Mavzu: Bozor iqtisodiyoti matematik modellari. Talab va taklifning regression modeli. Kirish Mavzu dolzarbligi

Kichik kvadratlar usuli

Buni bayon qilish uchun esa ikki o’zgaruvchi va orasidagi bog’liqlikni o’rganamiz. Faraz qilaylik ma’lum kuzatishlar natijasi quyidagicha bo’lsin:

Koordinatalar sistemasida esa bunday lar nuqtalar to’plamini tashkil etadi. Asosiy maqsad x_i va y_i miqdorlar orasidagi eng yaxshi analitik bog’lanishni aks ettirishdan iborat.

Tajriba natijasida olingan kuzatuvlarni analitik ko’rinishda ifodalashga regressiya tenglamalari (modellari) deyiladi.

Agar x o’zgaruvchi faqat bitta bo’lsa, u holda bunday tahlil oddiy regressiya yoki juftlik regressiyasi deyiladi, aks holda, ya’ni o’zgaruvchilar ikkita yoki undan ortiq bo’lsa, ko’p o’zgaruvchili regressiya haqida gap boradi.

Regressiya tenglamasini tuzish ikki bosqichdan iborat bo’ladi:

1. 
   birinchi bosqichda y=f(x) funksiya ko’rinishi aniqlanadi;
   
2. 
   ikkinchi bosqichda y=f(x) bog’lanishdagi no’malum koeffisientlar topiladi.
   

Birinchi bosqichdagi y=f(x) funksiya ko’rinishi aniqlash jarayonida nuqtalarning tekislikda joylashishiga qarab topiladi.

Faraz qilaylik tajriba natijasida quyidagi grafiklar olingan bo’lsin.

rasm	rasm	rasm

1. 
   va 2 – rasm rasmdagi ma’lumotlar to’g’ri chiziq grafigiga mos kelmoqda. Lekin 3- rasmdagi grafikdagi ma’lumotlarni biror to’g’ri chiziq atrofiga zich joylashtirib bo’lmaydi.
   

4-rasm	5-rasm	6-rasm

4- rasmdagi ma’lumotlar to’g’ri chiziq regression modelga yaxshi tushadi, 5-rasmdagi ma’lumotlar esa kvadratik funksiya modeli ma’qul, 6- rasmdagi ma’lumotlarga esa, darajali funksiya yoki eksponensial modelga mos kelishi mumkin.

Demak, regression modelni tanlashda avval ma’lumotlarni grafikda tasvirlab unu qaysi egri chiziqqa mos kelishi aniqlanadi va shu bilan funksiyani tanlash jarayoni tugallanadi.

y=f(x) funksiya ko’rinishi aniqlangandan so’ng masalaning ikkinchi bosqichiga o’tiladi. Bu bosqichda noma’lum koeffisientlar aniqlanadi. Noma’lum koeffisientlarni topish kichik kvadratlar usuliga asoslanadi. Bu usul mohiyatiga ko’ra nazariy qiymatlar f(x_i) va tajriba qiymatlari y_i farqlari kvadratlarining yig’indisining eng kichigi shartidan olinadi: (7-rasm).

7-rasm	8-rasm

Kichik kvadratlar usulini chiziqli regressiya tenglamasi uchun ko’rib chiqamiz. Bu nuqtalar biror to’g’ri chiziqqa yaqin joylashsa (8-rasm), u holda bu o’zgaruvchilar orasida bog’lanish chiziqli degan fikrga kelamiz, ya’ni

(1)

ko’rinishda bo’ladi, bu yerda va lar aniqlanishi kerak bo’lgan koeffitsentlar (parametrlar). (1) formulani quyidagi ko’rinishida ham yozish mumkin:

(2)

Kuzatuv natijalaridan olingan juftliklar uchun, aslida (1) va (2) formulalar taqribiy formulalardir.

Shuning uchun nuqtalarda (2) qiymati ga teng bo’lmaydi:

(3)

bu yerda larni biz xatolik, farq suratida qabul qilamiz. Shuning uchun larni shunday tanlashda (3) da qoldiq (xatolik) absolyut qiymati bo’yicha imkon qadar kichik bo’lsin. Xususan, eng kichik kvadratlar usulida uning mohiyati larni shunday tanlash kerakki xatoliklar kvadratlari yig’indisi imkon qadar kichik bo’lsin, ya’ni

. (4)

Umuman olganda, xatolik, absolyut, nisbiy xatolik bilan ishlash mumkin edi, lekin bu hollarda absolyut belgisi bo’lmasa, kuzatuv qiymati bu funksiya qiymati bilan funksiya qiymati orasidagi farq modul jihatida katta son bo’lib ketishi mumkin (absolyut qiymat belgisi bo’lganda bunday ifoda bilan ishlash qiyin bo’ladi).

Endi (4) formulani (3) yordamida quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:

(5)

Endi bu (5) formulada lar berilgan bo’lib, lar noma’lum yoki a va b larni funksiyasi bo’layapti, u holda yuqoridagi qo’yilgan masala funksiyasi lar bo’yicha minimumi topish masalasiga keltiriladi, ya’ni ko’p o’zgaruvchili funksiyalarining ekstremum masalalariga keltiriladi. Buning uchun bu yerda shartni qanoatlantiruvchi larni topishni o’zi yetarli, chunki kvadratlar yig’indisi bo’lgan uchun xususiy hosilalari bo’ladigan nuqta mavjud bo’lsa ham bu niqta minimum niqta bo’ladi.

(6)

Bu oxirgi (6) formula kichik kvadratlar usulining normal sistemasi deyiladi. Shunda va larni topib, ularning qiymatlarini (1) formulaga olib borib qo’yib, empirik formulani (tajriba modelini) topamiz.

(6) sistemaning yechimlari:

,

Misol. Jadval qiymatlari berilgan x va y lar orasidagi funksional bog’lanish tenglamasini toping.

Yechish:

1 2 3 4 5

Agar (1) regressiya chizig’i parametrlari aniq qiymatlar qabul qilsa, u holda regressiya to’g’ri chizig’i aniqlangan bo’ladi. Birinchi parametr b– to’g’ri chiziqning Oy-o’qi bilan kesishish nuqtasi bo’lib, x0 da y ana shu qiymatga erishadi: y(0)b bo’ladi. Ikkinchi parametr a to’g’ri chiziqning og’ishini bildiradi, ya’ni a y ning Ox o’qi bilan hosil qilgan burchagining tangensiga teng. Bu parametr x bir birlikka o’zgarganda y qanday miqdorga o’zgarishini ko’rsatadi.

Formal qaraganda b y ning x0 dagi qiymati. Agar erkin o’zgaruvchi nolga teng bo’la olmasa, u holda ozod had hech qanday ma’noga ega bo’lmaydi. Hamma modellarda ham b iqtisodiy ma’noga ega bo’lavermaydi.

ta nuqtalarning joylanish zichligini anglatadigan chiziqli korrelyastiya koeffistienti quyidagicha hisoblanadi:

.

Bu yerda

Bu miqdor nuqtalar chiziqli regressiya chizig’iga qanchalik yaqin joylashganligini anglatadi. uchun tengsizlik o’rinli. Agar bo’lsa, barcha nuqtalar (empirik) to’g’ri chiziqda joylashgan bo’ladi. -determinastiya koeffistienti - chiziqli regressiyaning ma’nodorligini baholaydi.