Funksiyaning differensiali

Aim.uz

Funksiyaning differensiali

Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, ya’ni o’sha nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u holda

bo’ladi, bunda da . Bundan

kelib chiqadi.
Demak, funksiya orttirmasi ikkita qo’shiluvchidan iborat bo’lib, uning birinchi qo’shiluvchisi ga nisbatan chiziqli ifoda, ikkinchi qo’shiluvchi esa yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor ekan.
Funksiya orttirmasi ning ga nisbatan chiziqli bo’lgan bosh qismi funksiyaning differensiali deyiladi va bilan belgilanadi. Ya’ni .
Agar bu formulada deb olsak, u holda ga ega bo’lamiz. Shuning uchun ham

tenglikdan ekani, ya’ni yetarlicha kichik uchun funksiya orttirmasi uning differensialiga taqribiy teng ekani kelib chiqadi.
Funksiya orttirmasini funksiya differensiali bilan almashtirgandagi absolyut xatolik ga va nisbiy xatolik

ga teng bo’ladi.
Har qanday differensiallanuvchi va funksiyalar uchun quyidagilar o’rinlidir:
1.
2. .
. , .
Funnksiya diffferensialining ifodasidan foydalanib ko’p uchrab turadigan funksiyalarning differensiallari jadavalini keltiramiz:

1. ; . ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12.

13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .

funksiyaning differensiali ning nuqtadagi differensiali berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi va yoki kabi belgilanadi. Demak,

Funksiyaning uchinchi,to’rtinchi va hokazo tartibli differensiallari ham xuddi shunga o’xshash ta’riflanadi. Ya’ni,
.
Funksiyaning differensialidan taqribiy hisoblashlarda foydalanish mumkin. Bunda biz argument orttirmasi juda kichik son bo’lganda funksiya differensiali va funksiya orttirmasi qiymatlari bir–biriga yaqin, ya’ni

bo’lishidan foydalanamiz. Ya’ni,
formula yordamida, funksiyaning ma’lum yoki oson hisoblanadigan qiymatidan foydalanib, uning no’malum yoki hisoblanishi qiyin bo’lgan qiymati taqribiy hisoblanadi.
Differensial yordamida funksiyalar uchun taqribiy formulalar ham hosil qilish mumkin. Bu maqsadda oxirgi formulada deb olib, ning kichik qiymatlari uchun

taqribiy formulaga ega bo’lamiz. Masalan, yetarlicha kichik son bo’lganda,
, , , , taqribiy formulalardan foydalanish mumkin.
Bulardan tashqari quyidagi taqribiy formulalardan ham foydalanish mumkin.
, ( belgi ga nisbatan o’ta kichik ekanligini bildiradi);
, ;
, .
Agar murakkab funksiya berilgan bo’lsa, u holda uning differensiali quyidagicha bo’ladi: .
Berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali esa quyidagicha bo’ladi.
.