Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Reja

1-teorema:
2-teorema:
2. Kompleks sonning geometrik tasviri.
Kompleks sonning trigonometrik shakli


= x+yi (1)

Agar x va y ga Oxy tekislikdagi nuqta koordinatalari deb qaraydi-gan bo`lsak, ya`ni M (x;y), u holda har bir (1) kompleks songa Oxy tekislikdagi bitta nuqta (4-rasm) mos keladi. Aksincha, Oxy tekislikning har bir nuqtasi faqat bitta kompleks sonni aniqlaydi. (1) da y=0 bo`lsa, z=x haqiqiy son hosil bo`lib, unga Ox o`qidagi nuqta mos keladi.

Shuning uchun Ox o`qi haqiqiy o`q ham deyiladi. Agar (1) da x=0 bo`lsa, =yi mavhum son hosil bo`lib, unga Oy o`qidagi nuqta mos keladi, shunga ko`ra Oy o`qi mavhum o`q ham deyiladi. =0 songa koordi-nata boshi mos keladi. Oxy tekislik kompleks tekislik deyiladi va bilan belgilanadi.
Bundan tashqari, har bir kompleks son (1) ga boshi koordinatalar boshiga, oxiri M (x;y) nuqtada bo`lgan vektor (radius – vektor) mos keltiriladi.
Bu holda ham, har bir kompleks songa bitta radius – vektor mos kelib, har bir nuqta bitta kompleks sonni aniqlaydi (5-rasm)
K oordinatalar boshidan M (x, y) nuqta-gacha bo`lgan masofa, ya`ni OM vektorning uzunligi kompleks son – (1) ning moduli deyiladi va |z| yoki r bilan belgilanadi, shun-ga ko`ra: r=|z|.
Chizmada Ox o`qining musbat yo`na-lishi bilan radius vektor orasidagi burchakni φ bilan belgilab, ∆ONM dan topamiz:
x = r cosφ y = r sinφ (2)


x va y qiymatini (1) ga qo`yib


z = r (cosφ + isinφ) (3)

ni topamiz. Kompleks sonning (3) shakldagi ko`rinishiga kompleks son-ning trigonometrik shakli deyiladi, φ esa kompleks sonning argumenti deyiladi va Argz bilan belgilanadi. φ bilan birga k ning ixtiyoriy butun qiymatida φ+2πk ham z ning argumenti bo`ladi, ya`ni argz = φ+2πk. Bu qiymatlardan eng kichik musbati, ya`ni [0,2π] oraliqda yotuvchi qiymati, argumentning bosh qiymati deyiladi va Argz bilan belgilanadi, ya`ni Argz = φ.

Bosh argument φ uchun munosabatlar o`rinli bo`-lib, φ ning qiymatini aniqlashda x va y ning ishoralariga, ya`ni M nuqta-ning qaysi chorakda ekanligiga e`tibor berish kerak.