Dinamik modellarni iqtisodiyotda qoʻllanilishi

k  ^K
L

oʻzgaruvchining funksiyasi deb qaraladi, bunda ^K - kapital mablagʻni, ^L - mehnatga jalb etilgan aholi soni. Bu munosabatni quyidagi funksional munosabat koʻrinishida ifodalaymiz:

y  f (k) 
_f  ^K 

 _L 
  _.

f (k)
funksiya qavariq va oʻsuvchi deb qaraladi, ya’ni
f ^(k)  0,
f ^(k)  0 _.

Ishlab chiqarilgan ^Y mahsulot miqdori iste’mol qilinadi yoki iqtisod qilinadi. Iqtisod qilingan mahsulot iqtisodga kiritilgan kapitalga aylanadi. Kapitalning ishlab chiqarish natijasida ortishi ^S koeffisiyent bilan ifodalansin, ya’ni

k  ^K

^L dan


k  ^d

 ^K  _ ^LK

• 
  LK
  

 ^K  k ^L .

 
dt ^ L ^ L²

L² L L

Ishchi kuchi oʻzgarmas ⁿ darajada ortadi, ya’ni ^{L  nL}
boʻlsa,

k  s ^Y
L

• 
  nk.
  

Yuqoridagi ^y ning ta’rifiga asosan,
y  ^Y
L ni hisobga olsak,

bu tenglama neoklassik oʻsish (Solow) modeli deb yuritiladi.
f (k ) _ n
Tenglamaning turgʻun (oʻzgarmas) yechimi ^{k s} tenglamadan topiladi. Bu yechim yagonadir.
Misol. Yalpi ichki mahsulot Kobb-Duglas funksiyasi bilan ifodalansin:
Y  A K^ L^ .
Bunda A bir birlik kapital va bir birlik ishchi kuchi bilan ishlab chiqarilgan mahsulotni ifodalovchi oʻzgarmas son, ^ va ^ lar kapital va ishchi kuchining elastik

koeffitsiyentlari. Odatda ^{    1,}
  1  
deb olamiz. U holda

Y _ K _^ _

L L
y   A_{ }
 
 Ak .

Bu holatda neoklassik oʻsish modeli quyidagicha:

Bernulli tenglamasiga keladi. Bu tenglamani yechishni koʻrib chiqamiz.

k^1 (t)  z(t)
belgilash kiritsak,
z  


n
1  


As


^z 1  

birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning turgʻun yechimi
_{z } As
n

_{ As }1
k  _{ n } .
ga teng. Bunga mos dastlabki tenglamaning turgʻun yechimi ^{ }
z   ⁿ z
1  
bir jinsli chiziqli tenglamani yechamiz

dz n nt

• 
  nt
  

  
z 1 
ln | z |   const 
1 
z  C  e
1

ni hosil qilamiz. Demak, umumiy yechim

• 
  nt _As
  

z  C  e
1 _{ .}
n

Bundan aholi boshiga mos ishlab chiqarilgan mahsulot
1
_{ } nt _{As 1}

k (t)  _ C  e

1 _{  .}

n


k(0)  k₀
boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi yechimni topamiz.
1

k(0)  ^ C  ^{As }1  k ,

 _n  0
_{C  k}1 _{ k} 1 _.

^{ } 0
Demak, yechim
1



_ 0
k (t)  (k^1  k ^1 )  e

• 
  nt
  

1


_1
_{ k} 1 _{ ,}

_{ As }1
k  _{ } .
 

• 
  nt
  

bu yerda
^{ n } t  _da e
lim k (t)  k
1
^{ 0.} Shu sababli yechim oʻzining turgʻun

holatiga yaqinlashadi, ya’ni
t _.

Yirtqich va oʻlja (Predator-prey model) modeli. Bu modeldan birinchi marotaba biologik jarayonlarni va hayvonlar populyatsiyasi (soni) ning dinamikasini oʻrganishda foydalanilgan boʻlib, u ikkita faktor, tabiiy oʻsish faktori bilan birgalikda har xil yirtqichlar, kasalliklar, epidemiyalar ta’sirida kamayishni hisobga oladi. Keyinchalik bu model aholi sonining dinamikasini oʻrganishda, iqtisodiyot masalalarida qoʻllanila

boshlagan. Iqtisodiy dinamik jarayonlarda yirtqich sifatida narxning ortishi va raqobat sharoiti, potensial mijozlar sonining chegaralanganligi qaralishi mumkin.
Bu model quyidagicha ikkita tenglamadan iborat
x  (b  py)x,

tenglamalar sistemasi bilan ifodalanadi. Bu tenglamada ^x oʻljani ifodalasa, ^y

yirtqichni ifodalaydi. Agar
y  0
boʻlsa, yirtqich yoʻqligi sababli, ^x tabiiy

eksponensial ravishda oʻsadi. Agar
x  0
boʻlsa, yemish yoʻqligi sabab, ^y

eksponensial ravishda kamayadi. Ya’ni ^a va ^r koeffitsiyentlar erkin oʻsish va kamayishni ifodalaydi. ^p ва ^q lar esa ^x va ^y orasidagi bogʻliqlikni ifodalaydi.
Odatda tenglamalar sistemasining yechimini topish uchun boshlangʻich shartlar,

ya’ni noma’lum funksiyalarning kerak boʻladi.
t  0
dagi
x(0)  x₀,
y(0)  y₀
qiymatlarini berish

Xuddi shunga oʻxshash bir nechta yirtqich va bir nechta oʻljadan iborat sistemani ham qarash mumkin. Yuqoridagi sistemani yechish uchun uni quyidagicha
h  ^T ,

diskretlashtiramiz. ^{[0,T ]} vaqt oraligʻini ^{tk  h  k} ,



_n k  0,1, 2,..., n
nuqtalar bilan

teng n ta boʻlakka boʻlamiz. tenglamalardagi hosilalarni
x(t_k )  x_k ,
y(t_k )  y_k
belgilashlar kiritamiz va

x(t_k
)  ^{xk 1  xk} , y(t ) 
_h k
^yk 1 ^{ y}k h

taqribiy qiymatlar bilan almashtiramiz va
x_{k 1}  (bh  1)x_k  phx_k y_k ,
y_{k 1}  dhx_k y_k  (1  rh) y_k
chekli ayirmali tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasini

Excel dasturida ketma-ket qiymatlarni topib, kerakli ^{t  T}
davrdagi funksiyaning

qiymatlarini topamiz. ^h ni yetarlicha kichik qilib olinsa, bu taqribiy yechim aniq yechimga juda yaqin boʻladi.
Ba’zi modellarda bitta oʻzgaruvchi (funksiya) yirtqich va oʻljani ifodalashi mumkin. Misol uchun, aholi sonining dinamikasini oʻrganganimizda aholi soni ortishi yashash uchun zarur ozuqa moddalarning tanqisligiga olib keladi. Bunda aholi soni har ikkala vazifani bajarmoqda. Yoki, ma’lum tovarni sotishdan olinadigan daromadni qarasak, narx ortishi bilan daromad ortadi, biroq narxning oshishi oqibatida bu tovarga talab kamaya boradi va bu teskari effektni ham beradi.
Tenglamalar sistemasi Excel dasturida quyidagicha yechiladi:

Bunday holatlarni

koʻrinishdagi bitta tenglama bilan ifodalanadi.
Bu tenglama 1-tartibli oʻzgaruvchilari ajraladigan tenglama yoki Rikkati tenglamasi sifatida qaralishi mumkin.
Tenglamani oʻzgaruvchilarni ajratish usulida yechamiz:

dy _
by ace^at

y(a  by)
dx 
ln  at  const 
a  by
^{y } b  bce^{at .}
y  ^a

bunda
c  const.
Bu yechim ^{t } da oʻzining turgʻun yechimi
^b ga

yaqinlashadi. Quyida bu funksiyaning Excel dasturida chizilgan grafigini keltiramiz.

Bunda biz

a  0,1,
b  0,001, y(0)  66 ²
3


deb olingan. Grafikdan koʻrinadiki,

yechim vaqt oʻtishi bilan oʻzining turgʻun yechimi
Xulosa
^{y 100} ga yaqinlashadi.

Dinamik modellarni tavsiflashning koʻplab variantlari mavjud. Jarayonni muvaffaqiyatli boshqarish uchun modelning holatini toʻgʻri tahlil qilish muhimdir. Muayyan tanlovni tanlashga oid ma’lumotlarning mavjudligiga, jarayon haqida qoʻshimcha ma’lumot olish, uni rivojlantirish imkoniyatlariga, simulyatsiyaning dastlabki maqsadiga bogʻliqdir.
Dinamik modelni tanlash, oʻrganilayotgan jarayonning oʻziga xos xususiyati bilan belgilanadi. Agar ilm-fanda, simulyatsiyaning asosiy maqsadi jarayonning mohiyatini batafsil oʻrganish imkoni boʻlsa, unda texnikada asbobning ishlashini boshqarishning minimal yoʻqotishlarini aniqlashning optimal versiyasini izlash kerak. Dinamik modellar ishonchli va oʻz vaqtida natija olish uchun matematik belgilarni, qonunlarni qoʻllashni oʻz ichiga oladi.