Ko’pxilliklar ikki o‘lchamli yopiq sirtlarni topologik uchburchaklarga bo‘lib, ularning ba’zi geometrik xossalarini ko‘rib chiqaylik

5-ta’rif. Agar Q=({Q_i},{ _ij}) sistema uchun quyidagilar o‘rinli bo‘lsa, bu sistema yoyilma tashkil qilgan deyiladi, agar {Q_i} chekli sondagi kesishmaydigan tekis ko‘pburchaklardan iborat bo‘lib, { } chekli sondagi yelimlovchi gomeomorfizm bo‘lib, ular {Q_i} ko‘pburchaklar naborining juft qirralarini yelimlasa va har bir qirra faqat bitta qirra bilan yelimlansa, bu yelimlashda bitta ko‘pburchakning qirrasi ishtirok etsa.

Xususiy holda sistema ham yoyilma tashkil qila oladi, bu yoyilma X sirtning K triangulyasiyasi bilan bog‘liq yoyilmasi deb yuritiladi.

Ixtiyoriy Q yoyilma berilgan bo‘lsin. Bu yoyilmada yoki birlashmada gomeomorfizmlar aniqlangan R ekvivalentlik munosabati orqali hosil bo‘lgan faktor fazoni qaraylik, ya’ni . faktor fazoni yoyilma fazosi deb ataymiz. Ma’lumki, bu faktor fazo, ya’ni yoyilma fazosi ikki o‘lchamli ko‘pxillikdir. Bu fazo yetarli mayda ko‘pburchak triangulyasiya hosil qilgan triangulyasiyaga ega bo‘ladi. Shu sababli, agar faktor fazo bog‘lamli bo‘lsa, bu fazo yopiq sirt bo‘ladi. Bu holda ga sirtning yoyilmasi deyiladi.

fazodagi faktor akslantirish bu sirtni bo‘laklarga, ko‘pburchaklar aksiga, qirralar aksiga (qirra bo‘laklari), uchlari aksi (uchlari bo‘laklari) ga ajratadi; umuman olganda, bu bo‘laklar uning triangulyasiyasi bo‘lmaydi. 6.3.2-rasmda ko‘pburchak orqali taqdim qilingan torning yoyilmasi keltirilgan. Bu rasmdagi strelka va qirralar belgilanishi torning yelimlash qonuniyatini anglatadi.

6.3.2-rasm

Keyinchalik biz yoyilmadagi ko‘pburchaklar oriyentatsiyasini har birining ba’zi oriyentatsiyasiga qarab kiritamiz. Ko‘pburchak oriyentatsiyasi mos qirralarining oriyentatsiyasini aniqlaydi. Ikki qirrani yelimlovchi gomeomorfizm da qirra gomeomorfizmi orqali indutsirlangan ( qirra oriyentatsiyasidan) oriyentatsiyani oladi: bu oriyentatsiya qirraning oriyentatsiyasidan farq qilishi mumkin.

Agar hamma ko‘pburchaklarning bir xil oriyentatsiyasida (masalan, ko‘pburchakning uchlaridan soat millari yo‘nalishida o‘tganda qirralarni yelimlovchi gomeomorfizmlar qirraning obrazida qilgan oriyentatsiya teskari oriyentatsiyani indutsirlasa, yoyilma oriyentatsiyalangan deyiladi. Teskari holda, ya’ni lokal bitta qirradagi oriyentatsiya indutsirlagani bilan bir xil bo‘lsa, bunday yoyilma oriyentirlamaydigan deyiladi. Agar yoyilmasi oriyentirlangan (oriyentirlanmaydigan) bo‘lsa, X sirt oriyentirlangan (oriyentirlanmagan) deyiladi.