Gruppa tushunchasi

3-teorema. gruppaning xar bir qism gruppasi uchun
(2)
tenglik o`rinli, bunda xech qaysi ikkita sistema umumiy elementlarga ega emas.
Isboti. qism gruppani ning hamma elementlariga o`ng tomondan ko`paytirib chiqamiz va xosil bo`lgan sistemalarning har xillarinigina (umumiy elementlarga ega bo`lmaganlarini) olib qolamiz:
(3)
Istalgan element (3) sistemalarning birida albatta mavjud, chunki (3) larni hosil qilishda biz I ga ham ko`paytirdik. Demak , (2) tenglik bajariladi, bu yerda sistema, ni, masalan, ga ko`paytirishdan kelib chiqadi.
(2) ifoda gruppaning qism gruppa bo`yicha qo`shni sistemalarga yoyilmasi deyiladi. Yoyilmadagi elmentlar har xil bo`ilib , ular chegirmalarning to`liq sistemasini tashkil etadi deyiladi. Shuningdek chap yoyiylma ham mavjud bo`lib , u

ko`rinishga ega.
(2) yoyilma chekli yoki cheksiz bo`ladi. chekli gruppaning istalgan qism gruppasi bo`yicha yoyilmasi cheklidir. cheksiz gruppaning bazi qism gruppalar bo`yicha yoyilmasi chekli , bazilari bo`yicha esa cheksiz bo`lishi mumkin.
4-teorema. (2) yoyilmadagi barcha qo`shni sistemalar teng quvvatli to`plamlardir.
Isboti. (2) da sistemani va qolganlaridan istalgan birini , masalan, sistemani olib, va sistemalarning teng quvvatli ekenini ko`rsatamiz. Buning uchunistalgan elementni elementga akslantiramiz: hg. Bu akslanish bir qiymatli ekanligi ravshan . Shu bilan birga u o`zaro bir qiymatlihamdir, chunki hg va g da bo`lsa , u xolda albatta bo`ladi. Xaqiqatdan , dan ga ko`paytirilganda , darxol kelib chiqadi.
qism gruppa chekli bo`lsa , (2) yoyilmadagi barcha qo`shni sistemalar chekli bo`lib, ular bir xil sondagi elementlardan tuzilgan bo`ladi.