Chiziqning buralishI

ChIZIQNING BURALIShI.

REJA.

1. 
   Chiziqning buralishi h’aqida tushuncha.
   
2. 
   Chiziqning buralishi uchun formula.
   
3. 
   Ixtiyoriy parametrli tenglamalar bo’yicha buralishni h’isoblash.
   

 egri chiziq va unda yotuvchi R nuqta berilgan bo’lsin. Egri chiziqda R nuqtaga yaqin Q nuqtani olamiz. R va Q nuqtalarda yopishma tekisliklar o’tkazamiz. Yopishma tekisliklar orasidagi burchakni  bilan va RQ yoy uzunligini |s| bilan belgilaymiz.

Taorif. Egri chiziq bo’ylab QR da /|s| nisbat intilgan limit egri chiziqning R nuqtasidagi absolyut buralish deyiladi va || ko’rinishda belgilanadi.
TEOREMA. Regulyar (uch marta uzluksiz differentsiallanuvchi) egri chiziq o’zining egriligi 0 dan farqli bo’lgan h’ar bir nuqtasida aniq absolyut buralishga ega. Agar r=r(s) egri chiziqning tabiiy parametrlangan tenglamasi bo’lsa absolyut buralish
||=|r'r"r"'|/k²
formula bilan h’isoblanadi.
ISBOT. Agar egri chiziqning R nuqtasida egriligi 0 dan farqli bo’lsa, uning uzluksiz ekanligidan unga yaqin nuqtalarda h’am egrilikning 0 dan farqli ekani kelib chiqadi. Egrilik 0 dan farqli bo’lgan nuqtalarning h’ar birida r'(s) va r"(s) vektorlar 0 dan farqli va o’zaro // emas. Shuning uchun R ga yaqin bo’lgan nuqtalarning h’ar birida yopishma tekislik mavjuddir.
(s) va (s+s) vektorlar R va Q nuqtalardagi binormallarning birlik vektorlaridan iborat bo’lib, ular orasidagi burchak  ga teng. Shuning uchun yuqorida ko’rib o’tganimizdek
|(s+s)-(s)|=2sin(/2)
bo’ladi.
Bundan

Oxirgi tenglikda |s|0 da limitga o’tib,
||=|'| (1)
ni topamiz. ' vektor  va  vektorlarga  dir. Haqiqatan h’am  birlik vektor bo’lgani uchun ' bo’ladi. Shuningdek =[,] tenglikni differentsiallab, '=[',]+[,']=[,] ni topamiz. Bundan ' kelib chiqadi. Demak, ' vektor  vektor bilan kollinear ekan. Shu sababli (1) tenglikni ||=|'| ko’rinishda yozib olamiz. Bu tenglikka ' va  larning maolum ifodalarini qo’yib ushbu natijalarni olamiz, yaoni
||=|[,']|=|(',,)|=|(r' 1/k r"' 1/k r")|=|(r'r"r"')|/k² (2)
Bu tenglik teoremani isbotlaydi.
Agar egri chsq tenglamasi r=r(t) ko’rinishdagi ixtiyoriy t parametr orqali berilgan bo’lsa, egri chiziqning buralishi
=(r'r"r"')/[r'r"] (3)
formula bilan h’isoblanadi.
Haqiqatan h’am quyidagilarni topa olamiz, yaoni
r'_s=r't', r"_ss=r"t'²+r't"
r"'_sss=r"'t'³+2r"t't"+r"t't"+r't"'
Bu qiymatlarni (2) tenglikda o’rniga qo’yib, t'²=1/r'² ekanini eotiborga olsak, isbot qilinishi kerak bo’lgan (3) formulani olamiz. Endi h’ar bir nuqtasidagi buralishi 0 ga teng bo’lgan chiziqlarni topaylik.
Maolumki, x='=0. Bundan tashqari '=0 va '=0 ekanidan '=0 ni topamiz. Bundan =₀=sonst ekani kelib chiqadi.
Bizga maolumki  va  vektorlar o’zaro perpendikulyardir. Shuning uchun r'₀=0 bo’ladi. Demak, (r(s)-r₀)₀=0. Bu esa (r-r₀)₀=0 vektor tenglama bilan berilgan egir chiziqni tekislikda yotishini ko’rsatadi.
Shunday qilib, buralish 0 ga teng bo’lgan barcha egri chiziqlar tekis egri chiziqlardan iboratdir.
Endi buralishning ishorasini topamiz. Egri chiziq bo’ylab yopishma tekislik s ning o’sish yo’nalishida h’arakatlanganda urinma atrofida buralishi kelib chiqadi. Shuning uchun buralishni x=|x|ko’rinishda aniqlaymiz. Bunda agar buralish  dan  ga qarab o’zgarsa ishora "+" va agar buralish  dan  ga qarab o’zgarsa ishora "-" olinadi.
Har bir nuqtasidagi buralishi o’zgarmas bo’lgan chiziqlarga misol sifatida vint chizig’ini keltirish mumkin.

1.