Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti sonlar nazariyasi asoslaridan

3-§


36. a) 211;
b) 2543, 2549, 2551, 2557;
c) 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249.
37. Yechish.

38. Yechish. Barcha natural sonlarni 5n, 5n  1, 5n  2 ko’rinishda yozish mumkin. 5n ko’rinishdagi son tub son bo’ladi, agar n = 1 bo’lsa va bu holda p = 5, 4p² + 1 = 101, 6p² + 1 = 151. Bu p ning qiymati masala shartini qanoatlantiradi. Boshqa bunday sonlar mavjud emasligini ko’rsatamiz. Agar p = 5n1 bo’lsa, 4p² + 1 = 5(20n²  8n + 1) – murakkab son; agar p = 5n + 2 bo’lsa, 6p² + 1 = 5(30n²  24 n + 1) – murakkab son.
39. Yechish. Barcha natural sonlarni 6k, 6k  1, 6k  2, 6k  3 ko’rinishda yozish mumkin. 2 va 3 dan tashqari 6k  1 ko’rinishdagi sonlar tub bo’lishi mumkin (teskarisi hamma vaqt o’rinli emas, ya’ni har qanday 6k  1 ko’rinishdagi sonlar tub son bo’lmasligi ham mumkin). Agar p = 6k – 1 bo’lsa, u holda p + 10 = 6k – 1 + 10 = 3 (2k + 3) – murakkab son; agar p = 6k + 1 bo’lsa, u holda p + 14 = 6k + 1 + 14 = 3 (2k + 5) – murakkab son. Shunday qilib, bir vaqtda p + 10 va p + 14 sonlar tub bo’ladigan 3 dan katta p tub son mavjud emasligi ko’rsatdik.
Agar p = 2 bo’lsa, p + 10 va p + 14 – murakkab sonlar bo’ladi. Agar p = 3 bo’lsa, p + 10 va p + 14 – tub sonlar bo’ladi. Demak, bitta p = 3 son masala shartini qanoatlantiradi.
40. Yechish. Shart bo’yicha, a > 3, m = 3t + 1, n = 3t₁ + 2. 2 va 3 dan farqli tub sonlarni p = 6k  1 ko’rinishda ifodalash mumkin (39 masalaga qarang). Agar a = p = 6k + 1, u holda a + n = 6k + 1 + 3t + 2 =
= 3 (2k + t + 1) – murakkab son; agar a = p = 6k–1, to a + m = 6k – 1 + 3 t + + 1 = 3 (2k + t) murakkab son.
41. Yechish. p – n! ning tub bo’luvchisi. p  n! – 1 bo’lganligi sababli p < n! Boshqa tomondan n! p ga bo’linmaydi, bundan n < p. Shunday qilib, n < p < n! (bu isbotdan tub sonlar soni cheksiz ko’pligi kelib chiqadi).
42. Yechish. Shart bo’yicha, 2p + 1 – to’la kub, ya’ni
2 p + 1 = (2 x + 1)³ = 8 x³ + 12 x² + 6 x + 1 = 2 x (4 x² + 6 x + 3) + 1, bundan p = x (4 x² + 6x + 3). p – tub sonligidan x = 1 va p = 13, shuning uchun
2p + 1 = 27 = 3³ – yagona son.
43. Yechish. Oldin natural sonlar qatorida 5 dan boshlab uchta ketma-ket kelgan toq sonlar barchasi tub bo’laolmasligini ko’rsatamiz. Faraz qilamiz, har bir tub sonlar jufti oralarida bitta murakkab son joylashgan (egzak sonlar). Tub sonlarni bunday joylashishi yetarlicha ziya bo’ladi. Bu holda tub sonlar 6n – 1 va 6n + 1 shaklida tasvirlash mumkin va ularning nomerlari 2n – 1 va 2n bo’ladi. Haqiqatdan ham, n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, … deb
6n – 1 = 5, 11, 17, 23, 29, 35,…(bu sonlar nomerlari 2n – 1 = 1, 3, 5, 7, 9, 11,…) va 6n + 1 = 7, 13, 19, 25, 31, 37,… (bu sonlar nomerlari 2n = 2, 4, 6, 8, 10, 12,…). Bundan ko’rinyaptiki, har bir son o’zining nomeri uchlanganidan katta: 6n – 1 > 3 (2n - 1) va (6n + 1) > 3  2n.
44. Ko’rsatma. Natural sonlar qatoridagi sonlarni 30k, 30k  1, 30k  2, …, 30k  15 shaklida tasvirlaymiz. Bu sonlardan p = 30k 1; 30k  7; 30k  11, 30k  13 lar tub sonlar bo’lishi mumkin.
45. Yechish. Agar p – 1 va p + 1 sonlar orasiga 3 dan katta p son joylashtirilsa, (p - 1)p(p + 1) ko’paytma 3 ga bo’linadi. p>3 bo’lganligi sababli (p - 1)(p + 1) ko’paytma 3 ga bo’linishi kerak. Boshqa tomondan
(p - 1)(p + 1)8 ga bo’linadi, chunki agar p – 12 ga bo’linsa, p + 1 – hech bo’lmasa 4 ga bo’linishi kerak.
p² – q² = (p - 1)( p + 1) – (q - 1) (q + 1), bu yerda (p - 1) (p + 1) va
(q - 1)(q +1) lar har biri 3 ga va 8 ga bo’linadi, demak, p² – q² 24 ga bo’linadi.
46. a) Yechish. Agar p = 2 bo’lsa, u holda p + 10 – murakkab son. Agar p = 2q + 1 (q = 1,2,…,) bo’lsa, u holda p + 5 – murakkab son.
47. Yechish. p = 2k + 1 ko’rinishdagi toq son. p = mn (m > n) ko’rinishda ko’paytuvchilarga ajralsin. U holda shunday x va y sonlar topiladiki, bular uchun quyidagi sistema o’rinli:

Demak, murakkab p uchun:

Agar p tub bo’lsa, uni p = (2k + 1)1 yagonashaklda yozish mumkin. Bu holda m = 2k + 1 = p, n = 1, demak,

Shunday qilib, ko’rinishda tasvirlanish yagona bo’lsa, p – tub; agar ko’rinishda tasvirlangan bo’lsa, p – murakkab son.
48. 47-masala shartidan toq sonlarni (x + y) (x - y) ko’rinishdagi ko’paytuvchilarga ajratishning quyidagi usuli kelib chiqadi: p = x² – y² tenglikdan p + y² = x², ya’ni x ni topish uchun p ga shunday natural son kvadratini qo’yish kerakki natijada p + y² yig’indi kvadratdan (x²) iborat bo’lsin. Shu usulda y va x ni topib
p (x + y) (x - y) = m n.
a) Kvadratlar jadvalidan foydalanib 6643 soniga yaqin bo’lgan son
6724 = 82² olamiz. 6724 – 6643 = 81 = 9². Demak, 6643 = 82² –9² = (82 + 9) (82 - 9) = 91  73 = 7  13  73;
b) 1769 = 61  29; c) 3551 = 6753; d) 6497=89  73.
49. Yechish. N = a² + b² = c² + d² va a va b, c va d – sonlarning juft toqligi har xil bo’lsin. a va c, b va d – larning juft toqligi bir xil deb olamiz. (a - c) (a + c) = (d - b) (d + b) tenglikdan

kelib chiqadi. Bunda birinchi kasrni t ga va ikkinchi kasrni s ga qisqartirilgan deb olsak, ya’ni a – c = tu, d+ b = su, ak = sv, d – b= tv. U holda
bo’ladi. Natijada

50. Yechish. 972² + 235² = 1000009 = 1000² + 3² dan 1000009 son ikki usulda ikki son kvadratlari yig’indisi ko’rinishda yozilishi kelib chiqadi, demak, bu son murakkab va 293  3413 ga teng.
51. Yechish. Quyidagi yoyilmani ko’ramiz:

Bu yerda a¹² + a⁹ + a⁶ + a² + 1 ko’phad a⁴ + a³ + a² + a + 1 ko’phadga ko’phadlarni bo’lish qoidasiga asosan bo’lingan. Natijada 3¹⁰ + 3⁵ + 1 = (3² + 3 + 1)(3⁸ – 3⁷ + 3⁵ – 3⁴ + 3³ – 3 + 1) = 13  4561.
52. Yechish. Agar k – toq bo’lsa, 1 + 2^k son 1 + 2 = 3 ga karrali. Agar k – juft bo’lsa, u k = 2ⁿ ga yoki k = 2ⁿm (m  1 va toq son), yoki k = 0. Lekin ga karrali (agar k = 0 bo’lsa, 2 ga karrali). Demak, barcha k = 2ⁿ dan farqli k lar uchun son murakkab son bo’ladi.
53. Yechish. (, ) = 1, (, ) = 2ⁿ shartlarni qanoatlantiruvchi barcha  va  lar uchun a^ + b^ murakkab son ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham. (, ) = 1 – bo’lib, toq bo’lsa, u holda  = dm,  = dk, (m, k) = 1 va a^ + b^ = (a^m)^d + (b^k)^d a^m + b^k ga karrali. Agar (, ) = 2ⁿd juft son bo’lib, d > 1 – toq bo’lsa, u holda  = 2ⁿ d m,  = 2ⁿ d k bundan
son ga karrali.
Demak, (, ) = 1 va (, ) = 2ⁿ shartlarni qanoatlantiruvchi  va  lardan tashqari barcha hollarda a^ +b^ son murakkab bo’ladi. Teskari tasdiq noto’g’ri, masalan 2⁴ + 3² = 25 – murakkab son.
54. Yechish. n – murakkab son bo’lsin, n = ab (a > 1, b > 1), u holda 2ⁿ – 1 = 2^ab – 1 = (2^a)^b – 1 – murakkab son. Teskari tasdiq noto’g’ri: 2^p – 1 hamma vaqt tub emas, masalan 2¹¹ – 1 = 23  89; 2²³ – 1 = 47  178421.