Лекция 7 Дифференциальные уравнения второго порядка

9.4.4. Метод подбора частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка
При применении этого метода рассматриваются только определенного вида функции f(x), стоящие в правой части уравнения (9.7). При этом надо учитывать, что значения корней характеристического уравнения могут изменить вид частного решения.
1.1. Пусть правая часть имеет вид , k₀≠k₁, k₀≠k₂, где k₁ и k₂ – корни характеристического уравнения, тогда .
1.2. , в характеристическом уравнении (9.9) k₀= k₁, k₀≠k₂ (или k₀≠ k₁, k₀=k₂). Тогда .
1.3. , k₀= k₁= k₂, тогда .
2.1. , т.е. правая часть некоторый многочлен от х, . В частности, , , .
В этом случае, если в характеристическом уравнении (9.9) k₁≠0, k₂≠0, то частное решение — многочлен той же степени с неопределенными коэффициентами.
2.2. , k₁=0, k₂≠0, тогда .
2.3. , k₁= k₂=0, тогда .
3.1. . Если в характеристическом уравнении (9.9) ≠0, а — любое или =0, а , то .
3.2. . Тогда если в характеристическом уравнении =0 и , то .
3.3. и числа не являются решениями соответствующего характеристического уравнения (9.9), то частное решение можно искать в виде , где — многочлены степени с неопределенными коэффициентами.
3.4. и числа являются решениями соответствующего характеристического уравнения (9.9), то частное решение можно искать в виде .