Funksiyaning hosilasi va differensiali

3). Peano ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi. f (x) funk-siya Teylor formulasining Peano ko’rinishidagi qoldiq hadini chiqarishda f (x) funksiyaga nisbatan qo’yilgan shartni “yengillashtirish” mumkin.
f (x) funksiya x₀ a,b nuqtaning biror U_(x₀ )  a,b atrofida f (x), f (x),, f ^n(x ) hosilalarga ega bo’lib, f ^n(x) hosila esa x₀
nuqtada uzluksiz bo’lsin. Bu funksiya uchun xU_x₀  da ushbu
f (1!x⁰) (x  x₀)  f 2(!x⁰) (x  x₀)²  f(^n^n1_^(1x)!⁰) (x  x₀)^n1  f (x)  f (x_o ) 
(6.35)
 f n^c(x  x₀)n_. n!
(bunda c son x₀ bilan x orasida yotadi ) formula o’rinli bo’ladi.
Haqiqatan ham, yuqoridagi (6.34) formulada n ni n 1 ga almashtirsak, u holda (6.34) formuladan (6.35) kelib chiqadi.
Ravshanki, x  x₀ da c  x₀ bo’ladi. f ^x(x) esa x₀ nuqtada uzluksiz.
Demak, lim f ^n(c)  lim f ^n(c)  f ^n(x₀ ).
xx₀ xx₀
U holda

f n(c)  f n(x0 ) (x)
n! n!
tenglik o’rinli bo’lib, lim(x)  0 bo’ladi.
xx₀
Agar x  x₀ da (x)(x  x₀)ⁿ  o((x  x₀)ⁿ) bo’lishini etiborga olsak, natijada (6.35) formulaning qoldiq hadi uchun ushbu
f n(c) ⁿ f n(x⁰ )(x x₀ )ⁿ o((x x₀ )ⁿ) (6.36)

(x x₀ )  n! n!
formulani topamiz. Endi (6.35) va (6.36) formulalardan
f (1!x⁰ )(x  x₀ )  f 2(!x⁰ )(x  x₀ )²  f (x)  f (x₀ ) 
 f n(x0 )(x  x0 )n  o((x  x0 )n ) (6.37)
n!
formula kelib chiqadi. Bu formula f (x) funksiyaning Peano ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi deb ataladi.
Demak, x  x₀ da (6.37) formulaning qoldiq hadi nolga intilib, u (6.37) formulada o’zidan oldin keladigan har bir hadga qaraganda yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor bo’ladi .
Shunday qilib, biz yuqorida f x funksiya Teylor formulasi qoldiq hadining turli ko’rinishlarini keltirdik .Yechilayotgan masalaning talabiga qarab u yoki bu ko’rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasidan foydalaniladi . Masalan, biror x₀ nuqta atrofida x x  x₀  nuqtalarda f x funksiyaning qiymatlarini taqribiy hisoblash kerak bo’lsa, Koshi yoki Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulalaridan foydalangan ma’qul, x  x₀ da qoldiq hadi nolga intilish tartibinigina bilish lozim bo’lsa yoki x₀ nuqta atrofida funksiyaning bosh qismini ajratish kerak bo’lsa, u holda Peano ko’rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasidan foydalanish maqsadga muvofiq bo’ladi .