Mavzu: Optimal kvadratur va kubatur formulalarga hissa qo‘shgan olimlar. Ichma-ich joylashgan sharlar haqida teorema. Reja

Shaharsozlik muxandisligi tadbig‘ida quyidagicha masala qo‘yiladi:
To‘rtburchak shakldagi plastinkalarga bir xil bo‘lgan kuchlanish ta’sir qildirganda uni kuchlanganlik holatiga olib keladi. Ya’ni,

1. 
   Rasm. Bir xil kuchlanishli to‘rtburchakli plastinka
   

B u yerda

Agar plastinkaning eni kesmada o‘zgaradigan bo‘lsa, natijada bu o‘zgarishlar normal kuchlanishni kuchaytiradi. Masalan, plastinkada dumaloq tuynuk bo‘lsa (2-rasm) va u bir xil kuchlanishiga duch kelishi natijasida plastinkadagi kuchlanishlar ortib boradi ya’ni, agar plastinkadagi tuynukning radius uzunligini plastinkaning kengligi bilan taqqoslaganda undan ancha kichik bo‘lsa, plastinkadagi kuchlanishni analitik usulda quyidagicha

da formlalar orqali topish mumkin.

2. 
   Rasm. Birxil kuchlanish ostida radiusi a bo‘lgan dumaloq teshigi bo‘lgan to‘rtburchak plastinkasi.
   

Bu aslida bunday holatda yuzaga keladigan eng yuqori normal kuchlanishdir. Bunday kuchlanishlarni aniqlash uchun, biz kuchlanish konsentratsiyasini deb ataladigan atamani aniqlaymiz, ya’ni

Shunday qilib, bu holda bo‘ladi.
Teshikning radiusi plastinka uzunligi va kengligi bilan taqqoslaganda kichik bo‘lmasa nima bo‘ladi? Ko‘pgina hollarda kuchlanishlarni analitik ravishda topish mumkin bo‘lmaganligi sababli, biz bunga o‘xshash masalani hisoblash usullar orqali taqribiy yechishga muhtojmiz. Ushbu usullardan biri chekli ayirmalar usulidir. Ushbu masalani yechish uchun ishlar qilishni qarab chiqamiz. Qisman differensial tenglamalar tekislikdagi kuchlanish masalasi orqali berilgan bo‘ladi.

Bu yerda

Chekli ayirmalar usulini qo‘llash uchun teshikli to‘rtburchak plastinka x o‘qi bo‘yicha va y o‘qi bo‘yicha segmentlarga bo‘linadi, xuddi 3 rasmda ko‘rsatilgandek. Buning natijasida plastinkada tugunlar paydo bo‘ladi.

3-Rasm. Teshikli to‘rtburchak plastinkaning chekli ayirmali tugunlari.

Endi har bir tugunda, masalan, a raiusli tuynuk ichidagi tugunlarda umumiy (i, j) teshikdagi tugun, oldinga bo‘lingan farqning approksimatsiya ko‘rsatkichlari quyidagicha qo‘llanilishi mumkin:

Ushbu chekli ayirmalarni (3-6 tenglamalar) ni (1) va (2) tenglamalarga keltirib qo‘ysak, quyidagilar hosil bo‘ladi:

Xuddi shunday, siz teshik atrofida joylashgan va o‘ralgan tugunlar uchun ham tenglamalar yozishingiz mumkin. Bu narsa ushbu mavzu doirasidan tashqarida bo‘lsa ham, ammo baholanishni talab qiladi. Shuningdek, tashqi to‘rtlikda chegara shartlarini qo‘llashni plastinka qirralari va teshik radiusida o‘tkazib yuborishimiz mumkin. Biroq, buni bir kun tushunishingiz kerak barcha tenglamalar aniqlangan, biz juda ko‘p noma’lum narsalarni olamiz ((6): x va y o‘qlari bo‘ylab siljish) ko‘rsatmalar, har bir tugunda), chunki biz (1) va (2) tenglamalarga yaqinlashishga egamiz, shuningdek chegara shartlariga ham. Bu bir vaqtning o‘zida chiziqli tenglamalarni yechishga olib keladi. Ko‘chirishni hisoblab chiqqandan so‘ng, plastinkadagi kuchlanish va deformatsiyani topish mumkin, shuning uchun ham kuchlanish konsentratsiyasini topish kerak bo‘ladi. Misol tariqasida, bitta masala tavsifi bunday holati quyidagicha keltirilgan.

Kuchlanishlarni va shu sababli hosil bo‘lgan kuchlanish konsentratsiyasi omilini topish uchun quyidagilarni topish kerak bo‘ladi, ya’ni bu siljishlarning hosilalarini. 1-jadvalda bo‘ylab radiusli siljishlar berilgan – o‘qi. Teshikning radiusi 1,0 sm.

1. 
   da, agar kuchlanish orqali berilgan bo‘lsa, sm da radiusli kuchlanishni to‘g‘ridan-to‘g‘ri bo‘linadigan farq usuli yordamida toping.
   
2. 
   Agar ga teng bo‘lgan tangensial deformatsiya sizga sifatida berilgan bo‘lsa, halqa kuchlanishini toping, , agar , bu yerda va .
   

2 -Jadval. Radial siljish joylashish funksiyasi sifatida.