Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

f (x, y y)  f (x, y) ^{f (x, y)} y , y  y  y y (10) y
tеnglikni hosil qilamiz. Teorema shartiga ko‘ra xususiy hosilalar uzluksiz va
x  0,y  0  x  x, y  y bo‘lgani uchun
lim f (x, y  y) _ f (x, y) , lim f (x, y) _ f (x, y)
x0 x x x0 y y
y0 y0
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan, limit xossasiga asosan (VII bob, §3, lemmaga qarang), quyidagi tengliklar kelib chiqadi:

f (x, y y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)  ₁ ,  ₂ (11)
x x y y
Bu yerda γ₁ vа γ₂ x→0, y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi. Endi (8) tenglikka dastlab (9)-(10), so‘ngra ular o‘rniga (11) tengliklarni qo‘yib, funksiyaning to‘la orttirmasini ushbu ko‘rinishga keltiramiz:
f  ^{f (x, y)} x  ^{f (x, y)} y ₁x ₂y . (12)
x y
Bu yerdan, (12) natijani (5) tenglik bilan taqqoslab, z=f(x,y) funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali uchun (7) formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz. Teorema to‘la isbotlandi.
Masalan, yuqorida ko‘rib o‘tilgan f(x,y)=x²+xy+3y funksiyaning differensialini endi (7) formula bo‘yicha topamiz: df (x²  xy 3y)_xx  (x²  xy 3y)_y y  (2x  y)x  (x  3)y.
Bu oldin olingan natijani ifodalaydi, ammo unga ancha oson erishildi.
Endi xususiy f(x,y)=x holda funksiya differensialini (7) formula orqali topamiz:
dx  df  ^f x  ^f y 1 x  0 y  x.
x y
Xuddi shunday ravishda f(x,y)=y holda dy=∆y ekanligini ko‘ramiz. Shu sababli funksiya differensiali uchun (7) formulani ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:

df  ^f dx  ^f dy . (13)
x y
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi qo‘shiluvchilar z=f(x,y) funksiyaning mos ravishda x va y bo‘yicha xususiy differensiallari deyiladi va d_x f , d_y f kabi belgilanadi. Bu holda df to‘la differensial deb yuritiladi.
Izoh: Bir o‘zgaruvchili y=f(x) funksiya M(x) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning shu nuqtada faqat f ′(x) hosilasi mavjudligi talab qilinib, uning uzluksizligi talab etilmas edi. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun esa uning xususiy hosilalarini mavjudligi differensiallanuvchi bo‘lishi uchun yetarli emas. Masalan,
f (x, y) __0, x  0 yoki y  0,
_ 1, x  0 va y  0
funksiya uchun f(x,0)=0 va f(0,y)=0 bo‘lgani uchun O(0,0) nuqtada uning xususiy hosilalari mavjud va f_x(0,0)  0 , f_y(0,0)  0 . Ammo O(0,0) nuqtada bu funksiya to‘la orttirmasini (5) ko‘rinishda yozib bo‘lmaydi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy ∆x≠0, ∆y≠0 uchun ∆f=f(0+∆x, 0+∆y)–f(0,0)=1–0=1, ya’ni ∆x→0, ∆y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdor emas. Demak, O(0,0) nuqtada bu funksiyaning xususiy hosilalari mavjud, ammo differensiallanuvchi emas.