Banah algebralari

Misollar. 1. C kompleks sonlar maydoni Banax algebrasiga eng sodda misoldir, bunda

2. fazoda algebraik amallarni koordinatalar bo'yicha, normani esa
ko'rinishda olsak, ravshanki, Banax algebrasidir bunda birlik .
3. kompakt Xausdorf topologik fazosida aniqlangan uzluksiz funksiyalar to'plami da algebraik amallarni odatdagidek kiritib, normani esa ushbu ko'rinishda olamiz. Banax algebrasi ekanligini ko'rsatish oson. Bu algebrada birlik element aynan birga teng funksiyadir.
4. algebra. Bu algebraning elementlari absolyut jamlanuvchi ikki tomonga cheksiz ketma-ketliklar bo'lib, norma quyidagichadir:
Elementlarning yig'indisi va songa ko'paytirish amallari har bir koordinata bo'yicha aniqlanadi, va elementlarning ko'paytmasining koordinatalari esa quyidagicha aniqlanadi: . Agar algebraning har bir elementiga ushbu trigonometrik qatorni mos qo'ysak, u holda (3) tenglik bilan aniqlangan ketma-ketlik va funksiyalarning ko'paytmasiga mos keladi. Absolyut yaqinlashuvchi (4) Fure qatoriga yoyiluvchi funksiyalar algebrasini bilan belgilab, bu algebrada normani (2) formula yordamida kiritamiz. Bunda va Banax algebralari ekanligi osonlikcha tekshiriladi. Masalan, 4) aksiomani tekshiramiz:

Kiritilgan va Banax algebralari o'zaro izometrik izomorf algebralardir. algebrada birlik element bu aynan birga teng e funksiyadir. Demak, algebrada birlik element. Keltirilgan 1-4 misollardagi algebralar kommutativ algebralarga misollardir. Endi kommutativ bo'lmagan Banax algebrasiga misol keltiramiz.
5. Biror E Banax fazosida chegaralangan operatorlarning L(E) fazosini olamiz. -da ko'rsatilganidek, bu fazoda ko'paytirish amalini kiritish mumkin. Norma ushbu
tenglik bilan aniqlangan edi. Bu norma 4), 5) aksiomalarni qanoatlantirishi va ning bu normaga nisbatan to "la ekanligi da ko'rsatilgan.