Limiti va uzluksizligi

1-misol. funksiya x→0, y→0 bo‘lganda limitga ega, chunki ma’lum x²+ y²≥2|x||y| tengsizlikka asosan

.

2-misol. funksiya x→0, y→0 bo‘lganda limitga ega emasligini ko‘rsatamiz. Buning uchun y=kx deb olamiz, ya’ni O(0,0) nuqtaga to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha yaqinlashamiz. Bu holda

.

Bu yerdan ko‘rinadiki limit qiymati barcha k uchun bir xil bo‘lmasdan, k o‘zgarishi bilan u ham o‘zgaradi va shu sababli bu limit mavjud emas.

3-misol. funksiyaning x→0, y→0 holda limiti qanday bo‘lishini tekshiramiz. Bunda y=kx deb olsak

.

Demak, O(0,0) nuqtaga ixtiyoriy to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha yaqinlashganimizda limit qiymati bir xil va nolga teng. Ammo hali bundan berilgan limit mavjud va uning qiymati nol deya olmaymiz, chunki bu natija ixtiyoriy yo‘nalish bo‘yicha bir xil bo‘lishi kerak. Masalan, y=kx², ya’ni parabola bo‘yicha yaqinlashishni qaraymiz:

.

Bu holda limit qiymati k qiymatiga bog‘liq bo‘lmoqda. Demak,qaralayotgan funksiyaning x→0, y→0 bo‘lganda limiti mavjud emas ekan.

Yuqorida 7-ta’rif orqali aniqlangan limitda funksiyaning ikkala argumenti x va y bir paytda x₀ va y₀ sonlariga intiladi deb olamiz va bunda



karrali limit deb yuritiladi. Ammo bu yerda x yoki y argumentlarni u yoki bu tartibda x₀ yoki y₀ sonlariga ketma-ket yaqinlashtirib,

limitlarni ham hosil etish mumkin. Bular takroriy limitlar deb ataladi va ularni hisoblash osonroq.

4-misol. f(x,y)=3x+5xy–y² funksiyaning x→2, y→–3 holdagi takroriy limitlarini qaraymiz :

,

.

Demak, bu funksiya uchun ikkala takroriy limit mavjud va ular o‘zaro teng.

5-misol. Ushbu funksiyaning x→0, y→0 holdagi takroriy limitlarini hisoblaymiz:

.

,

.

Demak, bu funksiya uchun ikkala takroriy limit mavjud, ammo ular o‘zaro teng emas.

Yuqoridagi misollardan ko‘rinadiki takroriy limitlar doimo o‘zaro teng bo‘lishi shart emas ekan. Bundan tashqari karrali va takroriy limitlar orasida qanday munosabat mavjudligini ham umumiy holda aytib bo‘lmaydi. Bunday hollarda quyidagi teoremadan foydalanish mumkin.

1-TEOREMA: Berilgan z=f(x,y) funksiya M₀(x₀,y₀) nuqtaning biror U_r(x₀,y₀) atrofida aniqlangan va karrali limit

mavjud bo‘lsin. Agar ixtiyoriy M(x,y) U_r(x₀,y₀) uchun

oddiy limitlar mavjud bo‘lsa, unda ikkala takroriy limit

mavjud va A₁= A₂= A tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.

Ammo takroriy limitlar mavjudligi va ularning o‘zaro tengligidan karrali limitning mavjudligi va A₁= A₂= A tenglik o‘rinli bo‘lishi kelib chiqmaydi. Masalan, yuqorida ko‘rilgan 2-misolda A₁= A₂=0, ammo karrali limit mavjud emas.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning limiti uchun bir o‘zgaruvchili funksiya limitining oldin ko‘rib o‘tilgan barcha xossalari (VII bob, §3, asosiy teorema) saqlanib qolishini ushbu teorema ko‘rsatadi.

2-TEOREMA: Agar z=f(x,y) va z=g(x,y) funksiyalarning ikkalasi ham M₀(x₀,y₀) nuqtaning biror U_r(x₀,y₀) atrofida aniqlangan va ularning karrali limitlari

mavjud bo‘lsa, unda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi:

,

,

,

Bu teorema yuqorida eslatilgan teorema singari isbotlanadi va shu sababli uning ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.

Masalan, bu teorema asosida ushbu karrali limitlarni hisoblaymiz:





.

Ikki o‘zgaruvchili z= f(x,y) funksiyaning karrali limiti ta’rifini x→±∞ , y→±∞ yoki A=±∞ hollar uchun ham berish mumkin, ammo ular ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.

4.