Eng katta boylik-bu aql zakovat va ilm, eng katta meros-bu yaxshi tarbiya,eng katta qashshoqlik-bu bilimsizlikdir!

7. ko’rinishdagi tenglama yechimining yagonalik shartlari yordamida tenglamani tadqiq qiling.
Avval
_(3.8)
ko’rinishdagi tenglamalar uchun yagonalik shartlarini o’rganamiz.
tekislikda biror nuqtani olaylik. Agar bo’lsa, u holda (15) tenglamaning o’ng tomonidan Lipshits shartini qanoatlantirish talab etilmasa ham bu nuqta orqali yagona integral egri chiziq o’tadi. Agar biror o’zgarmas da bo’lsa, u holda yechim
_(3.9)
ko’rinishda bo’ladi. (3.9) yechimning nuqtalarida qanaqa shartlar bajarilganda yagonalik o’rinli bo’lishini tekshiramiz.
da boshlang’ich qiymatlarni olib, da deb faraz qilaylik ( ning o’rniga ni olib bo’lgan holni, ning o’rniga ni olib esa bo’lgan holni hosil qilish mumkin). Biz yechimning yagonaligini faqat polosadagi integral egri chiziqlarga nisbatangina o’rganamiz. nuqta orqali o’tuvchi integral egri chiziq quyidagi formula yordamida topiladi.
(3.10)
(3.10) formulada ni ga intiltiramiz; o’ng tomondagi integral xosmas integral bo’ladi. Bu yerda ikkita hol bo’lishi mumkin.
1-hol. integral uzoqlashuvchi bo’lsin. Bu - miqdor ga yaqin-lashganda o’zgaruvchi cheksiz kattalashadi, deganidir. o’zgaruvchi chek-siz kattalashganda integral egri chiziq to’g’ri chiziqqa asimptoik yaqinlashadi va u ning hech bir chekli qiymatida bu to’g’ri chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo’lmaydi. polosada yotgan hamma integral egri chiziqlar (3.10) egri chiziqdan o’qqa parallel ko’chirish yordamida hosil qilinganligi uchun bu chiziqlarning hech biri to’g’ri chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo’lmaydi. Shunga asosan, yechimning hamma nuqtalarida yagonalik bajariladi. Demak, integral uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda yechim yagona yechim bo’ladi.
2-hol. - xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsin. Bu holda qiymatda (3.10) egri chiziq yechimda yotgan koordi-natali nuqtadan o’tadi. Boshlang’ich nuqtani o’zgartirib (ya’ni (3.10) egri chiziqni o’qqa nisbatan parallel ko’chirib) nuqtani to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasiga joylashtirishimiz mumkin. SHunga asosan, to’g’ri chiziqning birorta ham nuqtasida yagonalik bajarilmaydi. Demak, integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda yechim yagona emas.
Biz qarayotgan tenglamada va . funksiya da uzluksiz. Quyidagi
( ) va ( )
xosmas integrallar uzoqlashuvchi bo’lganligi uchun yarim tekislik-ning har bir nuqtasi orqali berilgan differensial tenglamaning yagona integral egri chizig’i o’tadi.
8. Boshlang’ich shart qanday bo’lganda

differensial tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi?
Tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi yechimining mavjud va yagonaligi to’g’risidagi tasdiqlardan foydalanamiz.
Biz qarayotgan sistemada funksiyalar va ularning xususiy hosilalari bo’lgan sohada uzluksiz bo’lganligi uchun har bir nuqta (bu yerda ) orqali yagona yechim o’ta-di. Shunday qilib, berilgan tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lishi uchun shartlar bajarilishi kerak ekan.
9. Quyidagi tenglamalar va sistemaning yechimlari koordinatalar boshining atrofida nechta hosilalarga ega
a) b) v) ?
a) funksiya , uzluksiz xususiy hosi-lalarga ega va koordinatalar boshining atrofida differensiallanuvchi emas (chunki funksiya da hosilaga ega emas). Shuning uchun masalaning yechimi ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’ladi.
b) , bo’lganligi uchun , masala koordinatalar boshining atrofida to’rt marta uzluksiz differensiallanuvchi yechimga ega.
v)Bu holda funksiyalar nuqtaning atrofida uzluksiz, ammo hosila bu nuqtada uzilishga ega bo’lganligi uchun berilgan tenglamalar sistemasi yechimlarining faqat uzluksiz differensiallanuvchanligini kafolatlash mumkin, xolos.