Berri-Esseen teoremasi va isboti

Teorema 4. F nol o‘rta qiymat, birlik dispersiya va uchinchi momentga
ega bog‘liqsiz bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlarning h>0
qadam ega panjarasimon taqsimot funksiyasi bo‘lsin, u holda ixtiyoriy sonda

Bu yerda va Berri-Esseen tengsizligidagi o‘zgarmaslar, esa

Shu kabi da tengsizlik ham o‘rinli, u holda teorema 3
ning birinchi bahosidan quyidagi teorema kelib chiqadi

Teorema 4 ni tahlil qilish natijasida biz quyidagi teoremaga ega bo‘lamiz.
Teorema 5. F taqsimot funksiya nol o‘rta qiymat, birlik dispersiya va uchinchi momentga ega bog‘liqsiz bir xil taqsimlangan tasodifiy
miqdorlarning panjarasimon taqsimoti bo‘lsa, u holda ixtiyoriy son va , ixtiyoriy son uchun

Bu yerda va Berri-Esseen tengsizligidagi o‘zgarmaslar, esa

Agar sanab o‘tilgan shartlarda to‘rtinchi moment chekliligi talab etilsa,
va miqdorlar oldidagi ko‘paytuvchi yetarlicha katta n larda 1 ga yaqin olinishi mumkin, miqdor sifatida esa yetarlicha katta o‘zgarmasni olishimiz mumkin. Yanada aniqroq aytsak, miqdorni n bilan bog‘lashimiz mumkin, ya’ni da va bunda da teorema bahosining ikkinchi va uchinchi qo‘shiluvchilari miqdorni tashkil etardi. Bundan o‘sganda miqdor qanday o‘sishini bilishimiz kerak.
Berilgan tasodifiy miqdorlar taqsimoti uchun Kramer sharti bajarilgan holda
quyidagi tengsizlik o‘rinli

Va bu yerda ni qo‘yishimiz mumkin. Shunday qilib, navbatdagi
tasdiqqa kelamiz.
Teorema 6. Agar F taqsimot funksiya nol o‘rta qiymat, birlik dispersiya va uchinchi momentga ega bog‘liqsiz bir xil taqsimlangan tasodifiy
miqdorlarning taqsimoti bo‘lib, Kramer shartini qanoatlantirsa, u holda ixtiyoriy son uchun

Bu yerda va Berri-Esseen tengsizligidagi o‘zgarmaslar, esa

Agar sanab o‘tilgan shartlarda to‘rtinchi moment chekliligi talab etilsa,

Bu yerda - standart normal qonunning uchinchi absolyut momenti ga bo‘lingan.
Teorema 5 dan bo‘lgan F panjarasimon bo‘lmagan taqsimotlar uchun da bo‘lishi kelib chiqadi, mos ravishda bo‘lgan
holda Teorema5 Kramer shartini qanoatlantiruvchi taqsimotlar uchun oxirgi
qiymatlarning oshkor miqdoriy bahosini beradi.