Ekvivalentlik va tartib munosabatlari

EKVIVALENTLIK VA TARTIB MUNOSABATLARI
REJA:

1. Ekvivalentlik munosabati va o'nga misollar.

2. Ekvivalentlik sinflari faktor-to'plam.
3. Tartib munosabati va o'nga misollar.
4. Qisman va to'la tartiblangan to'plamlar.
ADABIYOTLAR [ 1,2]


1- ta'rif. А to'plamda aniqlangan R binar munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo'lsa, u holda bunday munosabatga А to'plamdagi ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Ekvivalentlik munosabati  yoki  simvollar bilan belgilanadi.
Masalan: 1). Ixtiyoriy bo'sh bo'lmagan А to'plamda aniqlangan aynan  tenglik munosabati;
2). Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar to'plamida aniqlangan parallellik munosabati;
3). Uchburchaklar to'plamida aniqlangan o'xshashlik munosabati;
4). Fazodagi geometrik figuralarning tengdoshlik munosabati va boshqalar.
Berilgan А to'plamni unda aniqlangan R munosabat bo'yicha ekvivalentlik sinflariga ajratish mumkin. Buning uchun quyidagicha yo'l tutiladi. A to'plamdagi Ixtiyoriy bir a elementni olib aRx shartni qanoatlantiruvchi barcha x A elementlarni birta С_a sinfga kiritamiz. Endi А\C_a= bo'lsa, jarayon shu joyda to'xtaydi. Agarda A\ С_a   bo'lsa, b( A\ С_a) ni olamiz. Tushunarliki bu holda bA va b С_a. Endi barcha y( A\ С_a) , bRy shartni qanoatlantiruvchi y elementlarni ikkinchi bir С_b sinfga kiritamiz. Agar endi (А\C_a )\ С_b =  bo'lsa, jarayonni shu joyda to'xtatamiz. Agarda (А\C_a )\ С_b   bo'lsa, с (А\C_a )\ С_b ni olib cRz shartni qanoatlantiruvchi barcha z elementlarni birta С_с sinfga kiritamiz va hokazo davom etamiz. Tushunarliki, agar А chekli bo'lsa, chekli qadamdan keyin chekli sondagi C_a,,C_b ,...,C_m sinflarga, agarda А cheksiz to'plam bo'lsa, chekli yoki cheksiz sondagi C_a , C_b, .... sinflarga ega bo'lamiz. Bu sinflarga ekvivalentlik sinflari deyiladi.
Sinflarning hosil qilinishiga ko'ra a b bo'lsa, C_a  С_b=  bo'lib
A= C_a  С_b .... (1)
bo'ladi. (1) ga А to'plamning o'zaro kesishmaydigan qism to'plamlar birlashmasiga yoyilmasi deyiladi. Bu holda А to'plamni ekvivalentlik sinflariga bo'laklangan (faktorizasiyalangan) deb ham yuritiladi.
Masalan: 1). Z - butun sonlar to'plamidagi bo'linish munosabati (x-y)/ m ni olaylik (bu yerda m >0) . Tushunarliki, bu munosabat butun sonlar to'plamidagi ekvivalentlik munosabati bo'ladi, chunki: a)  xZ , (x-x)/ m;
b)  x,yZ lar (x- y)/ m dan (y-x)m ning bajarilishi kelib chiqadi;
с) x,y,zZ lar uchun (x-y)/ m va (y-z)/ m larning o'rinli ekanligidan ning o'rinli ekanligi kelib chiqadi, ya'ni qaralayetgan munosabat butun sonlar to'plamidagi refleksiv, simmetrik va tranzitiv munosabatdir.
Endi shu munosabat bo'yicha Z ni ekvivalentlik sinflariga ajrataylik.
Agar
x=mq+k va y=mt+k bo'lsagina (x-y)/ m bo'ladi. Bu yerda k=0,1,2,... m-1 bo'lgani
uchun bu sinflar quyidagicha bo'ladi.
. . . , - 3 m , - 2 m , - m , 0 , m, 2 m, 3 m , . . . ; {mq}=C₀
. . . , - 3 m+1, -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1, 3m+1,...; {mq+1}=C₁