Интеграл и его применение

Egri chiziqli trapezoid
Ta'rif. Uzluksiz, ishorali doimiy funktsiya f ( x ), abscissa o'qi va to'g'ri chiziqlar x \u003d a , x \u003d b grafigi bilan chegaralangan raqam egri chiziqli trapezoid deb ataladi.
Egri chiziqli trapetsiya maydonini topish usullari
Teorema. Agar f ( x ) segmentdagi uzluksiz va manfiy bo lmagan funksiya [ a ; b ], u holda mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoni antiderivativlarning o'sishiga teng bo'ladi.
Berilgan: f ( x ) – uzluksiz indef. funktsiya, x [ a ; b ].
Isbotlang: S = F ( b ) – F ( a ), bu yerda F ( x ) f ( x ) ning anti hosilasidir .
Isbot:

S ( x ) yordamchi funksiyasini ko'rib chiqaylik . Har bir x [ a ; b ] egri chiziqli trapetsiyaning shu abtsissa bilan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning chap tomonida joylashgan va y o'qiga parallel bo'lgan qismini mos ravishda qo'yamiz. Demak, S ( a )=0 va S ( b )= S tr

S ( a ) f ( x ) ning anti hosilasi ekanligini isbotlaymiz .
D( f ) = D(S) = [a;b]
S'(x0)= lim( S(x0+ x) – S(x0) / x ), x 0 uchun S to'rtburchakdir.
x 0 tomonlari x va f ( x 0)
S '( x0 ) = lim ( x f ( x 0) / x ) = lim f ( x 0)= f ( x 0): chunki x 0 nuqta, keyin S ( x ) -
x 0 x 0 antiderivativ f ( x ).
S ( x )= F ( x )+ C ga qarshi hosilaning umumiy shakli haqidagi teorema bo'yicha .
Chunki S(a)=0, keyin S(a) = F(a)+C
C=-Fa
S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)
II.

1). Segmentni [ a ; b ] n ta teng qismga. Bo'lingan qadam x =( b – a )/ n . Pri etom S tr= lim ( f ( x 0) x + f ( x 1) x +...+ f ( xn )) x = n = lim x(f(x0)+f(x1)+...+f(xn)) n uchun biz S tr \u003d x ( f ( x 0) + f ( x 1) + ... + f ( xn )) ni olamiz.

Bu yig'indining chegarasi aniq integral deyiladi.
b
S tr= f ( x ) dx
a
Limit ostidagi yig'indi integral yig'indi deb ataladi.
Aniq integral - segmentdagi integral yig'indining chegarasi [ a ; b ] n uchun . Integral yig'indi bu oraliqning istalgan nuqtasida funksiya sohasini bo'lish natijasida olingan segment uzunligi ko'paytmalari yig'indisining chegarasi sifatida olinadi.
a - integratsiyaning pastki chegarasi;
b - yuqori.
Nyuton-Leybnits formulasi.
Egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun formulalarni taqqoslab, biz xulosa qilamiz:
agar F [ a dagi b uchun antiderivativ bo'lsa ; b ], keyin
b
f(x)dx = F(b)–F(a)
a
bb
f(x)dx = F(x) = F(b) – F(a)
a a
Aniq integralning xossalari.
1.
bb
f(x)dx = f(z)dz
aa
2.
a
f(x)dx = 0
a
a
f(x)dx = F(a) – F(a) = 0
a
3.
ba
f(x)dx = – f(x)dx
ab
ba
f(x)dx = F(a) – F(b) f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))
a b
Agar a , b va c uzluksiz f ( x ) funksiya anti hosilaga ega bo‘lgan I oraliqning istalgan nuqtalari bo‘lsa , u holda
bcb
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx
aac
F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)
(bu aniq integralning qo'shiluvchanlik xususiyati)
Agar va doimiy bo'lsa, u holda
b b b
( f(x) + (x)) dx = f(x)dx + (x)) dx -
a a c
aniq integralning chiziqlilik xossasidir.
6.
bbbb
(f(x)+g(x)+...+h(x))dx = f(x)dx+ g(x)dx+...+ h(x)dx
aaaa
b
(f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –
a
– (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C =
= F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=
bbb
= f(x)dx+ g(x)dx+...+ h ( x ) dx
a a a
Nabor standartnyx kartinok

	Chunki f ( x )<0, u holda Nyuton-Leybnits formulasini tuzib bo'lmaydi, teorema faqat f ( x ) 0 uchun to'g'ri bo'ladi. Kerakli: funksiyaning OX o'qiga nisbatan simmetriyasini ko'rib chiqing . ABCD A'B'CD b S(ABCD)=S(A'B'CD) = -f(x)dx a
	bb S= f(x)dx = g(x)dx aa

cb S = (f(x)–g(x))dx+ (g(x)–f(x))dx ac

f(x) f(x)+m g(x) g(x)+m b S= (f(x)+m–g(x)–m)dx = a b = ( f ( x )– g ( x )) dx a Agar segmentda [ a ; b ] f ( x ) g ( x ), u holda bu grafiklar orasidagi maydon b ((f(x)–g(x))dx a

f ( x ) va g ( x ) funksiyalar ixtiyoriy va manfiy emas bbb S= f(x)dx – g(x)dx = (f(x)–g(x))dx aaa

bb S= f(x)dx + g(x)dx aa