Differensial hisobning asosiy teoremalari. Teylor formulasi

Aim.uz

Differensial hisobning asosiy teoremalari. Teylor formulasi
Roll teoremasi. Agar funksiya: 1) kesmada uzluksiz; 2) shu kesmaning ichki nuqtalarida hosilaga ega; 3) bo’lsa, u holda bilan orasida shunday nuqta mavjud bo’ladiki, unda

bo’ladi.

Lagranj teoremasi. Agar funksiya: 1) kesmada uzluksiz; 2) shu kesmaning ichki nuqtalarida hosilaga ega bo’lsa, u holda va orasida shunday nuqta topiladiki, unda

bo’ladi.

Koshi teoremasi. Agar va funksiya: 1) kesmada uzluksiz; 2) shu kesmaning ichki nuqtalarida har ikkala funksiya ham hosilaga ega, shuning bilan birga, bo’lsa, u holda bilan orasida shunday nuqta mavjud bo’ladiki, unda

bo’ladi.

Bu teoremalarda bilan orasida qandaydir o’rta qiymat haqida so’z borganligi uchun, ular o’rta qiymat haqidagi teoremalar deb ataladi.

Ferma teoremasi. funksiya oraliqda berilgan bo’lib, u shu oraliqning biror nuqtasida o’zining eng katta (kichik) qiymatiga erishsin. Agar funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u holda bu nuqtada

bo’ladi.

funksiya nuqtaning biror atrofi da aniqlangan bo’lib, bu atrofda hosilalarga ega va hosila nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda quyidagi formula o’rinli bo’ladi. Bunda

Bu formula Teylor formulasi deyiladi.

ni Lagranj ko’rinishidagi qoldiq had deyiladi.

Teylor formulasida bo’lgan hol alohida ahamiyatga ega:

Odatda, bu formula Makloren formulasi deyiladi. Bu formuladan funksiya limitini topishda, taqribiy hisoblash masalalarida foydalaniladi.

Quyida ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasini keltiramiz:

bo’lsin. Bu funksiya uchun . U holda quyidagi formulani yozish mumkin:

Agar da bo’lishini etiborga olsak, uchun taqribiy formulaga ega bo’lamiz.

2. bo’lsin. Bu funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun formula orinli ekanini topish qiyin emas.

ekanligi ravshan. ni aniqlaymiz:

Demak funksiya uchun Makloren formulasi

ko’rinishda bo’ladi.

3. bolsin. Funksiyaning tartibli hosilasi uchun

formula o’rinlidir. bo’lishi ravshan.

Demak, funksiya uchun Makloren formulasi

ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda  qoldiq had.

4. bo’lsin. Bu funksiyaning tartibli hosilasini topamiz:



. bulardan foydalanib, tartibli hosilani topish uchun quyidagi formulani hosil qilamiz:



va ekanligini e’tiborga olsak, funksiya uchun Makloren formulasi:

ko’rinishda bo’ladi.