Федеральное агенство по образованию

2.2.2. Решение неоднородного волнового уравнения при однородных граничных условиях и неоднородных начальных условиях
Рассмотрим следующую задачу: найти закон колебаний однородной струны длиной l под действием внешней гармонической силы F(x, t) = ρf(x)sinωt, рассчитанной на единицу длины струны. Начальные ус­ловия произвольны. Концы струны закреплены.
Задача приводится к решению уравнения
, (2.25)
где Ω(x, t) = f(x)sinωt при однородных граничных условиях
(2.26)
и начальных условиях
. (2.27)
Решение задачи (2.25–2.27) будем строить в общем виде, но для определённости в дальнейшем примем, что
. (2.28)
где a, g, γ – константы.
Применяем редукцию исходной задачи (2.25–2.27), а именно ищем решение в виде
, (2.29)
где функция является решением начально-краевой задачи для однородного уравнения
(2.30)
с однородными граничными условиями
(2.31)
и с начальными условиями
, (2.32)
а функция является решением начально-краевой задачи для неоднородного волнового уравнения
(2.33)
при однородных граничных и начальных условиях
, (2.34)
. (2.35)
Задача (2.30–2.32) описывает собственные колебания струны, её решение известно (см. п.2.2.1, выражение (2.18))
,
причём произвольные постоянные A_n и B_n определяются по формулам (2.21–2.22).
Если U₀(x) и V₀(x) определяются согласно (2.28), то получим
, (2.37)
Поэтому
. (2.38)
Задача (2.33–2.35) описывает вынужденные колебания струны при отсутствии начальных возмущений (при однородных начальных условиях). Решение её ищем в виде разложения в ряд по собствен­ным функциям однородной задачи (2.2–2.3).
Так как ими являются согласно (2.15) синусы, то принимаем
. (2.39)
При этом удовлетворяются граничные условия (2.34). Задача сводится к отысканию функции W_n(t). Подставляя (2.39) в уравнение (2.33), получим
. (2.40)
Далее раскладываем в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, l] правую часть уравнения (2.40)
. (2.41)
При (см. (2.28)) получим

.
Подставляя (2.41) в уравнение (2.40), получим
.
Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых собственных функциях, приходим к уравнению
. (2.42)
С учетом найденного выражения для b_n уравнение (2.42) примет вид
. (2.43)
Подставляя далее (2.39) в начальные условия (2.35), получим
. (2.44)
Таким образом, отыскание функции W_n(t) свелось к решению задачи Коши для обыкновенного линейного неоднородного дифферен­циального уравнения второго порядка (2.43) с начальными условиями (2.44).
Общее решение уравнения (2.43) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, определяемого методом подбора, и имеет вид
. (2.45)
Произвольные постоянные находим из начальных условий (2.44):
. (2.46)
В результате решение задачи Коши (2.43–2.44) примет вид
. (2.47)
Подставляя (2.47) в (2.39), находим решение задачи (2.33–2.35):
. (2.48)
Суммируя решения (2.38) и (2.48), окончательно находим

.
Из полученного решения следует, что в случае, когда частота ω внешней возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот колебаний струны ω_n = nπa/l (явление резонанса), отклонения струны от положения равновесия неограниченно возрастают.