Matritsa rangi. Matritsa rangini hisoblash

1 2 1

3 1 0

2 3 -1

3
⁷ matritsaning rangini nollar yighish usulida aniqlang?

4

Berilgan dastlabki matritsa ustida quyidagicha elementar almashtirishlar bajaramiz va uning ko’rinishini trapetsiyasimon ko’rinishga keltiramiz:

1	2	1	3	1	2	1	3	1	2	1	3
3	1	0	7	0	7	- 3	2	0	7	- 3	2
2	3	-1	4	0	7	- 3	2	0	0	0	0

Trapetsiyasimon matritsa bosh diagonal elementlaridan ikkitasi nol-dan farqli bo’lgani uchun uning rangi va shu bilan birga berilgan matri-tsa rangi ikkiga teng.

Bir xil o’lchamli A
(a_ij ) va B
(b_ij ) matritsalarning barcha mos elementlari teng,

ya’ni a_ij b_ij
bo’lsa, bu matritsalarga teng matritsalardeyiladi va A
B deb

yoziladi.

Matritsalarni qo’shish va ayirish, matritsani songa ko’paytirish amallariga matritsalar ustida chiziqli amallardeyiladi.

Matritsalarni qo’shish va ayirish amallari bir xil o’lchamli matritsalar uchun kiritiladi. Bunda yig’indi matrisa qo’shiluvchi matritsalar bilan bir xil o’lchamda bo’ladi.

1-tahrif. A
(a_ij ) va B
(b_ij ) matritsalarning yig’indisi deb, elementlari

^cij
^aij
b_ij kabi aniqlanadigan C
A B matritsaga aytiladi.

Misol

1	1	4	2	3	2	3	2	6
3	0	1	1	0	2	4	0	1

.

2- tahrif. A
(a_ij ) matritsaning songa ko’paytmasideb, elementlari

c_ij a_ij kabi aniqlanadigan C matritsaga aytiladi.


Misol

^{1 0} 6 3

^{4 1} 9 12


A ( 1) Amatritsa A matritsaga qarama-qarshi matritsa deb ataladi.

A (a_ij ) va B
(b_ij ) matritsalarning ayirmasi C

A B A

( B) kabi

topiladi, bunda
^cij
^aij
b_ij bo’ladi.

Misol

2	3	2	1	3	2	1	6	0
2	1	4	2	1	1	0	2	5

Matritsalarustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega.

A, B,C,O m
n o’lchsamli matritsalarva
skalyar sonlar bo’lsa, u holda:

^1o. A B B
_A; 2^o. ( A

2. С

A (B

2. 
   ;
   

3^o. _{A O
A;} 4^o. A

1. 
   O;
   

( A) (

) A; 6^o. ( A B)
A B;

7^o. (

)A A
_A; 8^o. 1 A A;

9^o. (A
B)^T
A^T B^T ; 10^o. (
A)^T
A^T ;

11^o. A C

2. 
   bo’lsa, C B
   

A bo’ladi;

12^o. A
O bo’lsa, 0 yoki A
O bo’ladi;

13^o.
va 0 bo’lsa, A
B bo’ladi.

Ikki matritsani ko’paytirish amali moslashtirilgan matritsalar uchun


kiritiladi. Amatritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo’lsa, Ava B matritsalar moslashtirilgan deyiladi.

3-tahrif.
o’lchsamli
A (a_ij ) matritsaning
o’lchsamli

2. 
   (b_jk ) matritsaga ko’paytmasi AB deb, elementlari
   

^cik
^ai1^b1k
^ai 2^b2 k
^{… a}ip^bpk
p
a_irb_rk , i
r 1
1,...,m, k
1,...,n

(qo’shiluvchlari quyidagi sxemada keltirilgan) kabi aniqlanadigan m n
o’lchsamli

2. 
   (c_ik ) matritsaga aytiladi.
   

Misollar


1. 2 4 ³

1

2
2. 3 4

1

1	2	5	6	1	5	2 7	1	6	2	8	19	22
3	4	7	8	3	5	4 7	3	6	4	8	43	50

3.

(10);

8

3 2 4

	0	2
2 3		1 (	1)	2	2	1	0	2	4	1 3	5	4	11
3 3		4 (	1)	3	2	4	0	3	4	4 3	13	6	0 .
0 3		2 (	1)	0	2	2	0	0	4	2 3	2	0	6

1 0 3






Bir xil tartibli A va B kvadrat matritsalar uchun AB BA bo’lsa, A va B

matritsalarga kommutativ matritsalardeyiladi.

Matritsalarni ko’paytirish amali ushbu xossalarga bo’ysunadi:

1^o. Amatritsa m n
o’lchamli va
B,C
matritsalar n p
o’lchamli

bo’lsa,
A(B C) AB
AC bo’ladi;

2^o. B,C matritsalar m n
o’lchamli va A matritsa n p
o’lchamli

bo’lsa, (B

3. A

BA CA bo’ladi;

3^o. A, B,C matritsalar mos ravishda
m n , n
p , p q
o’lchamli bo’lsa,

A(BC)
( AB)C
bo’ladi;

4^o. (4)
A, B, E,O moslashtirilgan matritsalar va
skalyar sonlar bo’lsa, u holda:

1) (
A)( B)
AB);

2. 
   A( B)
   

( A)B
( AB);

2. 
   _AE
   

EA A;

2. _AO

OA O;

2. 
   ( AB)^T
   

B^T A^T ;

2. 
   det( AB)
   

det A
det B.

5^o. A, I,O n - tartibli kvadrat matritsalar va holda:
p, q
manfiy bo’lmagan butun sonlar bo’lsa, u

1. 
   A^p A^q
   

_Ap q _;

2. 
   ( A^p )^q
   

1. 
   ) ^pq ;
   

3. 
   A¹ A;
   
4. 
   A⁰ E.
   

Ushbu almashtirishlar matritsalar ustidaelementar almashtirishlar deb yuritiladi:

• 
  ikkita parallel qatorning (satr yoki ustunning) o’rinlarini almashtirish;
  

• 
  qatorning barcha elementlarini nolga teng bo’lmagan songa ko’paytirish (bo’lish);
  

• 
  qatorning barcha elementlarini nolga teng bo’lmagan songa ko’paytirib, parallel qatorning mos elementlariga qo’shish.
  

Biri ikkinchisidan elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan A va B matritsalarga ekvivalent matritsalar deyiladi va A~ B ko’rinishda yoziladi.

1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

elementar almashtirishlar orqali har qanday matritsani bosh diagonalning birinchi bir nechta elementlari birlardan va qolgan elementlari nollardan iborat bo’lgan matritsa ko’rinishiga keltirish mumkin, masalan,

A

Bunday matritsaga kanonik matritsa deyiladi.

Misol

0	5	10	0
1	4	5	3
3	1	7	9
1	7	17	3

A

matritsani kanonik matritsaga keltiramiz. Buning uchun matritsa ustida elementar

almashtirishlar bajaramiz. Bajarilgan almashtirishlar izohini qisqartirish maqsadida almashtirishlarni sxematik ko’rsatamiz. Bunda belgi^kyuqoridagi satrni k ga ko’paytirib
pastdagi satrga qo’shishni, belgi chapdagi _kustunni k ga ko’paytirib o’ngdagi ustunga
qo’shishni, : k belgi ko’rsatilgan satrni (ustunni) k ga bo’lishni bildiradi.