Algebra va sonlar nazariyasi

Konus kesimlari
Prokl (410-485)ning fikriga qaraganda konus kesimlari haqidagi ma'lumotlar Menexm (tax. e.o. 350 y.) ga ma'lum bo'lgan. U konus kesimlaridan kubning hajmini ikki hissalash masalasini yechishda foydalangan. Undan so'ng konus kesimlari haqida Aristey (e.o. V asr) va Yevklid (e.o. III asr) maxsus asarlar yozgan, ammo ularning asarlari bizgacha saqlanib qolmagan. Shu mavzudagi saqlanib qolgan birinchi asar Appoloniyning Konus kesimlari (yunonchada Konika) dir.

Konus kesimlari sakkizta kitobdan iborat, uning to'rttasi original tili - yunonchada, keyingi uchtasi yunonchadan arab tiliga Sobit ibn Qurro (836-901) qilgan tarjimada yetib kelgan. Oxirgi sakkizinchi kitob yo'qolgan. O'sha sakkizinchi kitobning mazmunini tiklash bilan arab matematigi Ibn al-Xaysam (965-1039) shug'ullangan. XVIII asrning boshida esa E. Galiley (1812-1910) bu kitobning o'zi yozgan variantini tavsiya qilgan.

Geometriyaga birinchi bo'lib parabola (yunoncha- -tirkab qo'yish, 27 - rasm), ellips (yunoncha- - yetishmaslik, 28 - rasm)

28-rasm 29-rasm

va giperbola (yunoncha- - ortiqchalik, 29 - rasm) terminlari Appoloniyning Konus kesimlari asari orqali kirgan.

BIRINCHI KITOB. Og'ma doiraviy konus va uning ta'rifi. Appoloniyning konusni uning uchidan har ikki tomonda qaraydi. Konus kesimlari nazariyasining asosiy tushunchalari - konusning uchi, diametri, qo'shma diametri va o'qining ta'rifi beriladi.

O'sha ta'riflardan ba'zilarini keltiramiz: Men konus deb, doira va uch hamda doira aylanasi orasida joylashgan konik sirt bilan chegaralangan figurani; konusning uchi deb, uning sirtining uchi bo'lgan nuqtani; konusning o'qi deb, konusning uchidan doira markaziga o'tkazilgan to'g'ri chiziqni; asos deb, doirani atayman.

Ikkinchi tomondan, men konuslar orasida o'qlari asoslariga perpendikularlarini to'g'ri deb, asoslariga perpendikular emaslarini og'ma deb atayman.

Men tekislikda joylashgan har qanday egri chiziqning diametri deb, egri chiziqda biror berilgan to'g'ri chiziqqa parallel qilib o'tkazilgan barcha to'g'ri chiziqlarni teng ikkiga bo'ladigan to'g'ri chiziqni; chiziqni uchi deb, bu to'g'ri chiziqning egri chiziqdagi uchini ataymani va nihoyat, diametrga tartibi bilan o'tkazilgan to'g'ri chiziq deb, har bir parallelni atayman.

... Men egri chiziqning va ikki egri chiziqning qo'shma diametri deb, har biri diametr bo'lgan holda ikkinchisiga parallel to'g'ri chiziqlarni teng ikkiga bo'luvchi ikki to'g'ri chiziqni atayman. To'g'ri doiraviy konusni yasovchisiga perpendikular tekislik bilan kesilsa, parabola hosil bo'ladi. O'tkir burchakli to'g'ri konusni yasovchisiga perpendikular tekislik bilan kesilsa, ellips hosil bo'ladi. O'tmas burchakli konusni xuddi shunday kesishdan giperbola hosil bo'ladi.

Bu uchchala egri chiziqning xossalarini Appoloniy qiyshiq burchakli koordinatalardan foydalanib topadi ixtiyoriy RR' diametr va unga qo'shma QQ’ vatar koordinata o'qlari uchun qabul qilinadi (30-rasm), koordinatalar boshi R egri chiziqda yotadi.

Hozirgi belgilashlarda u quyidagicha bo'ladi

bunda minus ishora ellipsga, plus ishora giperbolaga to'g'ri keladi; parabola bo'lganda o'ng tomondagi ifodaning bitta hadi nolga teng; R esa egri chiziqning parametri. Bunda .

Appoloniy bu egri chiziqlarning xossasini geometrik algebra orqali bergan.

Birinchi kitobning anchagina qismi konus kesimlarining xossalari diametrning tanlab olinishiga bog'liq emasligiga bag'ishlangan.

IKKINCHI KITOB. Giperbolaning asimptotalari, qo'shma giperbolalar, konus kesimlariga o'tkazilgan urinmalarning xossalari haqida. Shuningdek, turli shartlarda urinmalarni yasashga doir masalalar qaralgan.

UCHINCHI KITOB. Kitobning birinchi qismi konus kesimlariga o'tkazilgan urinmalar va kesuvchilardan tuzilgan to'g'ri chiziqli figuralar yuzlarining tengligi haqidagi jumlalardan iborat. Qutb va polyaralarning garmonik xossasi haqidagi jumla har bir hol uchun alohida-alohida isbotlanadi.

Ellips va giperbolaning fokusi va fokusning xossasi haqidagi jumlalar ham mana shu kitobda. Fokus tushunchasidan so'ng normal haqida tushuncha kiritiladi, ammo kitobda direktrisa haqida ma'lumot yo'q.

TO'RTINCHI KITOB. Konus kesimlarining aylana bilan kesishish nuqtalari, o'zaro kesishish nuqtalari va ikki konus kesimining urinishi masalalari qaralgan. Ma'lumki, ularning o'zaro kesishish nuqtalari yunonlar uchun qadimgi masalalar-burchak triseksiyasi va kubning hajmini ikki hissaga orttirish uchun zarur bo'lgan.

BESHINCHI KITOB. Bu kitobda Appoloniy turli nuqtalardan konus kesimlariga o'tkazilgan normalni qaraydi. Kitobning kirish qismida Appoloniy ungacha ekstremal masofalar bilan shug'ullangan geometrlar diorizm tufayli-u yoki bu masalaning yechilishi shartini aniqlash uchun shug'ullanganini, u ham bo'lsa, unchalik to'liq emasligini aytadi. Shu kitobning oxirida egri chiziqning yaqin qismiga hamma vaqt normal o'tkazish mumkin bo'lgan nuqta (egrilik markazi)larni, bu nuqtalar o'rinlarining o'zgarishi (konus kesimlarining evolyutalari) va egri chiziqni teng yonli giperbola bilan kesish yordamida ixtiyoriy nuqtadan egri chiziqqa normal o'tkazishni qaraydi.

OLTINCHI KITOB. Ikkita o'xshash to'g'ri konusning kongruent va o'xshash kesimlari qaraladi. Shu kitobda berilgan kesimga kongruent kesim yasash masalasi, shuningdek, berilgan konusga o'xshash va berilgan kesimga ega bo'lgan kesimli to'g'ri doiraviy konus yasash masalasi qaraladi.

YETTINCHI KITOB. Bu kitobda bizgacha yetib kelmagan sakkizinchi kitobni yozishga tayyorgarlik ko'riladi. Unda qo'shma diametrlarga parallel vatarlar va qo'shma diametrlar kvadratlarining yig'indisi hamda ularga yasalgan parallelogrammlar yuzlarining o'zgarmasligi haqida teorema kiritilgan.

Konus kesimlarida Appoloniy 387 teorema va bir nechta masalalar qaragan. U qo'llagan metodlar analitik geometriya metodlaridan ustun turadi. Ammo Appoloniyda koordinatalar yo'q edi, shunga qaramasdan unda koordinata chizig'i, koordinata burchagi tushunchalari bor.

Yo'qolgan sakkizinchi kitob masalasiga kelsak, ba'zi matematika tarixchilari u oldingi yettita kitobda uchragan nazariy bilimlarni tadbiq etishga mo'ljallangan masalalar to'plamidan iborat bo'lgan, degan fikrni olg'a surishadi.

Darhaqiqat, sakkizinchi kitobni tiklashga uringan arab matematigi Ibn al-Xaysam (I asr) ham, angliyalik astronom Edmund Galle (XVIII asr) ham sakkizinchi kitobni tiklashda yuqoridagi fikrni asos qilib olgan. Eng qizig'i shundaki, ikkala olim yashagan davr orasi 700 yil bo'lishiga qaramay ular tiklagan kitoblar bir-biridan deyarli farq qilmaydi.

Appoloniyning yo'qolgan 8-kitobining Ibn al-Xaysam tomonidan tiklangan nusxasini Turkiya olimi Nozim Terzi o'g'li Istanbulda arab tilida nashr etgan.

Matematika tarixchisi A. Abdukabirov E. Galle va Ibn al-Xaysam­larning asarlarini o'rganib, bir-biri bilan taqqoslab yuqoridagi xulosaga kelgan.