Mavzu: bir jinsli sistemalar. Yechimlarning fundamental sistemalari

(2) sistemaning xr+1, xr+2 ,…, xn erkli o’zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlari tizimiga (2) sistemaning va, demak, (1) sistemaning ham bitta va faqat bitta yechimi mos kelishini tekshirib ko’rish qiyin emas. Xususan, xr+1 = 0, xr+2 = 0, …, xn = 0 qiymatlar tizimiga (2) va (1) sistemalarning faqat nol yechimlari mos keladi. (2) sistemada erkli o’zgaruvchilardan biriga 1 qiymat, qolganlariga 0 qiymat beramiz. Natijada (2) sistemaning n – r ta yechimga ega bo’lamiz va ularni quyidagi C matrisaning satrlari ko’rinishida yozamiz: Bu matrisaning C1, …, Cn-r satr vektorlar sistemasi chiziqli erkli. Haqiqatan, ixtiyoriy λ1, …,λn-r skalyarlar uchun λ1 C1 + ... + λn-r Cn-r = (0, 0, … ,0) tenglikdan quyidagi tenglik kelib chiqadi: ( λ1, λ2 ,… ,λn – r) = (0, 0, … ,0) Bundan esa, λ1=0, λ2=0, …,λn-r=0 tengliklar kelib chiqadi. C matrisaning satr vektorlar sistemasining chiziqli qobig’i (1) sistemaning barcha yechimlari to’plami bilan ustma – ust tushishini ko’rsatamiz. a = (a1, … ,ar, ar+1, … , an) (1) ning ixtiyoriy yechimi bo’lsin.

U holda d = a – (ar+1 C1+ ar+2 C2+ ...+ an Cn-r) vektor ham (1) ning yechimi bo’ladi, binobarin, d = (δ1, …, δr, 0, 0, …, 0); bu yechim xr+1, xr+2 ,…, xn erkli o’zgaruvchilarning nol qiymatlariga mos keladi. Shuning uchun d vektor (2) va (1) sistemalarning nol yechimi bo’ladi, demak, a = ar+1 C1+ ar+2 C2+ ...+ an Cn-r∈L(C1, …, Cn-r). Shunday qilib, (1) sistemaning barcha yechimlari to’plami C1, …, Cn-r vektorlar chiziqli qobig’i bilan ustma – ust tushadi. Demak, bu n – r ta vektorlar (1) sistema yechimlarining fundamental sistemasi bo’ladi⊡. NATIJA. d bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi ning (ℱ maydon ustida) yechimi bo’lsin va C1, …, Cn-r bir jinsli tenglamalar sistemasining fundamental sistemasi bo’lsin.

U holda { d+ λ1 C1 + ... + λn-r Cn-r| λ1, λ2, …,λn-r∈ F} to’plam (1) sistemaning barcha yechimlari to’plami bo’ladi.