Matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini Krilov usuli bilan toping

Misol1.

matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini Krilov usuli bilan toping.
Yechish. Noldan farqli vektor olib uning iteratsiyalari ni aniqlaymiz. bo'lsin, u holda , bo 'ladi. Endi vektor tenglamani tuzamiz:

yoki

Bundan ekanligini topamiz. Berilgan matritsaning xarakteristik ko'phadi

ko'rinishda bo'lar ekan. tenglamani yechamiz:

tenglamaning bitta ildizi ekanligini ko'rish qiyin emas.
Qolgan ikkitasi ning ildizlari. Shunday qilib, berilgan matritsaning xos sonlari ekan.
Endi xos vektorlarni topishga o'tamiz.
uchun:

demak, ko'rinishda ekan.
Xos vektor

ko'rinishda topilgan edi.

uchun:


uchun:


Misol 2.
matritsaning xos son va xos vektorlarini Krilov usuli bilan topilsin. Yechish. bo' holda , bo 'ladi. Endi quyidagi

sistemani tuzamiz. Ikkinchi va uchinchi tenglamalar bir xil, demak vektorlar chiziqli bog'liq. Shuning uchun larga bog'liq

sistemani tuzamiz. Bundan bo'ladi. ko'phad matritsaning minimal ko'phadidir. Undan ni topamiz. ni topish uchun, bizga ma'lum

munosabatdan foydalanib

ekanligini aniqlaymiz.
Xos vektorlar

ko'rinishda izlanadi, bu yerda

ni topish uchun vektorni boshqacha tanlash kerak. Xususan, desak bo'ladi.

bo 'lar ekan.
Misol

matritsaning barcha xos sonlari va xos vektorlarini, ya'ni xos qiymatlarning to "liq muammosini Danilevskiy metodi bilan aniqlang.
Yechish.
Endi matritsa ustida almashtirish bajarsak, matritsaning oxirgi yo'li normal Frobenius ko'rinishiga keladi:


Endi matritsani chapdan ga ko'paytirsak, hosil bo'lgan
matritsa ga o oxshash bo lladi:

Hosil bo'lgan matritsa ga o'xshash bo'ldi, uning ikkinchi yo'lini normal Frobenius ko'rinishiga keltiramiz:




Hosil bo'lgan matritsa normal Frobenius ko'rinishida, uning xarakteristik tenglamasi ko'rinishda bo'ladi. Krilov metodida ham shu ko'rinishda edi, ya'ni uning nollari bo'lishi ravshan. matritsaning xos vektorlari edi. ning xos vektorlari esa ko'rinishda bo'ladi:


vektor Krilov usulida topilgan xos vektordan zgarmas ko'paytuvchi songa farq qilyapti. Xuddi shunday va larni aniqlashimiz mumkin.
Misol

matritsaning moduli bo'yicha eng katta xos sonini va unga mos xos vektorini verguldan keyin to'rt xona aniqlikda toping.
Yechish. Noldan farqli ixtiyoriy vektor olib uning iteratsiyalari larni hosil qilamiz. bo' . U holda misol uchun bo ladi va jarayonni shu yerda to'xtatamiz. edi. ,
Ko'rinib turibdiki, bu nisbatlar to'rt soni atrofida tebranyapti, demak natijalarni o'rta arifmetigini deb olish mumkin.

ga mos keluvchi xos vektor

taqribiy tenglikdan topilar edi, ya'ni vektor xos vektor dan sonli ko'paytuvchiga farq qilyapti, demak ga mos keladigan xos vektordir.
ga mos keluvchi xos vektor.