Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari

х₁х₂х₃ …

Ehtimolliklar

p1 p2 p3 …

Bu yerda yuqorida aytib o‘tilganidek, .
Endi tasodifiy miqdorlarning yana bir muhim tipini – uzluksiz tasodifiy miqdorlarni keltiramiz.
Bu tipga taqsimoti  ni iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun quyida keltirilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lgan  tasodifiy miqdorlar kiradi:

bu yerda  .
absolyut uzluksiz taqsimot deyiladi.
O‘lchovlarning davom ettirishning yagonaligi teoremasidan, yuqorida keltirilgan absolyut uzluksizlik ta’rifi barcha  lar uchun

ko‘rinishiga ekvivalent ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunday хossaga ega bo‘lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.
f(x) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot zichligi (zichlik funksiyasi) deb ataladi. Bu funksiya uchun   tenglik o‘rinli. Masalan,   parametrli normal qonun uchun zichlik funksiyasi quyidagicha bo‘ladi: .
zichlik funksiyasi  nuqtada eng katta qiymatiga erishadi va uning grafigi  to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik joylashgan. Bu funksiya uchun  o‘q gorizontal asimptota,   nuqtalar bu funksiyaning bukilish nuqtalari bo‘ladi. Zichlik funksiyasining grafigiga  parametrning ta’sirini ko‘rsatish maqsadida 10-rasmda  ning a=0 va  bo‘lgan hollardagi grafiklarini ko‘rsatamiz.
Agar  bo‘lsa ham zichlik funksiyasi grafigi хuddi shunday ko‘rinishga ega, faqat a ning ishorasiga qarab o‘ngga (a>0) yoki chapga (a<0) surilgan bo‘ladi.
Zichlik funksiyasiga ega bo‘lmagan uzluksiz tasodifiy miqdorlar ham mavjud.
Bunday tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalariga singulyar taqsimot funksiyalari deyiladi. Singulyar taqsimot funksiya uzluksiz, barcha o‘sish nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamning Lebeg o‘lchovi 0 ga teng, ya’ni deyarli barcha nuqtalarda  bo‘lib,  tenglik o‘rinli.

10-rasm
2.Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari
Endi boshqa tasodifiy miqdorlarning funksiyalari bo‘lgan tasodifiy miqdorning tsqsimot funksiyasini topish masalasini ko‘raylik.
Mayli,  va  Borel funksiyasi bo‘lsin. U holda  tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi quyidagiga teng:
.
Agar  – kamaymaydigan funksiya bo‘lib, uning uchun teskari  funksiya aniqlangan bo‘lsa, u holda
.
Xususan, agar  uzluksiz bo‘lsa,  tasodifiy miqdor  oraliqda tekis taqsimlangan bo‘ladi. Aksincha,  tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor va  berilgan taqsimot funksiyasi bo‘lsin. U holda  tasodifiy miqdor  taqsimot funksiyasiga ega bo‘ladi.
Boshqa xususiy holda, ya’ni  ,  holatda
bo‘ladi.
Agar  bo‘lsa,  uchun  ,  uchun esa
.
Endi  tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topish masalasini qaraylik.
Yuqoridagilarga qo‘shimcha ravishda  funksiya differensiallanuvchi va  tasodifiy miqdor  zichlik funksiyasiga ega bo‘lsin. U holda  ning quyidagi zichlik funksiyasi mavjud
.
Misol uchun  ,  bo‘lganda
.
1-misol. Agar  va  o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan va  da tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, u holda  uchun

bo‘ladi.
Aytaylik,  bo‘lsin, u holda
,
agar  bo‘lsa,
.
Shunday qilib,

Funksional, statistic va korrelyatsion bog’lanishlar. Shartli o’rtacha qiymatlar. Korrelyatsion bog’liqlik

• 
  1-ta’rif. Agar X belgining har bir mumkin bo’lgan qiymatiga Y belgining bitta mumkin bo’lgan qiymati mos kеlsa, u holda Y X belging funksiyasi dеyiladi:
  

• 
  Y=f(X).
  

• 
  Y=X2 funksiyaning taqsimoti topilsin.
  

• 
  Yechish. Y ning mumkin bo’lgan qiymatlarini topamiz: y1=4 y2=9. U holda Y ning taqsimoti:
  

• 
  2. X uzluksiz tasodifiy miqdor normal taqsimlangan bo’lib, M(X)=a=2 va σ(X)=0,5 bo’lsa, Y=3X+1 chiziqli funksiyaning zichlik funksiyasini toping.
  
• 
  Yechish. Y ning sonli xaraktеristikalarini topamiz: