Galiley Nyutonning mexanika qonunlari

Siqilmaydigan suyuqlik uchun p = const holat tenglamasi va uzluksizlik tenglamasi
. (4.19)
1881 yilda Qozon universiteti professori I.S.Gromeka tomonidan Eyler tenglamalari oʻzgartirilib, boshqa koʻrinishda yozilgan. (4.18) tenglamalarni ko'rib chiqing.
Ularning birinchisida (3.13) ifodalari o‘rniga va o‘rniga qo‘ying:
va  . (4.20)
Belgilanishni qabul qilish orqali  , yozishimiz mumkin
Xuddi shunday, (4.7) tizimning qolgan ikkita tenglamasini o'zgartirib, biz Gromeka tomonidan berilgan ko'rinishdagi tenglamalar tizimini olamiz.
(4.23)
Agar suyuqlikka ta'sir etuvchi massa kuchlari potentsialga ega bo'lsa, u holda R x, R y, R z massa kuchlarining taqsimlanish zichligi proyeksiyalari P potensial funktsiyasining qisman hosilalari bilan ifodalanadi:
DP = R x dx + R y dy + R z dz (4.25)
R x, R y, R z qiymatlarini (4.8) tizimga almashtirib, biz potentsialga ega bo'lgan kuchlar ta'sirida siqilmaydigan suyuqlik harakati uchun differentsial tenglamalar tizimini olamiz:
(4.26)
Barqaror harakatda tezlik komponentlarining vaqtga nisbatan qisman hosilalari nolga teng:
. (4.27)
Keyin (4.10) sistemaning tenglamalari shaklni oladi
(4.28)
(4.11) sistemaning har bir tenglamasini dx = V x dt ga teng elementar siljishning mos keladigan proyeksiyalariga ko'paytirish; dy = V y dt;
dz = V z dt, va tenglamalarni qo'shing. Bo'ladi
Olingan ifodaning o'ng tomoni determinant sifatida qayta yozilishi mumkin, ya'ni.
(4.29)
Agar determinant nolga teng bo'lsa, ya'ni.
(4.30)
. (4.31)
Bu o'zgarmas suyuqlikning barqaror harakati bilan elementar damlama uchun Bernulli tenglamasi.
(4.14) tenglamani (4.1) da olingan Bernulli tenglamasi ko’rinishiga keltirish uchun faqat bitta massa kuchi – tortishish kuchi ta’sir qiladigan holat uchun P potentsial funksiya shaklini aniqlaymiz. Bunday holda, R x = R y = 0 va R z = - g (OZ o'qi yuqoriga yo'naltirilgan). (4.9) dan bizda mavjud
yoki . (4.32)
Ushbu ifodani (4.14) ga almashtirib, biz hosil bo'lamiz
yoki  .
Oxirgi ifoda Bernulli tenglamasiga to'liq mos keladi (4.4).
Bernulli tenglamasi to'g'ri bo'lgan siqilmaydigan suyuqlikning barqaror harakatlanishining qaysi holatlarida yoki boshqacha aytganda, (4.13) tenglamaning o'ng tomonidagi determinant yo'qolishini aniqlaymiz.
Ma'lumki, agar ikkita satr (yoki ikkita ustun) bir-biriga teng yoki proportsional bo'lsa yoki uning satrlaridan biri yoki ustunlaridan biri nolga teng bo'lsa, determinant nolga teng. Keling, ushbu holatlarni ketma-ket ko'rib chiqaylik.
A. Birinchi va uchinchi qatorlarning shartlari proportsionaldir, ya'ni. Bernulli tenglamasi to'g'ri bo'ladi, agar
.
Bu shart oqim chiziqlarida bajariladi (3.2).
B. Birinchi va ikkinchi qator a'zolari mutanosib, ya'ni. Bernulli tenglamasi to'g'ri bo'ladi, agar
.
Bu shart vorteks chiziqlarida bajariladi (3.16).
B. Ikkinchi va uchinchi qator a’zolari mutanosib:
. (4.16)
=Keyin ō x a V x; ō y = a V y; ō z = a V z.
(1) tenglamani koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, berilgan kuchlarning koordinata, tezlik va vaqtga bog'liqligini hisobga olib, nuqta dinamikasi uchun differensial tenglamalarni olamiz. Demak, Dekart koordinatalari uchun bizda:
Silindrsimon koordinatalar sistemasidagi differensial harakat tenglamalari ko'rinishga ega bo'ladi
;

Xulosa qilib, tabiiy uchburchak o'qi bo'yicha proyeksiyalarda nuqta dinamikasining differensial tenglamalarini keltiramiz; bu tenglamalar, ayniqsa, nuqtaning traektoriyasi ma'lum bo'lganda qulaydir. (3.1) tenglamani traektoriyaning tangensiga, asosiy normaliga va binormaliga proyeksiya qilib, biz hosil qilamiz.
, , 
Endi nuqtaning dinamikasi tenglamalari misolini ko'rib chiqamiz Dekart koordinatalari(3.2) nuqta dinamikasiga oid masalalarning bayoni va yechish jarayoni. Nuqta dinamikasining ikkita asosiy vazifasi mavjud: Streyt va teskari. Dinamikaning birinchi muammosi (to'g'ridan-to'g'ri) quyidagicha: nuqtaning massali harakati berilgan , ya'ni funktsiyalar
bu harakatni keltirib chiqaruvchi kuchlarni topish talab qilinadi. Bu muammoni hal qilish qiyin emas. (3.1) va (3.3) tenglamalarga asosan proyeksiyalarni topamiz, ular uchun berilgan funksiyalarni ikki marta farqlaymiz (3.3).
, , (3.4)
(3.4) ifodalar nuqtaga ta’sir etuvchi barcha kuchlarning natijaviy proyeksiyalarini ifodalaydi; kuchlarning bir qismi (yoki proyeksiyalarning bir qismi) ma'lum bo'lishi mumkin, qolgan qismini (lekin uchta proyeksiyadan ko'p bo'lmagan) (3.4) tenglamalardan topish mumkin. Bu masalani formada (3.1) tenglamani qayta yozish orqali statik muammoni yechishga rasman keltirish mumkin.
Bu erda proyeksiyasi o'qga bo'lgan nuqtaning inersiya kuchi x, y, z qarama-qarshi belgilarga ega (3.3) ifodalarga teng. Mexanika masalalarida tez-tez qo'llaniladigan inertial kuchlarni kiritish orqali dinamika muammosini statika muammosiga rasmiy ravishda qisqartirish deyiladi. kinetostatika usuli.
Nuqta dinamikasining ikkinchi (teskari) masalasi quyidagicha qo'yiladi: massa nuqtasida. T, vaqtning boshlang'ich momentida ma'lum bo'lgan pozitsiyasi va tezligi vektori, berilgan kuchlar harakat qiladi; bu nuqtaning harakatini (uning koordinatalarini) topish talab qilinadi x, y, z) vaqt funksiyasi sifatida. Chunki (2) tenglamalarning o'ng tomonlari kuchlarning o'qdagi proyeksiyalaridir x, y, z- bor ma'lum funktsiyalar koordinatalar, ularning birinchi hosilalari va vaqtlari, keyin kerakli natijani olish uchun ikkinchi tartibli uchta oddiy differensial tenglamalar tizimini integrallash kerak. Bunday muammoning analitik yechimi faqat ma'lum bir maxsus holatlarda mumkin bo'ladi. Biroq, raqamli usullar muammoni deyarli har qanday talab qilinadigan aniqlik darajasi bilan hal qilish imkonini beradi. Faraz qilaylik, biz (3.2) differensial tenglamalar tizimini integralladik va koordinatalar uchun ifodalarni topdik. x, y, z vaqt funksiyasi sifatida. (3.2) sistema oltinchi tartibli bo'lgani uchun uni integrallashda oltita ixtiyoriy konstanta paydo bo'ladi va biz koordinatalar uchun quyidagi ifodalarni olamiz:
Konstantalarni aniqlash uchun (i = 1, 2, ... 6) bu yechimda masalaning dastlabki shartlariga murojaat qilish kerak. Belgilangan shartlarni Dekart koordinatalari bilan bog'liq holda yozamiz, biz uchun t= 0
Topilgan ifodaga (3.5) dastlabki shartlarning birinchi guruhini (3.6) at t= 0, biz integratsiya konstantalarini bog'laydigan uchta tenglamani olamiz:
Yo'qolgan uchta munosabat quyidagicha topiladi: harakat tenglamalarini (3.5) vaqtga nisbatan differensiallaymiz va dastlabki shartlarning ikkinchi guruhini (3.6) olingan ifodalarga almashtiramiz. t= 0; bizda ... bor
Endi ushbu oltita tenglamani birgalikda yechish orqali biz oltita ixtiyoriy integratsiya konstantasining kerakli qiymatlarini olamiz. (i = 1, 2, ... 6), ularni harakat tenglamalariga (3.5) qo'yib, biz muammoning yakuniy yechimini topamiz.
Muayyan holat uchun nuqta harakatining differentsial tenglamalarini tuzishda, birinchi navbatda, turli omillarning harakatlarini baholash kerak: asosiy kuchlarni hisobga olish va ikkilamchi kuchlarni yo'q qilish. Har xil texnik muammolarni hal qilishda havo qarshilik kuchlari va quruq ishqalanish kuchlari ko'pincha e'tiborga olinmaydi; bu, masalan, tebranish tizimlarining tabiiy chastotalarini hisoblashda amalga oshiriladi, ularning qiymatlariga ko'rsatilgan kuchlar ahamiyatsiz ta'sir qiladi. Agar jism yer yuzasiga yaqin harakatlansa, unda uning tortishish kuchi doimiy hisoblanadi, yer yuzasi esa tekis; yer yuzasidan uning radiusi bilan taqqoslanadigan pa masofalardan uzoqlashganda, tortishish kuchining balandlik bilan o'zgarishini hisobga olish kerak, shuning uchun bunday masalalarda Nyutonning tortishish qonuni qo'llaniladi.
Tana harakatining yuqori tezligida havo qarshiligi kuchini e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi; bu holda, odatda, qarshilikning kvadratik qonuni qabul qilinadi (qarshilik kuchi tananing tezligi kvadratiga proportsional hisoblanadi).
(3.6)
Mana yuqori tezlikdagi bosim, ρ - nuqta harakatlanuvchi muhitning zichligi, - tortishish koeffitsienti, - xarakterli ko'ndalang o'lcham. Biroq, quyida ko'rsatilgandek, ba'zi muammolarda suyuqlikdagi (gazdagi) ichki ishqalanishni hisobga olish kerak, bu esa ko'proq narsaga olib keladi. umumiy formula qarshilik kuchini aniqlash uchun

Agar jismning harakati yopishqoq muhitda sodir bo'lsa, u holda harakatning past tezligida qarshilik kuchini hisobga olish kerak, ammo bu masalada uni tezlikning birinchi darajasiga proportsional deb hisoblash kifoya.
Misol. Qarshilikli muhitdagi nuqtaning to'g'ri chiziqli harakati masalasini ko'rib chiqaylik, qarshilik kuchi (3.6) ifoda bilan berilgan. Nuqtaning dastlabki tezligi -, oxirgi tezligi. Belgilangan tezlik oralig'ida harakatning o'rtacha tezligini aniqlash kerak. Formuladan (3.2) biz bor

(3.7)
Bu ajratiladigan differentsial tenglama bo'lib, uning yechimi quyidagicha ifodalanishi mumkin
,
uning yechimi shaklda yozilgan
(3.8)
Bosib o'tgan masofani aniqlash uchun biz yangi koordinatalarga o'tamiz, buning uchun (3.7) tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ko'paytiramiz; bu holda, e'tibor bering
,
u holda bu erda ham ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega differentsial tenglamani olamiz
,
uning yechimi sifatida ifodalanishi mumkin
(3.9)
(3.8) va (3.9) formulalardan biz o'rtacha tezlik uchun ifodani olamiz
.
O'rtacha tezlik uchun  .
Ammo agar biz uni qo'yadigan bo'lsak, unda bu holda va ya'ni harakatlanuvchi jism hech qachon to'xtamasligini ko'rish oson, bu birinchi navbatda qarama-qarshidir. umumiy ma'noda, ikkinchidan, o'rtacha tezlik qanday bo'lishi aniq emas. Aniqlash uchun biz cheksiz kichik diapazondagi chap integrallarni olamiz ε, keyin olamiz
Dinamikaning asosiy qonuni va MT tezlanishi formulalaridan foydalanish turli yo'llar bilan Harakatni belgilash orqali erkin va erkin bo'lmagan moddiy nuqtalar harakatining differensial tenglamalarini olish mumkin. Bunday holda, erkin bo'lmagan moddiy nuqta uchun bog'lanish aksiomasi (ozod qilish printsipi) asosida MTga qo'llaniladigan barcha faol (berilgan) kuchlarga passiv kuchlar (birlashma reaktsiyalari) qo'shilishi kerak.
Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar sistemasining (faol va reaksiyalar) natijasi bo‘lsin.
Dinamikaning ikkinchi qonuni asosida
harakatni ko'rsatishning vektor usuli bilan nuqtaning tezlanishini aniqlaydigan nisbatni hisobga olgan holda:,
doimiy massali MT harakatining differensial tenglamasini vektor ko'rinishida olamiz:
Dekart koordinata sistemasi o'qiga proyeksiyalovchi (6) munosabatga ega bo'lgan holda va tezlanishning Dekart koordinata sistemasi o'qiga proyeksiyasini aniqlovchi munosabatlardan foydalanib:
Biz ushbu o'qlar bo'yicha proyeksiyalarda moddiy nuqta harakatining differentsial tenglamalarini olamiz:
Tabiiy uchburchak () o'qi bo'yicha (6) munosabatni tuzib, harakatni ko'rsatishning tabiiy usuli bilan nuqtani tezlashtirish formulalarini aniqlaydigan munosabatlardan foydalangan holda:
tabiiy uchburchak o'qi bo'yicha proyeksiyalarda moddiy nuqta harakatining differentsial tenglamalarini olamiz:
Xuddi shunday, boshqa koordinata sistemalarida (qutbli, silindrsimon, sferik va boshqalar) moddiy nuqta harakatining differensial tenglamalarini olishingiz mumkin.
(7) - (9) tenglamalar yordamida moddiy nuqta dinamikasining ikkita asosiy muammosi tuziladi va yechiladi.