g'oyalarini ommalashtirishga ayniqsa katta hissa qo'shgan
va Fatu B. Mandelbrot [21] kitobi tomonidan kiritilgan. Geometrik
bunday attraktorlarning shakllari juda oqlangan va bo'lib chiqdi
g'ayrioddiy narsa, bu ularga yangi qiziqish uyg'otdi
tizimlari. Ularning yana bir ajralib turadigan xususiyati -
traktorlar, ular (yoki ularning chegaralari) ko'pincha bor
kasr o'lchamiga ega va o'ziga o'xshashlik xususiyatlariga ega;
ya'ni ular fraktal tuzilishga ega.Murakkab dinamik tizimni ko'rib chiqing
zn+1 = f(zn), n = 0, 1, 2, ... , zn ? C , (4.32)
bu yerda w = f(z) kompleksning analitik funksiyasi
o'zgaruvchi z. Julia tizimi (4.32) deb ataladi
yut to'plami
G(f) = {z : f(n)(z) n > ?} , (4.33) kabi chegaralangan.
Guruch. 4.19.
Julia o'rnatadi
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 237
ya'ni Julia to'plami - bu z0 ? C nuqtalar to'plami,
(4.32) sistemaning z0 nuqtadan boshlab yechimi ekanligini
cheklangan. Xususan, Julia to'plami
tizim uchun invariant (4.32).
f(z) = z2 +µ bo‘lsin, bu yerda m ? C; boshqacha qilib aytganda, o'ylab ko'ring
halqali murakkab dinamik tizim
zn+1 = z2n + m, n = 0, 1, 2, ... , zn ? C , (4.34)
µ kompleks parametrga bog'liq. m = 0 uchun to'plam
(4.34) sistemaning Julia xossasi |z| doiradir 1 (tushuntirish
bu), fraktal emas. Biroq, ko'p
murakkab m, tizimning Julia to'plami (4.34) allaqachon aylangan
fraktal kabi buraladi. Shaklda. Rasm uchun 4.19 berilgan
bu Julia to'plamlaridan ba'zilari.
4.8. NONCHIZIYIY MO'LLAR
DINAMIK TIZIMLAR
Dinamik pro-modellarning katta xilma-xilligi orasida
jarayonlar, amaliy bilan bir qatorda klassik modellar mavjud
tarixiy ahamiyatga ega bo‘lib, keng tarqalgan
nazariya usullari va natijalarini aks ettiruvchi asosiy misollar
dinamik tizimlar. Ushbu modellarning ba'zilari ko'rib chiqiladi
yuqorida, masalan, Maltus modeli va tenglamasi
matematik mayatnikning tebranishi. Ushbu paragrafda biz
ba'zi boshqa klassik dinamikalar o'rganilmoqda.
kaliy tizimlar: Lotka-Volterra modeli, van der
Fields, Lorentz modeli, diskretli logistik model
vaqt, Henon modeli. Ushbu modellarni o'rganish bo'ladi
asosan quyidagi savollarga javob beradi:
- tizimning umumiy xususiyatlarini o'rganish (tuzilish barqarorligi
mustahkamlik, konservatizm, dissipativlik, fazali portret va
va boshqalar.);
– muvozanat nuqtalari va davrlarini, shuningdek ularni aniqlash
mantiqiy turi, barqarorlik xarakteri;
- mahalliy bifurkatsiyalarni tahlil qilish (bifurkatsiya nuqtalari,
bifurkatsiya naria) topilgan holatlarga mos keladi
muvozanat yoki tsikllar;
238 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
– xaotik tizimdagi imkoniyat masalasini muhokama qilish
chang'i rejimlari.4.8.1. Lotka-Volterra modeli
Eng ko'p biologik populyatsiyalar dinamikasida
yirtqich-o'lja modeli ma'lum. hisobga olgan holda -
ikkita turni o'z ichiga olgan biologik jamoa mavjud, biri
ulardan "yirtqichlar", ikkinchisi esa ularning o'ljasi deb ataladi
"qurbon" (masalan, bo'rilar va quyonlar).
X va y o'lja va yirtqich populyatsiyalar soni bo'lsin
mos ravishda. Tabiiyki, ularning soni vaqt o'tishi bilan o'zgaradi.
kamroq, ya'ni x = x (t) va y = y (t). U holda x (t) va y (t) tezliklardir
aholining o'zgarishi.
Yirtqichlar bo'lmasa, o'lja populyatsiyasi o'sib boradi; bou-
dem bu o'sish Maltus qonuniga bo'ysunadi deb faraz qiladi
x = ax, bu erda a > 0. Biroq, yirtqichlarning mavjudligi o'sishni kamaytiradi
yirtqichlar populyatsiyasi va yirtqichlar soni qancha ko'p bo'lsa,
ya'ni y qanchalik katta bo'lsa, aholining o'sish sur'ati shunchalik past bo'ladi
qurbonlar. Shunday ekan, shunday deb taxmin qilish tabiiy
a koeffitsienti y ga, ya'ni a = a (y) va funktsiyaga bog'liq
a(y) kamaymoqda. Oddiylik uchun a(y) funksiyasi bo‘lsin.
chiziqli: a(y) = a - by, bu erda b > 0 koeffitsient
yirtqichlarning "qonchanligi". Natijada biz tenglamani olamiz
x = (a ? by)x.
Xuddi shunday, yirtqichlarning populyatsiyasi yo'qligida kamayadi
o'lja: y = ?cy, bu erda c > 0. O'ljaning mavjudligi kompensatsiya qiladi
bu pasayish bo'lib, y = (?c + dx)y tenglamaga olib keladi.
Shunday qilib, "yirtqich-o'lja" modeli tizimga olib keladi
tenglamalar tizimi
x = ax - bxy,
y = ?cy + dxy, (
(4,35)
Lotka-Volterra tizimi deb ataladi.
Modelni o'rganishga o'tamiz (4.35).
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 239
Balans nuqtalari
Birinchi bosqichda biz tizimning muvozanat nuqtalarini topamiz (4.35),
ya'ni tenglamalar tizimini yechamiz

x(a ? by)=0 , y(?c + dx)=0 ,

shundan kelib chiqib, (4.35) sistemaning ikkita muvozanat nuqtasi borligini olamiz
bu
u0(0, 0), u1 cd, ab .
E'tibor bering, u1 nuqtasi har qanday ijobiy qiymatlar uchun
a, b, c va d parametrlari kvartiraning birinchi oktantida joylashgan
arpabodiyon (x, y).
Muvozanat nuqtalarining topologik turi
Ikkinchi bosqichda topilgan topologik turini aniqlaymiz
muvozanat nuqtalari. Buning uchun o'ngning Yakobi matritsasini topamiz
tizim qismlari (4.35):
A(x, y) = a -
dy
tomonidan
?c?+
bx
dx.
Bu matritsaga u0 va u1 muvozanat nuqtalarining koordinatalarini qo‘yib, mos ravishda:
A(u0) = a 0 0 ?c , A(u1) = 0 ?bc/d
ad/b 0.
A(u0) matritsasining xos qiymatlari l1 = a > 0 va l = ?c < 0 raqamlaridir. Demak, muvozanat nuqtasi
u0 topologik turga (1, 0, 1), ya'ni fazali portretga ega
sistema (4.35) u0 ??nuqtaning qo'shnisida "egar" tipidagi va
nuqtaning o'zi giperbolikdir.
A(u1) matritsasining xos qiymatlari faqat xayoliydir -
biz: l1,2 = ±ivac. Shuning uchun u1 muvozanat nuqtasiga ega
topologik turi yo'q (0, 2, 0), ya'ni tizimning fazali portreti
(4.35) u1 nuqtaning qo'shnisida "markaz" turiga va nuqtaning o'ziga ega
giperbolik emas.
240 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Chunki (4.35) tizim giperbolik bo'lmagan nuqtaga ega
muvozanat, keyin Andronov-Pontryagin teoremasidan (qarang
194-bet) shundan kelib chiqadiki, Lotka-Volterra tizimi bunday emas
Xia tizimli barqaror.Tizim konservatizmi
Keling, (4.35) tizimning konservativ ekanligini ko'rsatamiz, ya'ni.
butunlikda aniqlangan notrivial birinchi integralga ega
samolyotlar. Oddiylik uchun a = b = c = d = 1 tengliklari bajarilsin, ya'ni (4.35) sistema ko'rinishga ega bo'lsin.
x = x(1 - y), y = y(x - 1) (4.36)
(umumiy ishni xuddi shunday ko'rib chiqish mumkin, lekin
ko'proq mashaqqatli hisob-kitoblarni talab qiladi).
(4.36) sistemaning muvozanat nuqtalari u0(0, 0) va u1(1, 1) dir.
Lemma 3.3 (136-betga qarang) tufayli tizimning fazali traektoriyalari
(4.36) birinchi tenglamaning integral egri chiziqlariga to'g'ri keladi
ajraladigan o'zgaruvchilar bilan tartib:
x(1 - y)dy = y(x - 1)dx .
Bu tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha ifodalanadi
xye?x?y = C, bu yerda C ixtiyoriy doimiydir (ko‘rsating
u). F(x, y) = xye?x?y bo‘lsin; to'g'ridan-to'g'ri tekshirish
F(x, y) funksiyaning birinchi integral ekanligini ko'rsatadi
butun tekislikda aniqlangan tizim (4.36) (ko'rsatish
u). Shunday qilib, (4.36) tizim konservativ hisoblanadi.
Tizimning fazali portreti
Biz tizimning bosqichli portretini yaratish bilan cheklanamiz
(4.36) tekislikning birinchi oktanti uchun (x, y); nuqtai nazaridan
ilovalar uchun bu etarli, chunki x va y sonli
yirtqichlar va yirtqichlar populyatsiyalari, va shuning uchun
mu x, y 0.
(4.36) tizim konservativ bo'lgani uchun uning har bir fazasi
qo'ng'iroq yo'li bitta va faqat bitta qatorga tegishli
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 241
funksiya darajasi F(x, y) = xye?x?y (funksiya darajasi chizig‘i
F(x, y) - F(x, y) = C tenglamaning yechimlari to'plami, bu erda
C doimiydir). Darajali chiziqlarni aniqlash uchun
F(x, y) funksiyasi uchun funksiyani oddiy tadqiq qilaylik
lar. Bu ko'rsatadi (o'zingizga qarang)
F(x, y) funksiyaning aynan bitta ekstremum nuqtasi borligini
mum x? = 1, y? = 1, bundan tashqari, u qat'iy
th maksimal. Shunday qilib, muvozanat nuqtasi u1(1, 1) bo'ladi
ildiz (4.36) funksiyaning qat'iy maksimal nuqtasidir
F(x, y). Binobarin, u1(1, 1) nuqtaning qo'shnisida chiziq
F(x, y) funksiya darajasi yopiq
u1(1, 1) nuqtani o'rab turgan chiziqlar.
Ushbu yopiq egri chiziqlar tizimning traektoriyalariga to'g'ri keladi
(4.36). Ikkinchisi, birinchisining ichki qismida ekanligidan kelib chiqadi
tekislikning oktant (x, y), (4.36) sistemasida farq yo'q
u1(1, 1) muvozanat nuqtalaridan. Shunday qilib, faza porti-
sistema (4.36) u1(1, 1) nuqta qo'shnisida ifodalaydi
nuqtani o?rab turgan yopiq traektoriyalar oilasi
u1(1, 1), ya'ni "markaz" turiga ega. Batafsil tadqiqot
F(x, y) funksiyaning sath chiziqlari faza ekanligini ko'rsatadi
birinchi oktantdagi tizimning portreti (4.36) tasvirlangan shaklga ega
rasmdagi ayol. 4.20.
Shunday qilib, Lotka-Volterra tizimi (4.35) bo'lishi mumkin
vativ va u strukturaviy jihatdan barqaror emas. Oxirgi narsa
Guruch. 4.20.
Lotka-Volterra tizimining fazali portreti
242 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
tizimning o'ng tomonining eng kichik silliq bezovtalanishini anglatadi
poyasi (4.35) da sifat o?zgarishiga olib kelishi mumkin
uning bosqichi portretini o'tkazish, xususan, "markazi" atrofida
u1(1, 1) nuqtasini o'z ichiga olgan "fokus" ga aylanishi mumkin. Shunday qilib
tizim aks ettiradimi yoki yo'qmi, tabiiy savol
(4.35) aholi o'zgarishining real mexanizmi
lar. Bu erda quyidagilarni ta'kidlash mumkin. Birinchidan, tadqiqot
Lotka-Volterra modelining rivojlanishi nafaqat olish imkonini berdi
muhim nazariy ta'sirlar, balki ahamiyatsiz bo'lmagan fazilatlar
ko'plab kuzatishlar bilan tasdiqlangan xulosalar
Deniya. Ikkinchidan, Lotka-Volterra modeli xizmat qildi
uning ko'plab modifikatsiyalarini ishlab chiqish uchun to'g'ri nuqta
tions (masalan, [10] ga qarang), shu jumladan tuzilishga olib keladiganlar
tur-barqaror tizimlar.4.8.2. Van der Pol, Rayleigh va Lienard modellari
Gollandiyalik muhandis B. Van der Pol taklif qilgan [14, 15].
elektrda sodir bo'ladigan tebranishlarni tasvirlash uchun ishlatiladi
trikli zanjirlar, ikkinchisining differensial tenglamasi
qator
x + µ(x2 ? 1)x + x = 0 , (4.37)
keyinchalik uning nomi bilan atalgan; bu tenglamada m
manfiy bo'lmagan parametr. Amaliy ahamiyati bilan bir qatorda
Stew, Van der Pol tenglamasi va uning turli modifikatsiyalari
usullarini aks ettiruvchi asosiy misollardan biriga aylandi
dinamik tizimlar nazariyasi.
(4.37) tenglama chiziqli emas; uning yechimini toping
aniq, ya'ni yakuniy formula ko'rinishida emas
mumkin bo'ladi (arzimas holatdan tashqari).
m = 0). µ = 0 uchun u chiziqli, tenglama
garmonik tebranishlar (30-betdagi (1.39) tenglamaga qarang),
kuchlar yo'qligida mayatnikning kichik tebranishlarini tavsiflash
ishqalanish. m > 0 uchun (4.37) tenglama chiziqli bo'lmagan
muddatli F
chiziqli bo'lmagan ishqalanish.
= µ(x2 ? 1)x , deb hisoblash mumkin
E'tibor bering, ishqalanish kuchi F harakatga qarshi yo'naltiriladi
|x| uchun > 1 va |x| uchun < 1 - bu kuch yo'naltiriladi
harakat, ya'ni, aslida, biz qachon aytishimiz mumkin
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 243
|x| < 1 qo'shimcha energiya tizimga kiradi. Shunday qilib
yo'l, katta |x| F kuchi dampingga hissa qo'shadi -
(4.37) tenglamadagi tebranishlar va kichik |x| uchun - kattalashtirish; ko'paytirish-
tebranishlar. Buni tenglamada kutish tabiiy
(4.37) ba'zilari bilan tebranish rejimini o'rnatish kerak
"o'rta" diapazon.
Bu to'g'ri, quyida tasvirlangan
tenglamaning bir xil fazali portreti (4.37). X1 = x va x2 = x ni o'rnatamiz va tizimga o'tamiz
x 1 = x2 x 2 = µ(1 - x21)x2 - x1 , ( (4.38)
yoki taxmin qilish
z = x1 x2
, f(z,e) =
x2 mk(1 ? x21)x2 ? x1 ,
- tizimga
dz
dt = f(z,µ), z ? R2 . (4,39)
f(z,µ)=0 tenglamani yechib, biz yagona ekanligini topamiz
sistemaning muvozanat nuqtasi (4.39) boshlang'ichdir
th(0, 0). Bundan tashqari, tizimning o'ng tomonining Yakobiy matritsasi (4.39)
kabi ko'rinadi:
fz(z,µ) =
0 1
?2µx1x2 ? 1µ(1 ? x21) .
Ushbu matritsaga muvozanat nuqtasining koordinatalarini qo'yish
th (0, 0) biz quyidagilarni olamiz:
A(µ) = fz(th, µ) = -
0 1
1µ.
A(µ) matritsasining xos qiymatlarini oddiy tahlil qilish
m = 0 uchun muvozanat nuqtasi th(0, 0) ekanligini ko'rsatadi
giperbolik bo'lmagan, "markaz" turiga ega va m > 0 uchun
244 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
giperbolik va 0 <µ< 2 uchun th(0, 0) nuqtaga ega
"Beqaror fokus" turi yo'q va µ 2 uchun - "barqaror
tugun".
Biz tizimning fazaviy portretini qisqartirish bilan cheklanamiz
(4.39) 0 <µ< 2 uchun (4.21-rasmda vaziyat ko'rsatilgan
m = 0, 4). Bunday holda (4.39) tizim o'ziga xos xususiyatga ega
orbital barqaror chegara aylanishi; boshqa so'z bilan,
0 <µ< 2 uchun (4.39) tizimda o'z-o'zidan tebranish
yechim. m > 0 bo'lganda, bu chegara aylanishi yaqinlashadi
radiusli doira 2.
Shunday qilib, m > 0 uchun van der Pol tenglamasi (4.37).
tizimli barqaror tizimdir. Chunki
A(0) matritsada bir juft sof xayoliy xos qiymatlar mavjud
±i, u holda m = 0 qiymati Andro bifurkatsiya nuqtasidir.
nova-Hopf tizimi (4.39). Bu bifurkatsiya
"portlash": teng nuqta yaqinidagi kichik amplitudali davrlar
novices th(0, 0) faqat µ = 0 uchun paydo bo'ladi. Ya'ni, uchun
m = 0 sistema (4.39) atrofidagi davrlarning uzluksizligiga ega
th(0, 0) nuqtasi va m ning ortishi bilan va bu barcha x tsikllardan,
radiusi 2 bo'lgan doiraga yaqin bo'lgan faqat bittasi bor.
Ushbu bifurkatsiya bilan bog'liq holda biz quyidagi imkoniyatni qayd etamiz.
Van der Pol tenglamasini o'zgartirish:
x + (x2 - µ)x + x = 0 . (4,40)
Bu tenglama uchun m = 0 qiymati ham aniq
ba'zi Andronov-Hopf bifurkatsiyasi, kichik davrlar esa
Guruch. 4.21.
Tizimning fazali portreti (4.39)
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 245
Guruch. 4.22.
Tizimning fazali portreti (4.40)
muvozanat nuqtasi th(0, 0) yaqinida amplitudalar paydo bo'ladi.
m > 0 uchun, ya'ni har bir kichik musbat m uchun
Aynan bitta orbital barqaror tsikl paydo bo'ladi, am-
amplitudasi taxminan vµ ga o'sadi
(4.22-rasmda m = 0, 2 bo'lgan vaziyat ko'rsatilgan).
Van der Pol (4.37) va (4.40) tenglamalari xususiydir
Lienard tenglamasining holatlari
x + f(x, x ) + g(x)=0 , (4.41)
f(x, x ) va g(x) ba'zi uzluksiz funksiyalardir.
Shuningdek, biz quyidagi muhim nazariy va
Amaliy jihatdan Lienard tenglamasining maxsus holatlari:
– Reyli tenglamasi
x - (a - bx 2)x + x = 0;
- Duffing tenglamasi
x + mx + x - x3 = 0 .Davriy vazifalar
Van der Pol, Lienard, Rayleigh, Daffing va
h.k. turli murakkablikdagi yechimlarning harakatini namoyish etadi
sti; bu tenglamalarni o'rganish nihoyatda tekis bo'lib chiqdi.
dinamik tizimlar nazariyasi uchun foydalidir (masalan, qarang.
246 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
[14, 19]). Bundan ham murakkab va boy qayta xatti-harakatlar
yechimlar turli xil modifikatorlar uchun davriy vazifalardir -
ushbu tenglamalarni aniqlash, masalan, tenglamalar uchun:
avtonom bo'lmagan Van der Pol tenglamasidir
x + µ(x2 - 1)x + x = f(t) ;
avtonom bo'lmagan Duffing tenglamasidir
x + µx + x - x3 = f(t) ;
- Matye tenglamasi
x + f(t)x = 0;
bu tenglamalarda f(t) uzluksiz davriy funksiyadir
tion.
Ko'rsatilgan klassik avtonom tenglamalardan farqli o'laroq
berilgan avtonom bo'lmagan tenglamalar allaqachon aniqlanishi mumkin
xaotik yechimlardir. Shu munosabat bilan shuni ta'kidlash kerak
aniq avtonom bo'lmagan van derni o'rganishda
dalalar
x + µ(x2 - 1)x + ?2x = bµ cos nt,
o'tgan asrning o'rtalarida J. Littlewood tomonidan o'tkazilgan va
M. Kartrayt (qarang [15]), birinchi marta deterministik ekanligi isbotlangan
muvozanatli tizim xaotik echimlarni aniqlay oladi.
4.8.3. Logistika modeli
Logistik modelning dinamikasini ko'rib chiqing (1.18) (qarang
18-bet):
xn+1 = (a - bxn)xn , n = 0, 1, 2, ... , (4.42)
bu yerda a, b musbat koeffitsientlar.
Biologik ma'nosiga ko'ra aholining xn soni emas
n uchun manfiy bo‘lishi mumkin. Bu qoplama -
modeldagi a va b koeffitsientlari bo'yicha ba'zi cheklovlar mavjud
(4.42). Mana foydali
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 247
Lemma 4.1. a > 0, b > 0 va 0 x0 ab bo‘lsin
. Keyin
0 xn ab olib yurish barcha n = 0, 1, 2, ... uchun bajariladi.
agar va faqat 0 < a 4 bo'lsa.
Ushbu bayonotning to'g'riligini tekshirish uchun taqdim eting
o'quvchiga qasam ichamiz.
0 < a 4 va b > 0 bo'lsin. Keyin Lemma 4.1 ga ko'ra,
logistika modelining fazaviy maydoni kabi
D = [0, a/b] segmentini ko'rib chiqing.
Quyida (4.42) o'rniga biz oddiyroqni o'rganamiz (uchun
pisi) modeli
xn+1 = lxn(1 - xn), n = 0, 1, 2, ... , (4.43)
a = b = l uchun (4.42) dan olingan.
((4.42) dan (4.43) ga o?tish mumkinligini ko?rsating
yn = baxn almashtirish asosida amalga oshiriladi.)
Quyidagi shartlar bajarilgan deb taxmin qilamiz:
0 < l 4, 0 x0 1. (4,44)
Keyin, Lemma 4.1 ga ko'ra, barcha n 0 uchun xn ? [0, 1] qo'shimchalar to'g'ri bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, 0 < l 4 uchun [0, 1] segmenti bo'ladi
sistema uchun invariant (4.43). Biz qiziqamiz
0 < l 4 uchun ushbu segmentdagi tizimning harakati.
0 < l 1 holi.
Tizimning dinamikasi (4.43) bu holda oddiy. Unda .. Bor
faqat bitta sobit nuqta x = 0, qolganlari bor
yechimlar shu nuqtaga intiladi, ya'ni xn > 0 n > sifatida
>?. Bu haqiqat mos keladigan o'rgimchak to'ri bilan tasvirlangan
diagrammasi (4.23-rasmga qarang).
Xuddi shu xulosaga bevosita erishish mumkin. Nai-
sistemaning sobit nuqtalarini aniqlaymiz (4.43), ya'ni tenglamani yechamiz.
x = f(x, l), bu yerda
f(x, l) = lx(1 - x).
248 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Guruch. 4.23.
Tizimning veb-diagrammasi (4.43):
hol 0 < l 1
Boshqacha qilib aytganda, x = lx(1 ? x) tenglamani yechamiz. Bu teng-
l = 0 uchun ikkita yechim mavjud
x?0 = 0 , x?(l)=1 ? 1l . (4,45)
Ushbu yechimlarning birinchisi ko'rib chiqilayotgan intervalga to'g'ri keladi
Har qanday l uchun 0 x 1, ikkinchisi esa faqat l 1 uchun.
Barqaror uchun x?0 nol qo'zg'almas nuqtani o'rganamiz
ovoz. Buning uchun biz quyida keltirilgan xususiyatdan foydalanamiz
2.21 teorema (91-betga qarang). Shu maqsadda hosilani topamiz:
f x(x, l) = l - 2lx. (4,46)
f x(0, ??l) = l bo'lgani uchun 0 (4.43) sistemaning x?0 = 0 asimptotik barqaror va l > uchun
> 1 beqaror.
f x(0, ??1) = 1 bo'lgani uchun tizimning sobit nuqtasi x?0 = 0 bo'ladi.
l = 1 uchun biz (4.43) giperbolik emas. Qayerda
l1 = 1 qiymati transkritik bifurkatsiya nuqtasidir
(4.5.1-bandga qarang). Ya'ni, l parametri o'tganda
qiymat l = 1 (o'sish) sobit nuqta x?0
beqaror bo'lib qoladi va uning kichik mahallasida
yangi nolga teng bo?lmagan barqaror qo?zg?almas nuqta x?(l) mavjud. Bu
x?(l) nuqtaning aynan kichik mahallada paydo bo'lishi
x?0 nol nuqtasi x?(l) > 0 ning l > 1 ekanligidan kelib chiqadi.1-holat < l 3.
Bunday holda, tizim (4.43) ikkita sobitga ega
ball (4.44), birinchisi beqaror. Tadqiq qilish
barqarorlik uchun ikkinchi sobit nuqta x?(l). dan (4,46)
bizda f x(x?(l), l)=2 ? l . Shuning uchun, sharofati bilan
2.21 (4.43) sistemaning x?(l) sobit nuqtasi asimptotikdir.
|2 - l| uchun totik barqaror < 1 va beqaror bo'ladi
|2 ? l| > 1. Boshqacha aytganda, x?(l) nuqta asimptotik bo'ladi
1 l > 3. Bu fakt tegishli veb orqali ko'rsatilgan
diagramma (4.24-rasm).
Bu 1 ikkita doimiy yechim mavjud (4.45), barcha yechimlar esa
har qanday nuqtadan boshlab x0 ? (0, 1) yechimga intiladi
x?(l).
f x(x?(3), 3) = ?1 bo?lgani uchun qo?zg?almas nuqta x?(l)
l = 3 uchun tizim (4.43) giperbolik bo'lmagan. Da
Bunday holda, l2 = 3 qiymati ikki baravar ko'payadigan bifurkatsiya nuqtasidir
davr (4.5.1-bo'limga qarang), ya'ni l parametrining o'tishi
qiymati l = 3 (o'sish yo'nalishi bo'yicha) bilan birga keladi
ikkinchi davr sikllarining x?(l) nuqtasiga yaqin joyda.
Guruch. 4.24.
Tizimning veb-diagrammasi (4.43):
hol 1 < l 3
250 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
3-holat < l 1 + v6.
l ning qiymatlari uchun bir nechta
th katta soni 3, tizimi (4.43) aslida ega
Ikkinchi davrning tsikllari, masalan, asoslangan holda tekshirilishi mumkin
va raqamli hisoblash (oddiy kalkulyatorda mumkin).
Bu hisob-kitob shuni ko'rsatadiki, xn ketma-ketlikda men boshlayman
x0 ? (0, 1), x0 = x?(l), ba'zi n nuqtadan boshlab
ikkita c1 va c2 raqamlari almashinadi. Ya'ni, tuman
toq sonli x2n+1 soni c1 ga intiladi va
juft sonli x2n pastki ketma-ketligi moyil
c2. c1 va c2 raqamlari tenglik bilan bog'langan
c1 = f(c2, l), c2 = f(c1, l), (4.47)
ya'ni ular ikkinchi davr tsiklini tashkil qiladi. Bu faktni ham ko'rsatib turibdi
mos keladigan o'rgimchak diagrammasi (4.25-rasm).
Tizimning ikki davr davri uchun formulalar topilsin (4.43).
Ular tenglamaning mos yechimlari sifatida aniqlanadi
x = f(2)(x, l), bu yerda
f(2)(x, l) = f(f(x, l), l) = l2x(1 - x)[1 - lx(1 - x)] .
Boshqacha qilib aytganda, siz to'rtinchisining tenglamasini hal qilishingiz kerak
daraja
l2x(1 - x)[1 - lx(1 - x)] - x = 0 . (4,48)
Guruch. 4.25.
Tizimning veb-diagrammasi (4.43):
hol 3 < l 1 + v6
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 251
Uning ikkita yechimi aniq: ular sobit nuqtalardir (4.45).
Shuning uchun, boshqa echimlarni topish uchun, chap tomoni bo'lishi mumkin
(4.48) tenglamalar ketma-ket x va x - - 1 - 1l ga bo'linadi. Natijada kvadrat tenglamani olamiz
l2x2 ? l(l + 1)x + l +1=0 ,
qaysi ?1 bitta yechim x = 23
, va l > 3 uchun ikkita yechim
c1,2 = l + 1 ± vl2 - 2l - 3 2l. (4,49)
Aynan shu raqamlar tizimning ikkinchi davri tsiklini tashkil qiladi
(4.43): tenglik (4.47) ular uchun amal qiladi. Eslab qoling
l = 3 uchun raqamlar (4.49) sobit nuqtaga to'g'ri keladi
x?(l), ya'ni sikl (4.49) kichik mahallada paydo bo'ladi.
qo'zg'almas nuqtaning umumiy barqarorlik xususiyati x?(l).
Tizimning c1, c2 tsiklining barqarorligini tahlil qilish uchun (4.43),
2.23 teoremada berilgan testdan foydalanamiz. Bu bilan
maqsad raqamni topishdir
a0 = f x(c1, l)f x(c2, l).
(4.46) dan bizda mavjud
f x(c1, l) = -1 - " l2 - 2l - 3, f x(c2, l) = -1 + " l2 - 2l - 3.
Shunday qilib
a0 = -l2 + 2l + 4 .
2.23 teorema (92-betga qarang) tufayli tizimning c1, c2 sikli (4.43)
asimptotik barqaror, agar |a0| < 1; u qiladi
beqaror, agar |a0| > 1. Shuning uchun, ichida
c1 tsikli berilgan bo'lsa, c2 asimptotik barqaror bo'ladi, agar
3 va l>l3 bo'lsa, beqaror bo'ladi.
252 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
l = l3 uchun a0 = ?1 bo‘lgani uchun (4.43) sistemaning c1, c2 sikli.
l = l3 uchun giperbolik bo'lmagan. Shu bilan birga, qiymat
l3 - davrning ikki baravar ko'payishining bifurkatsiya nuqtasi va
ammo, l parametrining l3 qiymati orqali o'tishi (o'sish yo'nalishi bo'yicha
cheniya) tsiklning qo'shnisida paydo bo'lishi bilan birga keladi
to'rtinchi davrning c1, c2 sikllari.1-holat + v6 < l4.
Yuqoridagi tahlil nuqtalar mavjudligini ko'rsatdi
Tizimning bifurkatsiyalari (4.43):
l1 = 1 , l2 = 3 , l3 =1+ v6 ? 3, 449489 ,..., (4.50)
o'tish paytida tizimning xatti-harakati (4.43)
sezilarli darajada o'zgaradi. Parametrning yanada oshishi bilan
l (4.43) tizimning harakati yanada murakkablashadi. mumkin
(4.50) bilan bir qatorda (4.43) sistemaning boshqasi borligini ko'rsating
ba'zi bifurkatsiya nuqtalari:
l4 ? 3,544090 , l5 ? 3,564407 , l6 ? 3,568759 , (4,51)
bu. ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni hosil qiladi
ba'zi chegara qiymati
l? ? 3.569946. (4,52)
Parametr l bifurkatsiyaning keyingi nuqtasidan o'tganda
ln, sistema (4.43) yangi barqaror siklga ega
davr 2n?1. Xususan, l parametri o'tganda
yo'qotilgan barqarorlik yaqinidagi tizimning l3 qiymati (4.43).
davr 2 sikl, yangi barqaror sikl yuzaga keladi
4-davr, l parametri l4 dyuym qiymatidan o'tganda
barqarorlikni yo'qotadigan 4-davr tsiklining qo'shnisi
davrining yangi barqaror siklini yuboradi 8 uni. e.
qiymatlari l va intervallardan n (4.43) nisbatan sodda va bashorat qilinadi: bundan mustasno
ikkita sobit nuqta va cheklangan miqdordagi davrlar, qolganlari
tizimning yechimlari davrning barqaror aylanishiga intiladi
2n?1.
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 253
Guruch. 4.26.
Tizimning bifurkatsiya diagrammasi (4.43)
l l? uchun (4.43) sistemaning xatti-harakati haddan tashqari bo'ladi
qiyin: deterministik tartibsizlik mavjud. Tizim bor
ikkita sobit nuqta, sanab o'tiladigan davr davrlari to'plami
2, 4,..., va ularning barchasi beqaror. Boshqa yechimlar
o'zini juda tartibsiz tuting, bu erda echimlar mumkin
meniki har xil murakkablikda: yechimlar uzoq bo'lishi mumkin
ko'tarilish yoki tushish vaqti, keyin esa "to'satdan" kiradi
hech qanday muntazamlik kuzatilmaydigan rejim;
yechim uzoq vaqt davomida "deyarli" o'zini tutishi mumkin
davriy rejim sifatida, keyin bu rejimdan uzilib; nako-
yo'q, hech qachon kuzatilmaydigan echimlar mumkin
muntazamlik yo'q.
Tizimning bifurkatsiya diagrammasi (4.43) da ko'rsatilgan
guruch. 4.26, bu haqiqatni ko'rsatadi uzunliklari
creepiness ln Ushbu bifurkatsiya diagrammasi birinchi marta qurilgan
70-yillar. o'tgan asrda amerikalik olim M. Fey-
genbaum18. U, xususan, ko'rsatilgan maxrajni hisoblab chiqdi
geometrik progressiya, ya'ni, keyingi ekanligini ko'rsatdi
bifurkatsiya nuqtalari soni ln ma'lumga intiladi
bilan geometrik progressiya sifatida l? soniga tenglik (4.52).
18 Mitchell Jey Feygenbaum (1944 yilda tug'ilgan) —
Fizika-matematika fanlari sohasidagi amerikalik mutaxassis. Biri
betartiblik nazariyasining kashshoflari ikki baravar ko'payish kaskadi orqali xaosga yo'l ochdilar.
davri. Uning nomi bilan atalgan universal konstantani kashf etdi.
254 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
qiymati bilan tavsiflangan tezlik
limn>?
n ? n?1 n+1 ? n = d = 4, 6692016... (4.53)
d soni universal Feygen doimiysi deb atala boshlandi.
baum.
M. Feygenning eng ajoyib kashfiyotlaridan biri-
Baum bunday hayratlanarli haqiqatni kashf etdi
nisbatan murakkab xulq-atvor qonuniyatlari
logistika bo'lgan dinamik tizimni to'xtatish
model, umumiy xarakterga ega va keng sinfga xosdir
diskret va uzluksiz dinamik tizimlar.
Xususan, universal doimiy (4.53) universaldir
betonga bog'liq emasligi ma'nosida versal
tizimning th turi. Tegishli nazariya deyiladi
universallik nazariyasi [13, 17].4.8.4. Henon modeli
Nochiziqli dinamikada eng mashhur hodisalardan biri bu
Tenglama bilan tasvirlangan Henon modeli
xn+1 = 1 ? ax2n + bxn?1 , n = 1, 2, ... , (4.54)
bu yerda a va b ba'zi sonli parametrlar; odatda
a > 0 va |b| deb faraz qilinadi 1. Model Henon iblislari-
dinamikning murakkab xatti-harakatlarining turli stsenariylarini tabaqalashtiradi
diskret vaqtli tizimlar.
E'tibor bering, o'zgarish zn = xn + c, bu erda c musbat
kvadrat tenglamaning ildizi ac2 + (b ? 1)c ? 1=0, t ni kamaytiring
(4.54) shaklga xaritalash
zn+1 = ?azn(zn ? 2c) + bzn?1 , n = 1, 2, ... . (4,55)
Tegishli hisob-kitoblarni tuzing va tushuntiring
nima uchun c soni ning musbat ildizi bo'lishi kerak
berilgan kvadrat tenglama.
b = 0 uchun xaritalash (4.55) logistikaga to'g'ri keladi
model (4.43). Shuning uchun, birlamchi |b| Henon modelida
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 255
shunga o'xshash bifurkatsiyalar kaskadlarini kutishimiz mumkin
logistika modelida kuzatiladi.
Xaritada (4.55) Henot modeli ham aytiladi
populyatsiya dinamikasi modeli sifatida qaralishi mumkin, yilda
aholining zn+1 soni songa bog'liq
oldingi ikki avlodning zn va zn?1.
Qo'shimcha o'zgaruvchining kiritilishiga ham e'tibor bering
yn = bxn?1 xaritalashni (4.54) ikki o'lchovli xaritaga qisqartiradi
ko'rinish
xn+1 = 1 - ax2n + yn , yn+1 = bxn . (4,56)
Ilovalarda Henon modeli ko'pincha aniq ko'rib chiqiladi
ikki o'lchovli xaritalash shaklida (4.56).
Tizim (4.56) un+1 = f(un) shaklida ifodalanishi mumkin,
qayerda
u = xy , f(u) = 1 - ax2 + y
bx.
f(u) vektor funksiyasining Yakobi matritsasi topilsin: f (u) = -2b
bolta 10. (4,57)
Det f (u) = -b bo'lgani uchun (4.56) sistema agar bo'lsa dissipativdir
|b| < 1 antidissipative, agar |b| > 1, va agar konservativ hisoblanadi
|b| = 1.
Balans nuqtalari
(4.56) sistemaning muvozanat nuqtalarini aniqlash uchun u quyidagicha
tenglamalar tizimini yeching

x = 1 ? ax2 + y ,

y=bx,
ax2+(1?b)x?1 = kvadrat tenglamaga olib keladi
= 0. a > 0 bo'lgani uchun (4.56) tizim ikkita sobitqa ega
u1(x1, y1) va u2(x2, y2) nuqtalari, bu yerda
x1,2 = (b - 1) ± vD 2a
, y1,2 = bx1,2;
bu yerda D = (1 - b)2 + 4a > 0.
256 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Mahalliy bifurkatsiyalar
Mahalladagi mahalliy bifurkatsiyalarni tahlil qilish
(4.56) sistemaning u1 va u2 muvozanat nuqtalari bo'lishi kerak
a va b parametrlarining qaysi qiymatlari uchun bu nuqtani aniqlang
ki giperbolik emas. Boshqacha aytganda, kerak
mos keladigan Yakobi matritsalari qachon bo'lishini aniqlang
xususiy qiymatlar moduli 1.
Aniqlik uchun u1 nuqtasini ko'rib chiqing va uni almashtiring
Yakobiy matritsasiga koordinatalar (4.57); natijada olamiz
matritsa
A1 = 1 - b b - vD 10.
Ushbu matritsaning o'ziga xos qiymatlari echimlardir
kvadrat tenglama
l2 + (b - 1 + vD)l - b = 0 .
Bu a va b parametrlarining qaysi qiymatlari uchun ekanligini aniqlash uchun qoladi
tenglamaning ildizlari bor, ulardan kamida bittasi 1 dyuymga teng
modul, so'ngra mumkin bo'lgan tadqiqotni o'tkazing
bifurkatsiya stsenariylari.
Xususan, parametrlarning barcha qiymatlarini ko'rish oson
to‘plamga tegishli a va b ariq
K = {(a, b): 0 < a 3 , b = ?1} ,
bifurkatsiondir, chunki ular uchun Yakobi matritsasi
A1 juft xos qiymatlarga ega
l1,2 = eiu = cos? ± isinu,
bu yerda s burchak (1?cos?)2 = 1+a tengligidan aniqlanadi. Bilish -
Burchakning qiymati s mahallada bifurkatsiya stsenariysini aniqlaydi
u1 nuqtalari (222-betdagi 4.5.1-bo'limga qarang). Masalan, s = p uchun u mavjud
davrning ikki baravar ko'payishi stsenariysini joylashtiring. Boshqa so'zlar
siz, a = 3, b = -1 qiymati bifurkatsiya nuqtasidir
tizim davrini ikki barobarga oshirish (4.56): a va b qiymatlari uchun ga yaqin
mahallada mos ravishda a = 3 va b = -1 raqamlariga
u1 muvozanat nuqtalari 2-davr sikllarini boshdan kechirishi mumkin.
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 257
Ba'zi qiymatlar uchun Henon modeliga e'tibor bering
a, b parametrlari murakkab xaotik xatti-harakatni ko'rsatadi
yo'q. Ushbu model diskretning asosiy misollaridan biriga aylandi
belgilangan xatti-harakatlarga ega chiziqli bo'lmagan tizimlar. Tadqiqot -
Henon modeli bir qator maqolalarda qayta ko'rib chiqilgan (masalan, Refs.
[11, 20]).4.8.5. Lorentz modeli
Xaos nazariyasining kashshoflaridan biri allaqachon aytib o'tilgan edi
yuqorida (227-betga qarang) matematik va meteorolog Edvard Lorenz,
betartiblikka qiziqish tasodifan paydo bo'lgan. 1961 yilda u
siz qonunlar asosida ob-havoni bashorat qilish ustida ishlagan
harorat, bosim, tezlik o'rtasidagi aks ettiruvchi munosabatlar
shamol o'sishi va boshqalar. e) Lo-ning tegishli tizimi
Ijara to'lovlari raqamli ravishda hal qilinadi, oddiy raqamli hisob-kitoblarni amalga oshiradi
kompyuteringiz. Bir kuni u avvalgisini davom ettirishga qaror qildi
oldingi dastlabki ma'lumotlarni kiritish orqali raqamli tajriba
kelajakdagi tajriba. Vaqtni tejash uchun u aylana boshladi
kasrdan keyin 6 dan 3 gacha bo'lgan dastlabki ma'lumotlar (masalan,
0,506127 qiymati 0,506 ga yaxlitlandi). Bu ahamiyatsiz -
Bu farq unchalik muhim bo'lmasligi kerak. Lekin,
ajablanib, mashina ob-havoni bashorat qila boshladi
vat, avval hisoblangan ob-havodan butunlay boshqacha edi.
Boshqacha qilib aytganda, Lorentz eng kichik o'zgarishlarni aniqladi
dastlabki ma'lumotlardagi o'zgarishlar katta o'zgarishlarga olib keladi
natija. Lorensning kashfiyoti shuni ko'rsatdiki, zamonaviy meni -
nazariya qabul qilinadigan aniqlik bilan bashorat qila olmaydi
yil bir haftadan ko'proq.
1963 yilda Lorentz issiqlikning soddalashtirilgan modelini taklif qildi
Atmosfera fanida qo'llanilgan konvektsiyaning hayqirig'i,
uni differensial tenglamalar sistemasiga keltirish
x = -sx + sy ,
y = ?xz + lx ? y ,
z = xy - bz.
???
(4,58)
Bu tenglamalar qizdirilgan qisqarishdagi harakatlarni tasvirlaydi
suyuqlik yoki gaz qatlami. Bu erda s, b va l ijobiydir
ny parametrlari; s - Prandtl soni, b aks ettiradi
258 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
mintaqaning geometriyasi, l - Rayleigh soni. Tizim (4.58) ham
eng kichik o'zgarish xususiyati bilan tavsiflanadi
dastlabki ma'lumotlar natijasida katta o'zgarishlarga olib keladi
tate.
(4.58) tenglamalar tizimi Lorents modeli deb ataladi.
Lorenz modeli chiziqli bo'lmagan modelning klassik namunasiga aylandi
xaotik xatti-harakatlarni ko'rsatadigan dinamik tizim
rad etish. Uni o'rganishga keng adabiyotlar bag'ishlangan (qarang:
masalan, [14, 15, 19] va u yerdagi bibliografiya).
Keling, Lo-ning ba'zi xususiyatlarini o'rganamiz.
ijara.
Tizimning dissipativligi
Dinamik tizim (4.58) dissipativ ekanligini ko'rsatamiz,
buning uchun biz mos keladigan belgidan foydalanamiz (3.97),
183-betda berilgan. Boshqacha aytganda, biz divergensiyani hisoblaymiz
F(x, y, z) vektor funksiyasining o'ng tomoni bilan aniqlanishi
tizim (4.58):
div F(x, y, z) = ?s ? 1 ? b .
Demak, shart bo'yicha s va b musbat bo'lganligidan
parametrlari bo‘yicha div F(x, y, z) < 0 tengsizlikni olamiz,
ya'ni (4.58) tizim dissipativdir.
Balans nuqtalari
Sistemaning muvozanat nuqtalari topilsin (4.58). Buning uchun zarur
tenglamalar tizimini yechishimiz kerak
?sx + sy = 0 , ?xz + lx ? y = 0 ,
xy - bz = 0 . ???
(4,59)
Bitta yechim aniq - bu yechim x = y = z = 0, qaysi
s, b va l parametrlarining har qanday qiymatlari uchun mavjud. Da
l 1 bizda yana ikkita yechim bor
x = y = ±" b(l - 1), z = l - 1 .
4.8. Nochiziqli dinamik tizimlar modellari 259
Shunday qilib, (4.58) tizim uchta muvozanat nuqtasiga ega
u0 = (0, 0, 0), u1,2 = (±" b(l - 1), ±" b(l - 1), l - 1), (4.60)
bundan tashqari, u0 nuqtasi parametrlarning har qanday qiymatlari uchun mavjud
s, b va l, u1 va u2 nuqtalari esa faqat l 1 uchun.bifurkatsiya nuqtalari
Muvozanat nuqtalari yaqinidagi bifurkatsiyalar (4,60)
parametrlarning ba'zi qiymatlari uchun bu nuqtalar bo'lsa mumkin
giperbolik emas. ga teng nuqtalarni tahlil qilaylik
og'irligi (4,60) giperboliklikka. Keling, u0 nuqtasidan boshlaylik. Matritsa
Bu nuqtada sistemaning Yakobi o'ng tomoni (4.58) ga teng
A = ?? ?s s 0 l ?1 0
0 0 ?b ?? .
Oddiy tahlil shuni ko'rsatadiki, xususiy qiymatlar
A matritsalari teng
µ1,2 = ?(1 + s) ± " (1 + s)2 ? 4s(1 ? l) 2 , µ3 = ?b .
Eslatib o'tamiz, muvozanat nuqtasi giperbolik bo'lmagan bo'ladi,
agar mos keladigan Yakobi matritsasi o'ziga xos bo'lsa
xayoliy o'qdagi qiymat. s, b va l parametrlari bo'lgani uchun
ijobiy bo'lsa, u0 muvozanat nuqtasi yuqori bo'lmagan bo'ladi.
bolik faqat l = 1 uchun. Bu holda Yakobi matritsasi
0, ?s ? 1 va ?b xos qiymatlariga ega.
Shunday qilib, agar s va b parametrlarini qat'iy deb hisoblasak
vannalar, keyin l1 = 1 qiymati bifurkatsiya nuqtasidir
tizimi (4.58) nol yechim u0 qo'shnisida. Qayerda
vilkalar tipidagi bifurkatsiya stsenariysi amalga oshiriladi (207-betga qarang).
Haqiqatan ham, parametr l qiymatdan o'tganda
l = 1 (o'sish yo'nalishi bo'yicha) muvozanat nuqtasi yaqinida
sistemaning u0 (4.58) bo?lsa, ikkita yangi muvozanat nuqtasi paydo bo?ladi
u1 va u2.
260 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
Endi u1 va u2 muvozanat nuqtalarini ko'rib chiqing; aniqlash uchun
bo'linish, biz faqat u1 nuqtasini tahlil qilamiz. Matritsa
(4.58) sistemaning u1 nuqtadagi Yakobi o'ng tomoni teng
B = ?? ?s 0 1 ?1 ?k
kk?b ??;
bu yerda k = " b(l ? 1). Ko‘rsatish mumkinki, s>b + 1 va l = s(s + b + 3)/(s - b - 1) uchun B matritsasining xos qiymatlari.
teng
µ1,2 = ±i 2s(s + 1)
s ? b ? 1 , µ3 = ?(s + b + 1)
(ko'rsating).
Shuning uchun, agar s va b parametrlarni o'zgarmas va deb hisoblasak
s>b + 1 tengsizlikni qanoatlantirsa, keyin qiymat
l2 = s(s + b + 3)
s ? b ? 1
tizim uchun Andronov-Hopf bifurkatsiya nuqtasidir
(4.58) u1 va u2 muvozanat nuqtalari yaqinida. Boshqa so'zlar
siz, chunki l nuqtalar qo'shnisining l2 qiymatidan o'tadi
sistemaning u1 va u2 muvozanatlari (4.58)
kichik amplitudaning nye davriy tebranishlari. Hozircha mumkin -
Aytish mumkinki, bu tebranishlar parametr qiymatlarida paydo bo'ladi
l l 2 dan kam.
Parametrlarning jismoniy jihatdan muhim qiymatlari uchun ekanligini unutmang
s = 10, b = 8/3 biz l2 = 470/19 ? 24,74 ni olamiz.
Lorenz xaotik jozibali
Endi tengsizlik yuzaga kelgan vaziyatni ko'rib chiqing
l > s(s + b + 3)
s - b - 1 .
U0, u1 va u2 muvozanat uch nuqtalari beqaror
mil. Bifurkatsiyadan kelib chiqadigan davriy tebranishlar
Vazifalar va mashqlar 261
Guruch. 4.27.
Lorentz attraksioni
Andronov-Xopf yo'qoladi. tufayli ekanligini ko'rsatish mumkin
(4.58) sistema eritmasining dissipativligi chegaralangan. Lorenz
buni raqamli topdi
s = 10 , b = 83 , l = 28
bu traektoriyalar ma'lum O ? R3 to'plamiga moyil,
Lorenz attraktori deb ataladi (4.27-rasm).
Lorentz attraktori kasr o'lchamiga, harakatga ega
attraktor ichidagi traektoriyalarga juda sezgir
dastlabki shartlarni o'rnatish. Zamonaviy dinamika nazariyasida
tizimlari, Lorentz attraktor eng ajoyib biriga aylandi
qayta tiklash paytida paydo bo'lgan xaotik attraktorga misollar.
muhim ahamiyatga ega bo'lgan aniq hisoblash muammosini hal qilish
amaliy qiymat. Ushbu misol dinamik ekanligini ko'rsatdi
murakkab xatti-harakatlarga ega bo'lgan osmon tizimlari ekzotik emas,
matematiklar tomonidan ixtiro qilingan, lekin odatiy ifodalaydi
ko'pgina evolyutsion jarayonlarni modellashtirishdagi hodisa.VAZIFALAR VA MASHQLAR
4.1-mashq. Quyidagilar uchun birinchi integrallarni toping
tizimlari:
a) x \u003d y,
y = x2 +1; b) x = x(y + 1), y = ?y(x + 1).
262 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
4.2-mashq. Avtonom bo'lmagan tizimni ko'rib chiqing
x = Ax + f(t), x ? RN ,
bu yerda A doimiy matritsa va f(t) uzluksiz
T - davriy vektor funksiyasi. U(T ) xarita bo‘lsin
Puankare bo'limi (3,85). O'zingiz uchun shartlarni aniqlang
diskret tizim bo'lgan A matritsasi
xn+1 = U(T )xn quyidagilarga ega: (a) yagona muvozanat nuqtasi;
(b) 2-davrning bitta tsikli.
4.3-mashq. Avtonom bo'lmagan tizimni ko'rib chiqing
x = Ax + ef(x, t), x ? RN , (4.61)
Bu yerda A doimiy matritsa, f(x, t) x da silliq
va t vektor funksiyada uzluksiz T -periodik, e dir
skaler parametr. Puankare xaritasi ekanligini ko'rsating
U(T,e) tizim uchun (4.61) kichik |e| uchun ichida paydo bo'ladi
shakl
U(T,e)x0 = eAT x0 + e T!0 eA(T ?s)f(eAsx0, s)ds + O(e2).
Maslahat: 174-betdagi 3.23-misolga qarang.
4.4-mashq. Strukturaviy jihatdan barqaror
interval [?2, 2] bir o‘lchovli dinamik tizimlar:
a) x = 0; b) x = 1 - x2; c) x = 1 - 2x + x2 ;
d) x \u003d x sin x; e) x \u003d 2 + x - masalan?
4.5-mashq. U tuzilmaviy jihatdan barqarormi?
x = 0 , x = 0 muvozanat nuqtasining loy qo'shniligi:
a) x +x +sin x = 0 (ishqalanishli matematik mayatnik);
b) x + (x2 - 1)x + x = 0 (van der Pol modeli);
c) x + x = x3?
4.6-mashq. Chiziqli tizimni ko'rib chiqing

x=y
y=x.

Vazifalar va mashqlar 263
Uning konservativ ekanligini ko'rsating va uning ahamiyatsizligini toping
birinchi integral. Ushbu tizim tizimlimi?
barqarormi?
4.7-mashq. Diskretning muvozanat nuqtalarini toping
dinamik sistema xk+1 = f(xk, µ) va tahlil qiling
ularga mos keladigan mahalliy bifurkatsiyalar (bifurkatsiya nuqtalari-
tions, bifurkatsiya stsenariylari), agar
a) f(x, µ)=(µ + 2)x + x3 ; b) f(x, µ) = µ - x4 ;
c) f(x, µ) = µx
v1 + x2 ; d) f(x, µ) = µ sin x;
e) f(x, µ) = µx(ex ? 2); f) f(x, µ) = µ + x - x2 .
4.8-mashq. Kompleksning muvozanat nuqtalarini toping
diskret dinamik tizim (4.34) va tahlil qiling
ularga mos keladigan mahalliy bifurkatsiyalar (bifurkatsiya nuqtalari-
bifurkatsiya stsenariylari).
4.9-mashq. Zaslavskiy modelini ko'rib chiqing, opi -
o'z-o'zidan tebranish tizimining dinamikasini birlashtiradigan, buning ustiga
ruyu impulslarning davriy ketma-ketligini ishlaydi
zarbalar (masalan, [18] ga qarang). Ushbu model dinamiklikka olib keladi
tizimi
)
pn+1 = pn + b sinun + mr + a,
rn+1 = b sinun + µr, (4.62)
bunda a, b va m musbat parametrlar, holbuki
0 < µ 1. (4.62) tizim qachon konservativ bo‘lishini aniqlang
noah yoki dissipative. Balans nuqtalarini toping. Sarflash -
tegishli mahalliy bifurkatsiyalarni tahlil qilish (punktlar
bifurkatsiyalar, bifurkatsiya stsenariylari).
4.10-mashq. Modelning diskret analogini taklif qiling
Lotki-Volterra (4,35). Olingan muvozanat nuqtalarini toping -
tizimi va ularning topologik turlarini aniqlang.
4.11-mashq. Bir o'lchamli fazali portretni chizish
dinamik tizim:
a) x = x(x ? µ), b) x = (x ? µ)(x2 ? l),
c) x = µ2x - x3, d) x = µ + x - x3,
e) x = µx - x3, f) x = µ sin x ,
264 4-bob. Nochiziqli dinamikaning elementlari
l parametrining qiymatlariga qarab. ga teng nuqtalarni toping
vazn. Tegishli mahalliy bi-
furkatsiyalar (bifurkatsiya nuqtalari, bifurkatsiya stsenariylari). Rasm-
bifurkatsiya diagrammasini buzish.
4.12-mashq. Parametrning qaysi qiymatlarida ekanligini aniqlang.
metr µ sobit nuqta x = 0 tizimning x = A(µ)x+s(x, µ)
giperbolik emas. Tegishli sahnalarni belgilang
bifurkatsiya naria. Bu erda nochiziqlilik s(x, µ) zaifni o'z ichiga oladi
x dagi ikkinchi va undan yuqori darajalarning qiymatlari va A (µ) dir
matritsa:
a) A(µ) = ?4µ 3 ?2 1 ; b) A(µ) = 3 8 ? 2µ ?1 ?µ .
4.13-mashq. "Yirtqich-mikrob" modeli ko'rib chiqiladi.
tva”, differentsial tenglamalar tizimi bilan tavsiflanadi

x = x(x ? µ)(4 ? x) ? 2xy ,

y = -2y + xy,
bu yerda m musbat parametr. Davlatni toping
manfiy bo'lmagan koordinatali tizimning muvozanati
ga teng topilgan holatlarning topologik turlarini aniqlang
m parametriga qarab yangi boshlanuvchilar. Tahlil qiling -
mahalliy bifurkatsiyalar (bifurkatsiya nuqtalari, bifurkatsiya stsenariylari)
tions) topilgan muvozanat holatlariga mos keladi.4.15-mashq. Tizimni ko'rib chiqing
x = a(y - f(x)), y = x - y + z ,
z = ? tomonidan,
???
(4,64)
Chua zanjiri deb ataladi (masalan, [31] ga qarang); bu erda f(x) =
= (x3 - x)/6, a, b - ijobiy parametrlar. Davlatni toping
tizim muvozanati va topologik turlarini aniqlash
parametrlarga qarab muvozanat holatlari topildi
a va b ariqlari. a va b parametrlarining qaysi qiymatlari uchun ekanligini aniqlang
(4.64) sistemada muvozanat holatlarining bifurkatsiyasi mumkin
(transkritik bifurkatsiya, vilkalar tipidagi bifurkatsiya yoki
egar-tugun bifurkatsiyasi) va Andronov-Hopf bifurkatsiyasi.
4.16-mashq. Yuqorida 3.15–3.18 mashqlarida
Lengford tizimi (3.100) ishlatilgan (188-betga qarang). Toping
sistemaning muvozanat nuqtalari (3.100) va mos keladiganini tahlil qiling
ularga mos keladigan mahalliy bifurkatsiyalar (bifurkatsiya nuqtalari,
bifurkatsiya stsenariylari). Tizim (3.100) qachon ekanligini aniqlang
dissipativ, antidissipativ va konservativdir
(faza hajmini saqlaydi).
4.17-mashq. Langford tizimini yana bir bor ko'rib chiqing
(3.100) (188-betga qarang). m ning qaysi qiymatlari uchun ekanligini aniqlang
(3.100) sistemaning x = ?(t, µ) sikli giperbolik bo‘lmagan
yog'sizlantirish. Mahalliy bifurkatsiyalarni tahlil qiling (bi-
furkatsiyalar, bifurkatsiya stsenariylari) bu sikl yaqinida.