Ikkita parabola tenglamalari bilan berilgan ularning umumiy urinmasini tenglamasini tuzish algoritmini tushuntirish Reja

Parabola tenglamasidagi parametrning geometrik ma'nosi

Keling, tushuntirib beraylik parametrning geometrik ma'nosi p in kanonik tenglama parabolalar. (3.51) tenglamaga x = \ frac (p) (2) ni qo'yib, biz y ^ 2 = p ^ 2 ni olamiz, ya'ni. y = \ pm p. Demak, p parametri parabola o'qiga perpendikulyar fokusidan o'tuvchi parabola akkord uzunligining yarmiga teng.

Parabolaning fokus parametri, shuningdek, ellips va giperbola uchun fokus o'qiga perpendikulyar bo'lgan fokusdan o'tadigan akkordning yarmi uzunligi deb ataladi (3.45-rasmga qarang, c). At qutb koordinatalarida parabola tenglamasidan \ varphi = \ frac (\ pi) (2) biz r = p ni olamiz, ya'ni. parabolaning parametri uning fokus parametriga to'g'ri keladi.

Izohlar 3.11.

1. Parabolaning p parametri uning shaklini xarakterlaydi. P qanchalik katta bo'lsa, parabolaning shoxlari qanchalik keng bo'lsa, p nolga yaqinroq bo'ladi, parabola shoxlari shunchalik tor bo'ladi (3.46-rasm).

2. y ^ 2 = -2px tenglama (p> 0 uchun) ordinata o'qining chap tomonida joylashgan parabolani aniqlaydi (3.47-rasm, a). Bu tenglama abscissa o'qi yo'nalishini o'zgartirish orqali kanonik tenglamaga keltiriladi (3.37). Shaklda. 3.47, a berilgan koordinatalar tizimi Oxy va kanonik Ox "y" ni ko'rsatadi.

3. Tenglama (y-y_0) ^ 2 = 2p (x-x_0), \, p> 0 cho'qqisi O "(x_0, y_0) bo'lgan parabolani belgilaydi, uning o'qi abscissa o'qiga parallel (3.47.6-rasm). Bu tenglama parallel ko'chirish (3.36) yordamida kanonik tenglamaga keltiriladi.

Tenglama (x-x_0) ^ 2 = 2p (y-y_0), \, p> 0, shuningdek, O "(x_0, y_0) cho'qqisi bo'lgan parabolani belgilaydi, uning o'qi ordinat o'qiga parallel (3.47-rasm, c). Bu tenglama parallel tarjima (3.36) va nomini o'zgartirish yordamida kanonik tenglamaga tushiriladi. koordinata o'qlari (3.38).3.47, b, c ko'rsatilgan oldindan o'rnatilgan tizimlar koordinatalar Oksi va kanonik koordinatalar tizimlari Ox "y".

4. y = ax ^ 2 + bx + c, ~ a \ ne0 nuqtada tepasi boʻlgan parabola O "\! \ Chap (- \ frac (b) (2a); \, - \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ o'ng), o'qi ordinat o'qiga parallel bo'lib, parabola shoxlari yuqoriga (a> 0 uchun) yoki pastga (a uchun) yo'naltiriladi.<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

Y = a \ chap (x + \ frac (b) (2a) \ o'ng) ^ 2- \ frac (b ^ 2) (4a) + c \ to'rtlik \ Chap o'ng \ to'rt \! \ Chap (x + \ frac ( b) (2a) \ o'ng) ^ 2 = \ frac (1) (a) \ chap (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ o'ng) \ !,

kanonik shaklga qisqartirilgan (y ") ^ 2 = 2px", bu erda p = \ chap | \ frac (1) (2a) \ o'ng |, almashtirish yordamida y "= x + \ frac (b) (2a) va x "= \ pm \! \ chap (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ o'ng).

Belgisi etakchi koeffitsient a belgisi bilan mos keladigan tarzda tanlanadi. Ushbu almashtirish kompozitsiyaga mos keladi: parallel tashish (3.36) bilan x_0 = - \ frac (b) (2a) va y_0 = - \ frac (b ^ 2-4ac) (4a), koordinata o'qlarining nomini o'zgartirish (3.38) va a holatda<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 va a<0 соответственно.

5. Kanonik koordinatalar sistemasining abtsissa o'qi parabolaning simmetriya o'qi chunki y o'zgaruvchisini -y ga o'zgartirganda (3.51) tenglama o'zgarmaydi. Boshqacha qilib aytganda, parabolaga tegishli M (x, y) nuqtaning koordinatalari va M nuqtaning abssissa o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan M "(x, -y) koordinatalari (3) tenglamani qanoatlantiradi. S1).Kanonik koordinatalar sistemasining o'qlari deyiladi parabolaning asosiy o'qlari.

3.22-misol. Oksi kanonik koordinatalar sistemasida y ^ 2 = 2x parabolani chizing. Fokus parametrini, fokus koordinatalarini va direktrisa tenglamasini toping.

Yechim. Uning abscissa o'qiga nisbatan simmetriyasini hisobga olgan holda parabola quramiz (3.49-rasm). Agar kerak bo'lsa, biz parabolaning ba'zi nuqtalarining koordinatalarini aniqlaymiz. Masalan, x = 2 ni parabola tenglamasiga qo'yib, biz hosil bo'lamiz y ^ 2 = 4 ~ \ Chapga o'q ~ y = \ pm2... Demak, (2; 2), \, (2; -2) koordinatali nuqtalar parabolaga tegishli.

Berilgan tenglamani kanonik (3.S1) bilan solishtirib, fokus parametrini aniqlaymiz: p = 1. Fokus koordinatalari x_F = \ frac (p) (2) = \ frac (1) (2), ~ y_F = 0, ya'ni. F \! \ Chap (\ frac (1) (2), \, 0 \ o'ng)... Biz x = - \ frac (p) (2) direktrix tenglamasini tuzamiz, ya'ni. x = - \ frac (1) (2).