Limiti va uzluksizligi

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning global ekstremumlari. Berilgan z=f(x,y) funksiya biror yopiq va chegaralangan D sohada aniqlangan va uzluksiz , bu sohaning ichki nuqtalarida chekli xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Unda bu funksiya, Veyershtrass teoremasiga asosan (§1, 4- teorema), D sohada o‘zining eng katta maxf (global maksimum) va eng kichik minf (global minimum) qiymatlariga erishadi. Bu qiymatlar, funksiyani lokal ekstremumga tekshirishdan foydalanilib, quyidagi tartibda topiladi:

• 
  Funksiyaning xususiy hosilalari hisoblanadi ;
  
• 
  Xususiy hosilalar nolga tenglashtirilib, kritik nuqtalar topiladi ;
  
• 
  Topilgan kritik nuqtalardan faqat D soha ichida yotuvchilari qaralib, ularda berilgan funksiyaning qiymatlari hisoblanadi ;
  
• 
  D soha chegarasini ifodalovchi chiziqning y=φ(x), x [a,b], tenglamasidan foydalanilib, chegarada ikki o‘zgaruvchili f(x,y) funksiyani g(x)= f(x, φ(x)) bir o‘zgaruvchili funksiyaga keltiriladi va uning [a,b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topiladi (VIII bob,§5);
  
• 
  Funksiyaning oldingi ikki qadamda hisoblangan barcha qiymatlarini taqqoslab, uning D sohadagi eng katta maxf va eng kichik minf qiymatlarini, ya’ni global ekstremumlarini topamiz.
  

Misol sifatida, f(x,y)=x²+2y²–x–3y+5 funksiyaning x=1, y=1 va x+y=1 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakdan iborat D sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz (89-rasmga qarang) .


89-rasm

1. 
   Berilgan funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz:
   

.

Demak, funksiyaning bitta M₀(1/2, 3/4) kritik nuqtasi mavjud. Bu kritik nuqta qaralayotgan D soha ichida joylashgan va shu sababli uni hisobga olib, bu nuqtada f(1/2, 3/4)=29/8 ekanligini aniqlaymiz.

2. 
   Berilgan funksiyani AC chegarada qaraymiz. Unda x=1 bo‘lgani uchun funksiyamiz
   

f(1,y)=1²+2y²–1–3y+5=2y²–3y+5 , 0≤y≤1,

ko‘rinishga keladi, ya’ni bir o‘zgaruvchili funksiyaga aylanadi. Uning kritik nuqtasini topamiz:

f ′(1,y)=4y–3=0 => y=3/4 .

Bu kritik nuqta va [0,1] kesmaning chegaraviy nuqtalarida berilgan funksiya qiymatlarini hisoblab, f(1,3/4)=31/8 , f(1,0)=5 , f(1,1)=4 ekanligini topamiz;

3. 
   Berilgan funksiyani BC chegarada qaraymiz. Unda y=1 bo‘lgani uchun funksiyamiz
   

f(x,1)=x²–x+4 , 0≤x≤1,

ko‘rinishga keladi. Bu yerda kritik nuqta x=1/2 bo‘lib, unda va [0,1] kesma chegaralarida f(1/2,1)=15/4, f(0,1)= f(1,1)=4 ekanligini topamiz;

4. 
   Berilgan funksiyani AB chegarada qaraymiz. Unda y=1–x bo‘lgani uchun funksiyamiz
   

f(x,1–x)=3x²–2x+4 , 0≤x≤1,

ko‘rinishga keladi. Bunda kritik nuqta x=1/3 va unda f(1/3,2/3)=11/3 bo‘ladi. Chegaraviy nuqtalarda f(0,1)=4, f(1,0)=5 ekanligi oldin ko‘rilgan edi.

Shunday qilib, berilgan funksiyaning hisoblangan

f(1/2, 3/4)=29/8, f(1, 3/4)=31/8, f(1,0)=5, f(1, 1)=4,

f(1/2, 1)=15/4, f(0,1)=4, f(1/3, 2/3)=11/3

qiymatlarini taqqoslab, uning global minimumi minf=f(1/2,3/4)=29/8 va global maksimumi maxf=f(1,0)=5 ekanligini ko‘ramiz

4. 
   Eng kichik kvadratlar usuli. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlarini yana bir tatbig‘ini ko‘ramiz. Ko‘p hollarda qandaydir ikkita x va y o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanishni nazariy topib bo‘lmaydi. Bunday hollarda ular ustida n marta kuzatuvlar yoki tajribalar o‘tkazib, bu kuzatuv natijalari quyidagi jadval ko‘rinishida ifodalanadi: