Колебания круглых пластин с присоединёнными на вязкоупругих элементах сосредоточенными массами

2. Методы
2.1. Постановка задачи
Рассматриваются собственные и вынужденные колебания круглой пластины с присоединенными на пружинках жесткостями сосредоточенными массами . Пусть радиус пластинки R и толщины h с плотностью материала , цилиндрической жесткостью D. Механическая система описывается системой дифференциальных уравнений [8, 9]:
(1)
где оператор Лапласа в полярной системе координат с полюсом в центре пластины, -прогиб пластины, -прогиб пластины в точке крепления к-ой пружины с сосредоточенной массой , -расстояние массы от срединной плоскости пластины, -дельта функция; внешняя распределенная нагрузка от срединной плоскости пластины, р_к- внешняя сила, приложенная к к-ой массе,
, (2)
–произвольная функция времени, и – ядра релаксации, – мгновенные модули упругости.
Далее заменим соотношение (2) на следующие:
,
(3)
,
-
соответственно косинус и синус изображения Фурье ядер релаксаций; -действительная величина. В расчетах использовалось трехпараметрическое ядро релаксации Колтунова-Ржаницына: .
Решение задачи о собственных затухающих колебаниях рассматриваемой механической системы будем искать в виде
(4)
где , - амплитуды затухающих колебаний.
Если, подставить (4) в (1), тогда для определения комплексных собственных форм колебаний вязкоупругой пластины и собственных прогибов деформируемых пружин с массами получим систему дифференциальных уравнений
(5)
Решение системы дифференциальных уравнений (5) ( ) должно быть ограничено в центре вязкоупругой пластины, а также удовлетворять следующим однородным граничным условиям
(6)
2.2. Методики решения
Для решения поставленной задачи применяется метод разложения искомого прогиба по собственным формам колебаний пластины. Используем приведённое в работе [10] разложение Дельта – функции в ряд Фурье по собственным формам той же пластины, но без сосредоточенных масс и пружин:
(7)
где n= 0,1,….; j= 0,1,….; - корни уравнения
. (8)
Здесь постоянная, определяемая видом граничных условий. Будем иметь
,
где

Тогда первое уравнение системы (5) примет вид
(9)
где
.
Общее решение уравнения (9) имеет следующий вид
(10)
где , . Здесь А_n, В_n (n=0,1, 2.), и (к=1, 2) - произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий. Для определения произвольных постоянных воспользуемся граничными условиями (6). Прогиб пластины в точке крепления к к-ой пружине с сосредоточенной массой определяется из второго уравнения (5) следующим выражением
(11)
Таким образом, получим решение (11), характеризующее значение прогиба пластинки в точках крепления пружин с массами. Исключая, на основании второго равенства (5), величину в выражении (10), и подставляя полученное выражение в граничные условия (6), а также принимая во внимание, что функции удовлетворяют этим граничным условиям, получим
(12)
Исключим из второго уравнения системы (12). Тогда получим N уравнений с неизвестными А_n,B_n и Y_n
(13)
Равенства (12) и (13) образуют систему уравнений для определения неизвестных А_n , B_n и Y_n. Определитель этой системы распадается на определитель уравнений (12) и определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных Y_n уравнений (13). Приравнивая нулю первый из них, получим уравнение (7). Приравнивая нулю второй определитель получим уравнение
(14)
где ,
.
Подставляя значение корня в один из уравнений (12), находим при этом , при , .Тогда при равенство (13), с учетом выражения (7), примет вид
(15)
Но при и разность , поэтому равенство (15) имеет место лишь при условии, что Для определения получим однородную систему, определитель которой не равен нулю, так как не являются узлами, поскольку
На основании уравнений (14) находим корни , расположенные между значениями . В этом случае из (12) следует , поэтому система (13) превратится в однородную систему уравнений относительно Y_n, определитель которой равен нулю. Из N-1 уравнений этой системы находим (j=1,2…N; С_Ns=1).
Таким образом, на основании (10), совместно со вторым из уравнений (15), пишем выражение собственной формы и значение собственных амплитуд соответствующих корню , которые имеют вид
(16)
Корни уравнений (8) и (16) расположены в порядке возрастания и присвоим им индекс m. Тогда в соответствии с (8), получим условия ортогональности собственных форм и собственных амплитуд . Для этого на основании (5) напишем уравнения собственных форм , и собственных амплитуд и . Уравнение для умножая на , после чего из первого вычтем второе и проинтегрируем по площади пластины, при этом в случае классических граничных условий

а на основании свойств дельта -функции

Уравнения собственных амплитуд и умножим соответственно на , и вычтем второй из первого. Исключая из полученных равенств разность , и принимая во внимание, что , находим условие ортогональности собственных форм и амплитуд
. (17)
Общее решение системы (1) будем искать в виде
. (18)
Подставляя выражения (18) в систему (1) и принимая во внимание уравнение собственных форм и амплитуд (5), получим
. (19)
Умножим первое из равенств (19) на и проинтегрируем по площади пластины, второй - на и просуммируем по к , после чего сложим с первым. Тогда, принимая во внимание условия ортогональности, получим
(20)
Здесь - обобщенная сила, которая определяется следующим образом
,
причем,
(21)
Общее решение уравнения (20) принимает следующий вид
, (22)
где постоянные A_j и B_j определяются на основании начальных условий
(23)
и условия ортогональности (17)
(24)
Таким образом, выражение (18), совместно с (22) и (24), даёт полное решение системы дифференциальных уравнений (1) как краевой задачи математической физики.
Разработан алгоритм для вычисления (14) и (22)-(24) на основе метода разложения по собственным формам, метода Мюллера и метода Гаусса для решения поставленной задачи. Составлены программы на языке С⁺⁺, а также использован программный комплекс MAPLE-18.