Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar

Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar.

sonining 10"" gacha kami (quyi chegara) va ortig‘i (yuqori chegara) bilan olingan bir necha yaqinlashishlarini kuzataylik: 1,4 < л/2 < 1,5,

< л/2 < 1,42, 1,414<л/2 <1,415 . Kami bilan olingan o‘nli yaqinlashishlar o‘suvchi, ortig‘i bilan olinganlari esa kamayuvchi ketma-ketlik tashkil etmoqda. Uning hadlaridan iborat ikki

to‘plamni yagona л/2 soni ajratib turadi. Arifmetik amallarni bajarish va topilgan natijalami baholashda sonlarning bu xususiyati e’tiborga olinadi.

Agar A, В va hokazo sonlar a_n < A < a’_n kabi ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, ular ustida amallarni bajarishda tengsizliklaming ma’lum xossalaridan foydalanamiz, bunda a_n va lar A ning I0~ⁿ gacha kami va ortig‘i bilan olingan o‘nli yaqinlashishlari,

n gN . Natija x_n < X < x'_n qo‘shtengsizlik yoki X = x± Ax, yoki X«x ko‘rinishida yoziladi. Bu yozuvlaming biridan ikkinchisiga o‘tish mumkinligini bilamiz. Xususan, x_n < X < x'_n bo^cyicha X

ning x = ^%n *ⁿ o^crtacha (taqribiy) qiymati va uning Ajc = ^%n *ⁿ

chegaraviy (eng katta) absolut xatosini hisoblash orqali X = x±Ajc ga o^ctish va aksincha, X = x±Ax bo^cyicha x- Ax < X cshtengsizlikka o^ctish mumkin. X&x yozuvda x ning qanday aniqlikda berilganligi nazarga olinadi. Masalan, 7i« 3,14 soni 3,14<7i<3,15, 7i« 3,145± 0,005 ko^crinishda yozilishi mumkin. Shuni esda tutish kerakki, taqribiy son quyi chegara qiymati faqat kami bilan, yuqori chegara qiymati esa ortig^ci bilan yaxlitlanishi mumkin.

^n ^ a < dn b„,< P<4	yoki qisqaroq	+ ^an bn	4
x < X < x^f		X	X'

+

shu to‘plamlami ajratuvchi son deyiladi. Bu holda Y to‘plam с dan o‘ngda joylashadi. Masalan, X = {3; 7} va Y = {9; 12} to‘p- lamlami с = 8 soni ajratadi va bunda Y to‘plam с ning o‘ng to- monida, Xesa с ning chap tomonida joylashadi. Agar 7to^cplam X to‘plamdan o‘ngda joylashsa, bu to‘plamlami ajratuvchi kamida bitta son mavjud boladi.

Oliy matematika kursida quyidagi teorema isbot qilinadi.

T e о r e m a . Natural sonlar to‘plamida berilgan Y = [y_n]

to⁽plam X = [x_n] to⁽plamdan o⁽ngda joylashgan, ya^fni x_{n n}

bo‘lsin. X va Y larni ajratuvchi faqat bitta с soni mavjud bo⁽lishi uchun y_n - x_n ayirmalar har qancha kichik ЬоЧа oladigan, ya^fni X va Ylar bir-birlariga har qancha yaqin joylasha oladigan bo⁽lishi zarur va yetarli.

m i s о 1. (3; 5) va (7; 9) oraliqlar (5; 7) oraliqqa qarashli ixtiyoriy son bilan ajraladi. (3; 5) va (7; 9) oraliqlaming nuqtalaridan tuzilgan ixtiyoriy oraliq uzunligi (5; 7) oraliq uzunligidan, ya’ni

5 = 2 dan kichik bo^clolmaydi.

m i s о 1. [2; 5] va [5; 8] kesmalar faqat 5 soni bilan

ajraladi, chunki ixtiyoriy n natural son uchun 5-5 + ^

oraliq uzunligi | ga teng. n ning yetarlicha katta qiymatlarida bu uzunlik har qancha kichik bo^cladi.