Amaliy matematika fakulteti

3. Matrisalarni ko`paytirish. Tartiblari mos ravishda 𝑚 × 𝑛 va 𝑝 × 𝑞 bo`lgan

to`g`ri burchakli matrisalar berilgan bo`lsin. Agar A matrisaning ustunlari soni n berilgan B matrisaning satrlari soni p ga teng bo`lsa, u holda bu matrisalarni ko`paytirish amali ma’noga ega bo`ladi.
4- ta’rif. Berilgan tartibda (A - birinchi, B - ikkinchi) olingan A va B matrisalarning ko`paytmasi AB deb, shunday 𝑚 × 𝑛 tartibli

matrisaga aytiladiki, C matrisaning elementlari


formulalar bilan aniqlanadi.
Agar A va B lar n-tartibli kvadrat matrisalar bo`lsa, ularning C = AB ko`paytmasi ham n-tartibli kvadrat matrisa bo`ladi.
Ta’rifdan matrisalarni ko`paytirish uchun quyidagi qoida kelib chiqadi: ikkita matrisani ko`paytirishdan hosil bo`lgan matrisaning i-catru va j-ustunida turuvchi 𝑐_𝑖𝑗 elementni hisoblash uchun birinchi matrisaning i- satrida turuvchi elementlarni ikkinchi matrisaning j-ustunida turuvchi elementlarga mos ravishda ko`paytirib qo`ushshi kerak [(9) formulaga qarang!].
To`g`ri burchakli matrisalarning xususiy holi bo`lgan kvadrat matrisalarni ularning tartiblari bir xil bo`lgandagina ko`paytirish mumkin. Masalan, quyidagi

to`g`ri burchakli matrisalar ko`paytmasini topamiz:

𝐶 𝐴𝐵
Matrisalarning ko`paytmasi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   A (BC) = (AB)C;
   
2. 
   ;
   
3. 
   (A + B) C = AC + BC;
   
4. 
   C (A + B) = C A + CB.
   

Bu yerda A, B, C - matrisalar, 𝛼 - haqiqiy son.
Ikki matrisaning ko`paytmasi uchun kommutativlik (o`rin almashtirish) xossasi umuman aytganda o`rinli emas, ya’ni ushbu AB = BA tenglik doim o`rinli bo`lavermaydi. Ammo matrisalardan biri E birlik matrisa bo`lganda doim AE = EA tenglik o`rinli.
Misollar. Agar
bo`lsa, u holda

matrisalar berilgan bo`lsa, ravshanki,

𝐴𝐵
Lekin BA ma’noga ega emas, ya’ni bunday ko`paytma (ya’ni BA) ta’rif bo`yicha aniqlanmagan.
Agar A va B matrisalar AB = BA shartni qanoatlantirsa, u holda A va B matrisalarni kommutativ matrisalar deyiladi. Yuqorida eslatganimizdek, birlik matrisa o`zi bilan bir xil tartibga ega bo`lgan kvadrat matrisa bilan kommutativdir, ya’ni AE=EA=A.
Agar A va B bir xil tartibli bo`lsa, u holda quyidagi teorema o`rinlidir.
1.1- teorema. Ikkita matrisa ko`paytmasining determinanti bu matrisalar determinantlarining ko`paytmasiga teng, ya’ni det(𝐴𝐵) = det(𝐵𝐴) = 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐵.
I
sbot. Teoremani ikkinchi tartibli matrisalar uchun isbotlaymiz. Aytaylik, ushbu
matrisalar berilgan bo`lsin. Bu holda, ravshanki,


Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
∆₁= 𝑑𝑒𝑡𝐴, ∆₂= 𝑑𝑒𝑡𝐵, ∆= det(𝐴𝐵).
Determinantning xossalarini e’tiborga olib, ∆ ni quyidagicha yozamiz:

Bu yig`indida birinchi hamda oxirgi qo`shiluvchilar nolga teng (chunki ustun va satr elementlari o`zaro teng). Shuning uchun
∆= 𝑏11𝑏22∆1 − 𝑏12𝑏21∆1= ∆1(𝑏11𝑏22 − 𝑏12𝑏21) = ∆1∆2.
Ma’lumki, determinantlarning ko`paytmasi kommutativlik xossasiga bo`ysunadi:
𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐵 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐴.
Demak,
det(𝐴𝐵) = det(𝐵𝐴) = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵.
Shunday qilib, teorema ikkinchi tartibli matrisalar uchun isbotlandi. n-tartibli matrisa uchun ham teorema shunga o`xshash isbotlanadi.