Mavzu. Ilmiy-tadqiqot ishlarining avtomatik asoslari. Mathcad dasturida ifodalarni yaratish

 Gradiyent, divergensiya va rotor 

 

 

Xususiy hosilalarni topish haqidagi masalani hisoblash amaliy va laboroto’riyaotida ko’p 

uchrab turadigan vektorli tahlilga oid  bir  necha  misollarni keltirish  bilan  yakunlaymiz. Ulardan 

birinchisi  ikki  o’zgaruvchili  funksiya  gradiyentini  hisoblashga  bag’ishlangan  bo’lib,  uning 

amalga  oshirilishi  3.22  –  rasmda  keltirilgan.  Misol  sifatida  rasmning  birinchi  qatorida 

aniqlangan,  grafigi  3.23  –  rasmda  satx  chizig’i  sifatida  ko’rsatilgan 

)

,

(

y

x

f

  funksiya  qaralgan. 

Ma’lumki, 

)

,

(

y

x

f

  funksiya  gradiyenti  3.22  –  rasmning  ikkinchi  qatoriga  ko’ra 

)

,

(

y

x

f

 

funksiyaning  xususiy  hosilalari  orqali  aniqlangan  va  uning  argumentlarining  vektor 

funksiyasidir. Rasmning uchinchi qatorida gradiyentning analitik hisoblanishi  bajariladi, qolgan 

qismlarida  funksiya  grafigining  satx  chizig’ini  va  uning  grafigining  vektor  maydonining 

grafigini tayyorlash uchun zarur bo’lgan o’zgartirilgan o’zgaruvchi va matritsalar beriladi (3.24 - 

rasm). 

 

 

 

3.22 - rasm. Ikki o’zgaruvchili funksiya gradiyentini hisoblash. 

 

---

 

 

3.23 – rasm. Ikki o’zgaruvchining modelli funksiyasi. 

 

 

 

3.24 – rasm. Ikki o’zgaruvchili funksiya gradiyentining vektorli maydoni. 

3.23 va 3.24 – rasmlardagi grafiklarni taqqoslab, gradiyentning matematik ma’nosi har bir 

)

,

(

y

x

 

nuqtada 

)

,

(

y

x

f

  funksiya  tezroq  o’suvchi  tekislikdagi  yo’nalishning  berilishidan  iborat 

---

ekanligini  ko’rish  mumkin.  Gradiyentning  absolyut  qiymati  (ya’ni  vektorning  har  bir  nuqtada 

uzunligi) 

)

,

(

y

x

f

  funksiyaning  o’zgarishining  lokal  tezligini  aniqlaydi.  Grafiklarni 

taqqoslashdan,  ularda  ko’rsatilgan 

)

,

(

y

x

  soha  markazida 

)

,

(

y

x

f

  funksiya  sekin  o’zgaradi 

(gradiyent  qiymati  minimal),  burchaklarida  esa  tez  o’zgaradi  (u  yerda  gradiyent  qiymatlari 

maksimal). 

Gradiyent  skalyar  funksiya  emas,  balki 

y

x,

  o’zgaruvchilarning  vektorli  funksiyasi  ekanligini 

ta’kidlash juda muhimdir, chunki u aslida vektorning har bir qiymatidagi (gorizantal va vertikal) 

proyeksiyalarini  aks  etuvchi  ikki  funksiya  kombinatsiyasidan  iboratdir.  Shu  vaqtgacha  skalyar 

funksiyalarni  differensiallashni  qaragan  edik,  lekin  matematikada  ko’pincha  vektorli 

funksiyalarning hosilasini hisoblashga ham duch kelish mumkin.  

Ushbu amallarni vektorli maydon, ya’ni (bizning misolimizdagidek tekislikda yoki uch o’lchovli 

fazoda)  fazoviy  koordinatalarga  bog’liq  vektor  funksiyaga  qo’llash  mumkin  bo’lgan 

divergensiyani topish operasiyasi misolida ko’rib chiqamiz (3.25 - rasm). 

 

 

 

3.25 – rasm. Vektorli funksiya divergensiyasini hisoblash. 

 

Agar,  matematikada qabul qilinganidek, gradiyentni olish operatori V orqali  belgilansa, vektor-

funksiya  divergensiyasini  rasman 

Vf

  skalyar  ko’paytma  sifatida,  xuddi  shuningdek,  vektorli 

tahlilning  yana  bir  keng  tarqalgan  operasiyasi  –  rotorni  (yoki  boshqacha  aytganda  quyun  yoki 

quyunlik) 

f

V



  vektor  ko’paytma  sifatida  aniqlash  mumkin.  3.26  –  rasmda 

)

,

(

y

x

f

  vektor-

funksiya  misoli  va  uning  divergensiyasini  hisoblash  (rasmning  uchinchi  qatorida  analitik 

bajariluvchi)  tasvirlangan.  Dastlabki  vektor-funksiya  sifatida  3.24  –  rasmda  ko’rsatilgan  oxirgi 

hisoblashlar  natijasi  olingan.  3.26  –  rasmning  yuqori  qismidagi  kodlar  qatorlari  hisoblangan 

divergensiya  grafigini  uch  o’lchovli  fazo  va  mos  ravishda  yuqoridan  va  quyidan  satx  chizig’i 

kabi tayyorlash uchun kerak.  

---

 

3.27 – rasmdagi 

)

,

(

y

x

f

 vektor-funksiya rotorini hisoblash ham xuddi shu tuzilishga ega, 

shu  bilan  birga  (3.25  –  rasmning  divergensiyasi  kabi)  rotorni  olish  amalining  ta’rifi  uning 

ikkinchi qatorida keltirilgan. 

 

Vektorli tahlil bilan tanishgan o’quvchiga nima uchun qaralgan misolda (3.22, 3.25, 3.27 

-  rasmlar)  rotor  aynan  nolga  teng  bo’lishini  tushinib  yetishni  taklif  etish  mumkin  (3.27  – 

rasmning oxirgi qatori). 

 

 

 

3.26 – rasm. Vektor-funksiya divergensiyasi grafigi. 

 

 

 

---

 

3.27 – rasm. Vektor-funksiyaning rotorini hisoblash. 

 

 

 

 

 

 

3.29 – rasm. Uch o’lchovli fazodagi divergensiya va rotor.