Mavzu: Normal taqsimot o’rta qiymati va disperstiya hakidagi gipotezalarni tekshirish

Mavzu: Normal taqsimot o’rta qiymati va disperstiya hakidagi gipotezalarni tekshirish
REJA:

1. 
   Statistik taxminlarni tekshirish
   
2. 
   Styudent taqsimoti.
   
3. 
   Fisher taqsimoti.
   

Adabiyotlar ro’yxati


Taxmin bosh to‘plamdan olingan tanlanmalar asosida tekshiriladi, tanlanma tasodifiy bo‘lganligi uchun xatoliklarga yo‘l qo‘yilib, noto‘g‘ri xulosalar qabul qilinishi mumkin. Xatoliklar ikki turga bo‘linadi. Agar taxmin to‘g‘ri bo‘la turib, u rad etilsa 1-tur xatolikka yo‘l qo‘yilgan bo‘ladi. Agar taxmin noto‘g‘ri bo‘la turib, u qabul qilinsa 2-tur xatolikka yo‘l qo‘yilgan bo‘ladi. Bu xatolarning oqibatlari har xil bo‘lishi mumkin, masalan «binoni qurish davom ettirilsin» degan to‘g‘ri qaror rad etilgan bo‘lsa, u holda 1-tur xatolik moddiy zararga olib keladi, agar binoning ag‘darilib tushish xavfiga qaramasdan «qurilish davom ettirilsin» degan qaror qabul qilingan bo‘lsa, u holda ikkinchi tur xatolik kishilarning halokatiga olib kelishi mumkin. Birinchi tur xato ikkinchi tur xatoga nisbatan og‘irroq oqibatlarga olib keladigan misollar ham keltirish mumkin.
1-eslatma. To‘g‘ri qaror ham ikki holda qabul qilinishi mumkin:
1) taxmin qabul qilinadi, u aslida ham togri edi;
2) taxmin rad etiladi, u aslida ham noto‘g‘ri edi.
Shunday qilib, ayrim tanlanmalar bo‘yicha to‘g‘ri qaror qabul qilinadi, boshqalari bo‘yicha noto‘g‘ri qaror qabul qilinadi. Qaror esa statistika yoki statistik tasnif deb ataluvchi tanlanmadan olingan biror bir funktsiyaning qiymati asosida qabul qilinadi. Bu statistika qiymatlar to‘plamini ikkita kesishmaydigan to‘plamlarga ajratishi mumkin:
taxmin qabul qilinadigan (rad etilmaydigan) statistikaning qiymatlar to‘plam ostisi taxminning qabul qilinish sohasi deyiladi.
Taxmin qabul qilinmaydigan (rad etiladigan), taxmin qabul qilinadigan statistikaning qiymatlar to‘plam ostisiga kritik soha deyiladi. Taxminlarni tekshirganda tushunarliki noto‘g‘ri qaror qabul qilish ehtimolini kamaytirish maqsadga muvofiqdir. Birinchi tur xatoga yo‘l qo‘yish ehtimolini orqali belgilash qabul qilingan; u ahamiyatlilik darajasi deyiladi. Ahamiyatlilik darajasi ko‘pincha 0,05, 0,01 ga teng qilib olinadi. Lekin ko‘p holda 1-tur xatoligi ehtimolining kamayishi 2-tur xatoligi ehtimolining oshishiga olib keladi. 2 tur xatoligi bilan belgilanadi. Shuning uchun ham statistika ва ehtimolliklar minimal bo‘ladigan qilib tanlanadi. Ushbu qo‘llanmada taxmin har doim oddiy deb faraz qilinadi, shuning uchun ham to‘g‘ri taxminda statistika taqsimoti ma‘lum. Eng yaxshi statistikani tanlash usullari ko‘rib chiqilmagan. Statistikaning kritik sohasini aniqlash uchun ahamiyatlilik darajasi va alternativ taxminning ko‘rinishi e’tiborga olinadi.
Noma’lum parametr ning qiymati haqidagi asosiy taxmin quyidagicha:
Alternativ taxmin esa quyidagi ko‘rinishlardan biri bo‘lishi mumkin:
Mos ravishda chap tomonlama, o‘ng tomonlama yoki ikkitomonlama kritik sohalarni olish mumkin. Kritik sohaning chegaraviy nuqtalari statistikaning taqsimot jadvallaridan aniqlanadi.
Statistik taxminni tekshirish bosqichlari quyidagilardan iborat
1) ва taxminlar aniqlanadi;
2) Statistika tanlanadi va ahamiyatlilik darajasi beriladi;
3) Ahamiyatlilik darajasi , alternativ taxmin va jadvallar
orqali kritik soha aniqlanadi;
4) Tanlanma bo‘yicha statistika qiymati hisoblanadi;
5) Statistika qiymati kritik soha bilan taqqoslanadi;
6) Qaror qabul qilish: agar statistika qiymati kritik sohaga kirmasa, u holda taxmin qabul qilinadi, rad etiladi, agar kritik sohaga kirsa, u holda taxmin rad etiladi, taxmin qabul qilinadi.
Ayrim hollarda altevnativ taxmin ni aniqlashdan oldin statistika qiymatini xisoblash uchun bosh to‘plam parametrlarining siljimagan baholarini topishni talab etadigan 4) bosqichni bajarish maqsadga muvofiqdir. Masalan taxmin tekshirilayapti va o‘rta qiymat uchun siljimagan baxo bo‘lsa, u holda ko‘rinib turibtiki alternativ taxmin yoki ko‘rinishda qilib tanlab olish kerak.
tatistik taxminni tekshirish natijalariga quyidagicha interpretatsiya beriladi: agar taxmin qabul qilinsa, u holda bu isbotlangan hisoblanadi, agar taxmin qabul qilinsa, u holda kuzatish natijalariga zid emasligini tan olgan bo‘lamiz, lekin qaror qabul qilishdan oldin yana qo‘shimcha tadqiqot o‘tqazish kerak bo‘ladi.

1. taqsimot

Agar k ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan normalangan tasodifiy miqdorlar normal taqsimotga ega bo‘lsa, u holda ularning kvadratlari yig‘indisi





ning taqsimoti ozodlik darajalari k bo‘lgan (Xu – kvadrat) taqsimot deyiladi. taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha:



Buyerda – gammafunksiya.


x²taqsimotning ozodlik darajalari k<30 bo‘lsa, uning qiymatlari jadval dan topiladi, agar ozodlik darajalari k>30 bo‘lsa, uni normal qonun bilan yetarlicha aniqlikda almashtirish mumkin.
2. Styudent taqsimoti.


X – normalangan normal taqsimlangan tasodifiy miqdor, Y – esa ozodlik darajalari k bo‘lgan taqsimotga ega tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, uholda



Tasodifiy miqdor t – taqsimot (yoki k ozodlik darajali Styudent taqsimoti) ga ega deyiladi.
Styudent taqsimoti da asimtotik normaldir. Bu taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha:



3.Fisher taqsimoti


Agar X va Y bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar bo‘lib, ular k₁ va k₂ ozodlik darajali qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsa, u holda





tasodifiy miqdor F taqsimotga (yoki k₁ va k₂ ozodlik darajali Fisher taqsimotiga) ega deyiladi.
Statistik gipoteza deb noma’lum taqsimotning ko‘rinishi haqidagi yoki ma’lum taqsimotning noma’lum parametrlari haqidagi gipotezaga aytiladi. Nolinchi (asosiy) gipoteza deb ilgari surilgan H₀ gipotezaga, konkurent (zid) gipoteza deb esa nolinchi gipotezaga zid bo‘lgan H₁ gipotezaga aytiladi.
Statistik kriteriy deb nolinchi (asosiy) gipotezani qabul qilsh yoki qabul qilinmaslik haqidagi qoidaga aytiladi. Bu qoida quyidagidan ibo-rat. Buning uchun qandaydir Z(x₁,x₂…x_n) statistika olinib, uning (aniq yoki taqribiy) taqsimoti asosiy gipoteza o‘rinli bo‘lganda topiladi. So‘ngra statistikaning qiymatlar sohasi ikkiga ajratiladi. Agar stati-stikaning kuzatilgan Z(x₁,x₂…x_n) qiymati bu sohalarning birinchisiga tushsa,H₀ gipoteza qabul qilinish sohasi, ikkinchisiga esa kritik soha deyiladi. Z(x₁,x₂…x_n)statistikaning qabul qilish mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari biror intervalga tegishli bo‘ladi. Shu sababli kritik soha va gipotezaning qabul qilinish sohasi ham intervallar bo‘ladi. Ularni nuqta-lar ajratib turadi. Bu nuqtalar kritik nuqtalar deyiladi.
Kritik sohalar quyidagicha bo‘lishi mumkin.

1. 
   o‘ng tomonlama kritik soha:
   

2. 
   chap tomonlama kritik soha:
   

v) ikki tomonlama kritik soha:

Z(x₁,x₂…x_n) statistikaning kritik sohaga tushish ehtimoli uning aniqlilik darajasi deyiladi.
Gipotezani statistik tekshirish natijasida ikki xil xatoga yo‘l qo‘yish mumkin.
Birinchi tur xato shuki, bunda to‘g‘ri gipoteza rad etiladi.
Ikkinchi tur xato shuki, bunda noto‘g‘ri gipoteza qabul qilinadi.
Kriteriyning quvvati deb konkurent gipoteza o‘rinli bo‘lish shartida Z kriteriyning kritik sohaga tushish ehtimoliga aytiladi. Kriteriyning quvvati qancha katta bo‘lsa, ikkinchi tur xatoga yo‘l qo‘yish ehtimoli shuncha kichik bo‘ladi.
X=(x₁,x₂…x_n )tanlanma berilgan bo‘lib, uning asosida bosh to‘plamning F(x) taqsimot funksiyasini aniqlash kerak bo‘lsin.
Muvofiqlik kriteriysi deb taqsimot funksiyaning umumiy ko‘rinishi haqidagi H₀ gipotezani qabul qilish yoki rad etishga imkon beradigan kriteriyga aytiladi.
Muvofiqlik kriteriylaridan biri Pirson kriteriysini qurish uchun X belgi qiymatlarining o‘zgarish sohasini intervallarga bo‘lamiz.
P_i – tasodifiy miqdor X ning intervalga tushishining nazariy ehtimoli bo‘lsin: P_i=P(X ). Bu ehtimol H₀ gipotezadankelib chiq-qan holda hisoblanadi, ya’ni X tasodifiy miqdor F(x) taqsimot funk-siyaga ega deb faraz qilinadi.
n_i – hajmi n bo‘lgan (x₁,x₂…x_n) tanlanmada X belgining intervalga tushgan qiymatlarining soni bo‘lsin. Bunda
P₁+P₂+…….+P_k=1
n₁+n₂+…….+n_k=n
Agar tanlanmaning hajmi yetarlicha katta (n>30) bo‘lsa, taqsimot-ni taqriban normal taqsimot deb olish mumkin.
Ushbu

tasodifiy miqdorlarni qaraymiz.